Chương 3
Ánh xạ Gauss
Khi nghiên cứu tốc độ thay đổi của tiếp tuyến của một đường cong C tại một điểm dẫn ta đến
một bất biến hình học quan trọng, độ cong tại điểm đang xét của đường cong. Khi nghiên cứu tốc
độ thay đổi của mặt phẳng mật tiếp, hay một cách tương đương tốc độ thay đổi của các vector
trùng pháp, ta có khái niệm độ xoắn, là bất biến hình học quan trọng thứ hai của đường cong.
Hai bất biến này phản ánh hình dáng địa phương tại từng điểm của đường cong. Một cách hoàn
toàn tương tự, chúng ta sẽ xét tốc độ biến thiên của mặt phẳng tiếp xúc trong một lân cận của
điểm p của một mặt chính qui hay một cách tương đương là tốc độ của trường pháp vector đơn vị
trong lân cận đó. Tốc độ biến thiên này không được đặc trưng bởi một con số mà được đặc trưng
bởi một tự đồng cấu tuyến tính tự liên hợp của T
p
S. Nhiều tính chất địa phương đáng ngạc nhiên
được tìm thấy từ sự nghiên cứu ánh xạ tuyến tính này.
Cho S là một mặt chính qui và X :−→ S là một tham số hóa địa phương của S. Như đã biết nếu
chúng ta chọn các vector pháp đơn vị tại mỗi điểm của X(U) như sau
N(p) =
X
u
∧ X
v
|X
u
∧ X
v
|
(p), p ∈ X(U );
chúng ta nhận được một ánh xạ khả vi
N : X(U) −→ R
3
p −→ N(p).

chúng ta có thể nói mọi mặt chính qui đều định hướng được một cách địa phương. Hơn nữa, theo
Mệnh đề ?? thì mọi mặt chính qui liên thông có đúng hai hướng.
Ví dụ 1. Dễ thấy rằng mặt phẳng là một mặt định hướng được.
Ví dụ ngay sau đây cho ta thấy có những mặt không định hướng được.
Ví dụ 2. Mặt M¨obius. Lấy một dải giấy hình chữ nhật. Dán hai cạnh đối diện lai với nhau sau
khi đã xoắn 180
0
. Mặt nhận được chính là mặt M¨obius. Chúng ta dễ nhận thấy rằng một vector
pháp sẽ đổi chiều sau khi trượt dọc theo đường chính giữa mặt đúng 1 vòng. Điều này cho thấy
mặt M¨obius là không thể định hướng được.
Hai mệnh đề tiếp theo cho ta các ví dụ khác về các mặt chính qui định hướng được.
Mệnh đề 3.1.1. Cho h : U ⊂ R
2
−→ R là một hàm khả vi. Khi đó đồ thị của h là một mặt chính
qui định hướng được.
Chứng minh. Xét tham số hóa
X(u, v) = (u, v, h(u, v)), (u, v) ∈ U.
Khi đó X(U) = G
h
và X là đơn ánh. Xét
N ◦ X =
X
u
∧ X
v
|X
u
∧ X
v
|

, z
0
). Xét đường tham số c(t) =
(x(t), y(t), z(t)), t ∈ (−, ) ⊂ R trên mặt S đi qua p với c(0) = p. Vì đường cong nằm trên
mặt nên
f(x(t), y(t), z(t)) = a, ∀t ∈ I.
Đạo hàm cả hai vế tại t = 0, ta nhận được
f
x
(p)x

(0) + f
y
(p)y

(0) + f
z
(p)z

(0) = 0.
Từ đây suy ra vector tiếp xúc của c tại t = 0 trực giao với (f
x
, f
y
, f
z
) tại p. Do điểm p và đường
tham số c được lấy tùy ý nên ta suy ra rằng
N(x, y, z) =


2
x
+ f
2
y
+ f
2
z

xác định trên toàn bộ S. Do a là điểm chính qui nên f
2
x
+ f
2
y
+ f
2
z
> 0 tại mọi điểm của mặt. Do
đó N là liên tục. ✷
2
Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý)
Bài tập 3.1. Giả sử rằng một mặt chính qui S là hợp của hai mặt chính qui S
1
và S
2
, S = S
1
∪S
2

2
có thể định hướng sao cho các
định hướng cảm sinh trên A là trùng nhau còn các định hướng cảm sinh trên B là đối nhau thì S
là mặt không định hướng được. Chứng minh đây cũng là trường hợp của băng Mobius.
Rất dễ nhận thấy rằng mọi mặt chính qui đều định hướng được một cách địa phương. Điều này
có nghĩa là cho dù mặt chính qui là không định hướng được, nhưng tại mỗi điểm, mỗi lân cận của
độ của mặt đều được định hướng bởi trường pháp vector đơn vị
N =
X
u
∧ X
v
|X
u
∧ X
v
|
.
Cho (S, N) là một mặt chính qui định hướng, P là một điểm trên mặt S. Chúng ta sẽ nói cở sở
của không gian tiếp xúc T
p
S là định hướng dương nếu det(a, b, N
p
) > 0. Trong trường hợp ngược
lại chúng ta sẽ nói cơ sở {a, b} là định hướng âm. Nếu f : S
1
−→ S
2
là ánh xạ khả vi, với S
1

p
| = 1, ∀p ∈ S nên có thể xem N là ánh xạ khả
vi từ mặt chính qui S vào mặt cầu đơn vị S
2
Ánh xạ N : S −→ S
2
được gọi là ánh xạ GaussƯ
của mặt định hướng S. Theo định nghĩa ánh xạ Gauss là khả vi. Khi đó đạo hàm của N tại điểm
p ∈ S là ánh xạ tuyến tính
DN
p
: T
p
S −→ T
N
p
S
2
.
Do T
p
S ⊥ N
p
và T
N
p
S
2
⊥ N
p

Ví dụ 4. Xét mặt cầu S(O, r) tâm O bán kính r có phương trình
x
2
+ y
2
+ z
2
= r
2
.
Giả sử α(t) = (x(t), y(t), z(t)) là một đường tham số trên mặt cầu S(O, r), ta có
x
2
(t) + y
2
(t) + z
2
(t) = r
2
.
Đạo hàm hai vế theo t ta nhận được
2xx

+ 2yy

+ 2zz

= 0.
Với chú ý rằng (x


. Mặt tru C có hai trường pháp vector đơn
vị
N(x, y, z) =
1
r
(x, y, 0), N (x, y, z) =
1
r
(−x, −y, 0).
Dễ thấy N là trường pháp vector hướng ra ngoài còn N là trường pháp vector hướng vào trục của
mặt trụ và
DN
p
(v) = π(v), DN
p
(v) = −π(v);
với p ∈ S(O, r), v ∈ T
p
S(O, r) và π là phép chiếu lên mặt phẳng xy.
Nếu v ∈ T
p
C và v cùng phương với e
3
thì DN
p
(v) = DN
p
(v) = 0, tức là v là vector riêng ứng
với giá trị riêng 0 của DN
p

α, β ∈ T
p
S
DN
p
(α), β = α, DN
p
(β). (3.1)
Chứng minh. Giả sử X(u, v) là một tham số hóa của S tại p và {X
u
, X
v
} là một cơ sở của T
p
S.
Đối với cơ sở này ánh xạ DN
p
có ma trận dạng

∂N
1
∂u
∂N
1
∂v
∂N
2
∂u
∂N
2

+ bN
v
, cX
u
+ dX
v

= acN
u
, X
u
 + adN
u
, X
v
 + bcN
v
, X
u
 + bdN
v
, X
v
;
và
α, DN
p
(β) = aX
u
+ bX

, X
u
 + N, X
uv
 = 0. (3.2)
N
u
, X
v
 + N, X
uv
 = 0. (3.3)
Từ 3.2 và 3.3, ta có N
v
, X
u
 = N
u
, X
v
 và do đó
DN
p
(α), β = α, DN
p
(β).
✷
Định nghĩa 2. Dạng toàn phương II
p
(α) := −DN


(s).
Do đó
II
p
(α

(0)) = −DN
p
(α

(0)), α

(0)
= N

(0), α

(0)
= N(0), α

(0)
= N, kn(p) = k
n
(p).
Từ đây chúng ta có các nhận xét sau.
Nhận xét 2. 1. Giá trị của dạng cơ bản thứ hai II
p
đối với vector đơn vị w ∈ T
p

p
= 0.Suy ra độ cong
pháp của mặt tại mọi điểm theo mọi phương đều bằng 0.
Có thể lập luận theo cách khác như sau: do tất cả các lát cắt chuẩn tắc của mặt đều là đường
thẳng, có độ cong bằng 0 nên độ cong pháp của mặt tại mọi điểm theo mọi phương đều bằng 0.
6
Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý)
Ví dụ 7. Xét mặt cầu S
2
với định hướng N(x, y, z) = (−x, −y, −z). Mỗi lát cắt chuẩn tắc là một
đường tròn lớn, có độ cong hằng bằng 1. Từ đây suy ra độ cong pháp của mặt tại mọi điểm theo
mọi phương đều bằng 1.
Do ánh xạ tuyến tính DN
p
là liên hợp nên tồn tại cơ sở trực chuẩn {e
1
, e
2
} sao cho DN
p
(e
1
) =
−k
1
e
1
, DN
p
(e

1
, e
2
xác
định các phương gọi là các phương chính.
Chúng ta có thể gọi các vector e
1
, e
2
là các vector chỉ phương chính.
3.3.2 Công thức Euler
Giả sử {e
1
, e
2
} là một cơ sở trực chuẩn của T
p
S gồm toàn các vector riêng của DN
p
và v ∈
T
p
S, |v| = 1, v = cos θe
1
+ sin θe
2
. Do đó
II
p
(v) = −DN

2
θ + k
2
sin
2
θ. (3.4)
Nhận xét 3. Từ công thức Euler ta dễ dàng rút ra các nhận xét: các độ cong chính k
1
, k
2
lần
lượt là các giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của dạng cơ bản thứ hai II
p
trên đường tròn đơn
vị trong T
p
S, tức là các giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất độ cong pháp tại điểm p.
3.4 Độ cong Gauss và độ cong trung bình
Định nghĩa 6. Cho (S, N) là mặt chính qui định hướng, p ∈ S và DN
p
là đạo hàm của ánh xạ
Gauss N tại điểm p. ta se gọi
1. định thức của DN
p
là độ cong Gauss của S tại điểm p, ký hiệu K(p);
2. một nửa vết của −DN
p
, −
1
2

1
= k
2
.
Chúng ta có các nhận xét sau
Nhận xét 5. 1. Tại các điểm elliptic, do K > 0 nên hai độ cong chính cùng dấu và do đó độ
cong pháp theo mọi phương cùng dấu. Đều này cho thấy tất cả các đường cong đi qua điểm
này có pháp vector chỉ về cùng một phía đối với mặt phẳng tiếp xúc.
2. Tại các điểm hypẻbolic, do do K < 0 nên hai độ cong chính khác dấu và do đó tồn tại các
đường cong có pháp vector chỉ về cả hai phía của mặt phẳng tiếp xúc.
3. Tại các điểm parabolic, do K = 0 và DN
p
= 0 nên có một độ cong chính bằng 0 và một độ
cong chính khác không.
4. Tại các điểm phẳng, cả hai ôộ cong chính đều bằng 0.
5. Điểm phẳng là trường hợp đặc biệt của điểm rốn. Tại các điểm rốn, do k
1
= k
2
nên DN
p
=
k id
T
p
S
.
Định lý 3.4.1. Nếu tất cả các điểm của một mặt liên thông S là điểm rốn thì S chứa trong một
mặt cầu hoặc chứa trong một mặt phẳng.
Chứng minh. Lấy p ∈ S và X(u, v) là một tham số hóa tại điểm p sao cho lân cận tọa độ

2
X
v
). (3.8)
Do v là bất kỳ, ta suy ra
N
u
= λX
u
(3.9)
N
v
= λX
v
(3.10)
Đạo hàm 3.9 theo v và đạo hàm 3.10 theo rồi trừ nhau ta được
λ
u
X
v
− λ
v
X
u
= 0. (3.11)
Do X
u
, X
v
độc lập tuyến tính ta suy ra λ

N(u, v) chỉ là một điểm cố định bởi vì
∂
∂u
(X(u, v) −
1
λ
N(u, v)) = X
u
−
1
λ
N
u
= 0;
∂
∂v
(X(u, v) −
1
λ
N(u, v)) = X
v
−
1
λ
N
v
= 0.
Đặt I = X −
1
λ

lân cận V
t
.
1. Nếu các điểm của một lân cận tọa độ V
0
thuộc một mặt phẳng ta suy ra tất cả các điểm
thuộc mọi V
t
đều thuộc mặt phẳng đó.
2. Nếu các điểm của một lân cận tọa độ V
0
thuộc một mặt cầu ta suy ra tất cả các điểm thuộc
mọi V
t
đều thuộc mặt cầu đó.
Do q là điểm được lấy tùy ý ta suy ra điều phải chứng minh. ✷
9
Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý)
3.5 Các công thức tính toán
Cho (S, N ) là mặt chính qui định hướng và X : U −→ S là một tham số hóa địa phương của S
tại điểm p ∈ S. Chúng ta giả sử định hướng N của S là tương thích với X, có nghĩa là
N =
X
u
∧ X
v
|X
u
∧ X
v

+ a
22
X
v
;
và ma trận của DN
p
đối với cơ sở {X
u
, X
v
} là

a
11
a
12
a
21
a
22

Chúng ta xét ma trận của dạng cơ bản II
p
. Đặt
e = II
p
(X
u
) = −DN

p
(X
v
), X
v
 = −N
v
, X
v
 = N, X
vv
.
Ta có ma trận của II
p
đối với cơ sở {X
u
, X
v
} là

e f
f g

Từ
−e = N
u
, X
u
 = a
11

21
G
= N
v
, X
u
 = a
12
X
u
+ a
22
X
v
, X
u
 = a
12
E + a
22
F,
−g = N
v
, X
v
 = a
12
X
u
+ a

;
và do đó

a
11
a
21
a
12
a
22

= −

e f
f g

E F
F G

−1
.
Với chú ý rằng

E F
F G

−1
=
1

fF −gG
EG − F
2
;
và công thức tính độ cong Gauss, độ cong trung bình
K =
eg − f
2
EG − F
2
, H =
1
2

eG − 2fF + gE
EG − F
2

.
Ví dụ 8. Chúng ta sẽ tính độ cong Gauss và độ cong trung bình của nhứng diểm nằm trên mặt
xuyến được phủ bơit tham số hóa sau:
X(u, v) = ((a + r cos u) cos v, (a + r cos u) sin v, r sin u), 0 < u, v < 2π.
Chúng ta sẽ tính X
u
, X
v
, X
uu
, X
uv

2
, F = X
u
, X
v
 = 0, G = X
v
, X
v
 = (a + r cos u)
2
,
e = N, X
uu
 = r, f = N, X
uv
 = 0, g = N, X
vv
 = cos u(a + r cos u).
Ta có ma trận của dạng cơ bản I

E F
F G

=

r
2
0
0 (a + r cos u)

0
0
cos u
a+r cos u

.
Do đó, ta có hai độ cong chính là
1
r
và
cos u
a+r cos u)
và các phương chính là các phương xác định bởi
các vector X
u
và X
v
. Các độ cong Gauss và độ cong trung bình là
K = k
1
k
2
=
cos u
r(a + r cos u)
,
H =
1
2
(k

2
có độ cong Gauss
K = 0, các điểm thuộc vào miền
π
2
< u <
3π
2
có độ cong Gauss K < 0, các điểm thuộc vào các
miền
0
<
u < π2 và <
3π
2
< u < 2π có độ cong Gauss K > 0.
3.6 Mặt kẻ và mặt cực tiểu
3.6.1 Mặt kẻ
Cho α, w : I −→ R
3
là hai hàm khả vi với I là một khoảng mở trong R và w(u) = 0, ∀u ∈ I.
Chúng ta sẽ xem α(u), u ∈ I là các điểm còn w(u), u ∈ I là các vector trong R
3
. Mặt tham số
X(u, v) = α(u) + vw(u), u ∈ I, v ∈ R
được gọi là mặt kẻ sinh bởi α và w. Các đường thẳng L
u
đi qua α(u) với vector chỉ phương w(t)
các đường sinhvà đường cong α(u) gọi là đường chuẩn. Chú ý rằng chúng ta có thể chấp nhận mặt
kẻ có những điểm kỳ dị, tức là các điểm mà tại đó X

2
được gọi là đường thắt của mặt kẻ X. Mỗi điểm của β gọi là một điểm trung
tâm của mặt kẻ. Đường thắt có các tính chất sau đây
1. Đường β nằm trên mặt kẻ.
2. β

(u), w

(u) = 0, u ∈ I. Thật vậy, ta có
β

= α

− ϕ

w − ϕw

Do đó
β

, w

 = α

, w

 − ϕ

w, w


2. Mặt trụ x
2
+ y
2
= 1.
3. Mặt nón x
2
+ y
2
− x
2
= 0.
4. Mặt hyperboloid tròn xoay 1=tầng x
2
+ y
2
− z
2
= 1.
5. Mặt paraboloid hyperbolic (mặt yên ngựa) x
2
+ y
2
− z
2
= −1.
6. Mặt Helicoid với tham số hóa X(u, v) = (u cos v, u sin v, v).
13
Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý)
Bài tập 3.8. Mặt kẻ X(u, v) = α(u) + vw(u) được gọi là mặt kẻ khả triển nếu

được gọi là mặt cực tiểu nếu độ cong trung
bình tại mọi điểm bằng không.
Cho X : Ω −→ R
3
là một mặt tham số chính qui, D ⊂ Ω là miền bị chặn và h : D → R là một
hàm khả vi. Ta gọi một biến phân chuẩn tắc của X(D) xác định bởi h là ánh xạ
ϕ : D × (−, ) −→ R
3
xác định như sau
ϕ(u, v, t) = X(u, v) + th(u, v)N(u, v), (u, v) ∈ D, t ∈ (−, ).
Với mỗi t cố định, ánh xạ
X
t
: D −→ R
3
X
t
(u, v) −→ ϕ(u, v, t)
là một mặt tham số. Tính toán trực tiếp cho ta
∂X
t
∂u
= X
u
+ thN
u
+ th
u
N,
∂X

, N
u
 + t
2
h
2
u
,
F
t
= F + 2thx
u
, N
v
 + t
2
h
2
N
u
, N
v
 + t
2
h
u
h
v
,
G

, N
u
 = −f, x
v
, N
v
 = −g
và
2H(EG − F
2
) = Eg −2fF + Ge,
ta nhận được
E
t
G
t
− (F
t
)
2
= EG − F
2
− 2th(Eg − 2f F + Ge) + R
= (EG − F
2
)(1 − 4thH) + R,
với lim
t→0
(
R

2
. Dễ thấy rằng, nếu  đủ nhỏ thì A là một hàm khả vi và đạo hàm của nó tại t = 0
là
A

(0) = −

D
2hH
√
EG − F
2
dudv = −

D
2hHdA.
Định lý 3.6.1. Giả sử X : Ω −→ R
3
là mặt tham số chính qui và D ⊂ Ω là một miền bị chặn.
Mặt tham số X là cực tiểu khi và chỉ khi A

(0) = 0 với mọi miền bị chặn D và với mọi biến phân
chuẩn tắc của X(D).
Chứng minh. Nếu X là cực tiểu, H = 0 và do đó A

(0) = 0. Ngược lại giả sử A

(0) = 0 và tồn tại
điểm p ∈ D sao cho H(p) = 0. Không giảm tính tổng quát ta giả sử H(p) > 0. Chọn h : D −→ R
sao cho h(p) > 0 và H đồng nhất bằng không ngoài một lân cận đủ nhỏ của p. Khi đó A

. Mặt S được biểu diễn bởi hàm vector
X : Ω −→ R
3
(x, y) −→ S(x, y) := (x, y, f (x, y)
Các tính toán cụ thể cho ta
X
x
= (1, 0, f
x
)
X
y
= (0, 1, f
y
)
X
x
∧ X
y
= (−f
x
, −f
y
, 1)
N =
1
|X
x
∧ X
y

x
) =
f
xx

1 + f
2
x
+ f
2
y
(3.14)
F = I(X
x
, X
y
) = f
x
f
y
f = −I(X
x
, N
y
) =
f
xy

1 + f
2

2
eE + gG − 2fF
EG − F
2
= 0.
Hay một cách tương đương
eE + gG − 2fF = 0.
Thay các giá trị của E, F, G và e, f, g tính được ở trên ta nhận được phương trình
f
xx
(1 + f
2
y
) − 2f
x
f
y
f
xy
+ f
yy
(1 + f
2
x
) = 0.
Phương trình trên do Lagrange phát hiện đầu tiên nên được gọi là phương trình Lagrange.
CÁC TÍNH CHẤT ĐỊA PHƯƠNG
Định nghĩa 9. Tham số hóa X : Ω −→ R
3
gọi là trực giao (isothermal) nếu E = G và F = 0.

Chúng ta có

1 + f
2
x
w

y
−

f
x
f
y
w

x
= −
f
y
w
(f
xx
(1 + f
2
y
) − 2f
x
f
y

(1 + f
2
y
) − 2f
x
f
y
f
xy
+ f
yy
(1 + f
2
x
))
Do S là mặt cực tiểu nên f thỏa mãn phương trình Lagrange. Do đó ta có

1 + f
2
x
w

y
−

f
x
f
y
w

w

x
=

1 + q
2
w

x
−

pq
w

y
= 0.
Chúng ta xác định hai trường vector
V =

1 + p
2
w
,
pq
w

; W =

pq

Ω

1 + q
2
w

x
−

pq
w

y
= 0
Điều này cho thấy V và W có các hàm thế vị (potential function), nghĩa là tồn tại các hàm số µ
và ρ sao cho ∇µ = V và ∇ρ = W. Chúng ta có
µ
x
=
1 + p
2
w
; µ
y
=
pq
w
ρ
x
=

pq
w
pq
w
1 +
1+q
2
w

Do định thức |dT | =
(1+w)
2
w
> 0, nên theo Định lý hàm ngược, tồn tại hàm ngược T
−1
(u, v) = (x, y).
Chúng ta có (theo chain rule)
d(T
−1
) = (dT )
−1
=
1
det dT

1 +
1+q
2
w
−

y
v


17
Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý)
Bây giờ chúng ta sẽ kiểm tra tham số hóa
X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), f(x(u, v), y(u, v)))
là isothermal. Tính toán trực tiếp ta có
X
u
=
1
(1 + w)
2
(w + 1 + q
2
, −pq, p(w + 1 + q
2
) + q(−pq)),
X
v
=
1
(1 + w)
2
(−pq, w + 1 + p
2
, q(w + 1 + p
2

2G
X
v
+ eN
X
vv
= −
G
u
2E
X
u
−
G
v
2G
X
v
+ gN.
Do đó
X
uu
+ X
vv
=

E
u
2E
X

u
−
E
v
2G
X
v
+ eN −
G
u
2E
X
u
+
G
v
2G
X
v
+ gN
= (e + g)N = 2E

e + g
2E

N = (2EH)N.
Và chúng ta có hệ quả trực tiếp
Hệ quả 3.6.4. Mặt tham số X(u, v) với tham số hóa X trực giao là mặt cực tiểu nếu và chỉ nếu
x, y, z là các hàm điều hòa, nghĩa là X = 0.
3.7 Các đường đặc biệt trên mặt

α(t)
(α

(t) = N

(t) = λ(t)α

(t); ∀t.
Chiều ngược lại là hiển nhiên.
2. k
n
(p, α

) = −
N

.α

α

.α

=
N.α

α

.α

.

X(u, v) = (u, v, u
2
− v
2
),
với U = R
2
và X(R
2
) = S. Ta có
X
u
= (1, 0, 2u), X
v
= (0, 1, −2v);
X
u
∧ X
v
= (−2u, 2v, 1).
Do đó mặt có một trường pháp vector đơn vị xác định bởi
N(X(u, v)) =
1
u
2
+ v
2
+
1
4

p
, và ký hiệu x, y) là tọa độ
của các vector trong T
p
S. Cho v ∈ T
p
S, v = xe
1
+ ye
2
và giả sử v = |v|(cos θe
1
+ sin θe
2
). Như vậy,
x = |v|cos θ và y = |v|sin θ. Theo công thức Euler
II
p
(v) = v
2
(k
1
cos
2
θ + k
2
sin
2
θ
= k

4. Tại các điểm parabolic, một độ cong chính bằng không do đó chỉ đồ Dupin suy biến thành
hai đường thẳng song song. Phương của hai đường thẳng này chính là phương tiệm cận duy
nhất tại điểm này.
Định nghĩa 13. Cho p là một điểm trên mặt S. Hai vector khác không v
1
.v
2
|inT
p
S gọi là liên hợp
nếu DN
p
(v
1
), v
2
 = DN
p
(v
2
), v
1
 = 0. Hai vector liên hợp xác định hai phương gọi là hai phương
liên hợp. Hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng T
p
S đi qua p gọi là hai đường thẳng liên hợp nếu
các vector chỉ phương của chúng là các vector liên hợp.
Nhận xét 7. Từ định nghĩa chúng ta dễ dàng kiểm tra được các nhận xét sau:
Định nghĩa về hai phương liên hợp và hai đường thẳng liên hợp không phụ thuộc vào các vector
được chọn.

2
tạo với vector e
1
.
Chứng minh rằng v
1
, v
2
là hai vector liên hợp khi và chỉ khi
k
1
cos θ cos ϕ = −k
2
sin θ sin ϕ.
Bài tập 3.10.
3.7.3 Đường trắc địa
Cho S là một mặt chính qui và α : I −→ S là một đường tham số trên mặt. Đường tham số α
được gọi là đường trắc địa trên mặt nếu α

(t) ⊥ T
α(t)
S, ∀t ∈ I.
Nhận xét 8.
Từ giả thiết α

⊥ T
α(t)
S, suy ra rằng α

(t) ⊥ α

2
+ y
2
= r
2
. Một đường tham số trên
mặt trụ có dạng
α(t) = (r cos u(t), r sin u(t), v(t)).
Do các vector pháp của mặt trụ đều có thành phần tọa độ thứ ba z = 0, nên nếu α là đường trắc
địa thì ta phải có v

(t) = 0 hay v(t) = ct + d. Do vector vận tốc của đường trắc địa là hằng nên
nếu α là đường trắc địa thì (r
2
(u

)
2
+ (v

)
2
)
1
2
= const. Từ đây chúng ta suy ra u

= const. và do
đó u(t) = at + b.
1. Nếu a, c = 0; ta có α là một đường xoắn ốc.