Các chuyên đề
LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Biên soạn: Nguyễn Minh Hiếu
THPT Phan Đình Phùng
Đồng Hới
Tháng 08 - 2012
O
y
x
F
1
F
2
A
1
A
2
B
1
B
2
Copyright
c
2012 by Nguyễn Minh Hiếu, “All rights reserved”.
www.VNMATH.com
1
Nguyễn Minh Hiếu
www.VNMATH.com
2
Mục lục
Chuyên đề 1. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

§2. Phương Trình Mặt Phẳng . . 36
§3. Phương Trình Đường Thẳng . . . . 38
§4. Hình Chiếu . . . 40
§5. Góc Và Khoảng Cách . . . . . . 41
Chuyên đề 7. Phương Trình Lượng Giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
§1. Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản . . . . . 45
§2. Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp. . 46
§3. Phương Trình Lượng Giác Đưa Về Phương Trình Tích . 47
§4. Phương Trình Lượng Giác Chứa Ẩn Ở Mẫu . 48
§5. Nghiệm Thuộc Khoảng Cho Trước. . . 49
3
www.VNMATH.com
3
Nguyễn Minh Hiếu
Chuyên đề 8. Nguyên Hàm - Tích Phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
§1. Nguyên Hàm . . . . 51
§2. Một Số Phương Pháp Tìm Nguyên Hàm . . . . . 52
§3. Tích Phân . . 52
§4. Một Số Phương Pháp Tính Tích Phân . 54
§5. Tích Phân Của Hàm Số Lượng Giác . . . 56
§6. Ứng Dụng Của Tích Phân . . . . . . . 57
Chuyên đề 9. Số Phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
§1. Dạng Đại Số Của Số Phức . . . 59
§2. Phương Trình Bậc Hai Nghiệm Phức . . 61
§3. Dạng Lượng Giác Của Số Phức . . . . 62
Chuyên đề 10. Hình Học Không Gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
§1. Quan Hệ Song Song . . . . 63
§2. Quan Hệ Vuông Góc . . 64
§3. Thể Tích Khối Đa Diện . . . . . . 65
§4. Mặt Nón - Mặt Trụ - Mặt Cầu . . 68


(x) = 0 tại hữu hạn điểm của I thì y = f(x) đồng biến trên I.
• Khoảng I ở trên có thể được thay bởi một đoạn hoặc nửa khoảng với giả thiết bổ sung: “Hàm số y = f(x) liên
tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.
B. Kỹ Năng Cơ Bản
1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.
• Tìm tập xác định. Tính y

. Tìm các điểm tại đó y

bằng 0 hoặc không xác định.
• Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận.
2. Điều kiện để hàm số luôn đồng biến, nghịch biến.
• Tìm tập xác định D
f
.
• Tính y

và chỉ ra y

≥ 0, ∀x ∈ D
f
(hoặc y

≤ 0, ∀x ∈ D
f
).
C. Bài Tập
1.1. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau
a) y = 2x

.
i) y =
x
2
− 4x + 4
1 − x
.
1.2. Tìm m để hàm số y = x
3
+ (m − 1) x
2
+

m
2
− 4

x + 9 luôn đồng biến trên R.
1.3. Tìm m để hàm số y = −mx
3
+ (3 − m) x
2
− 2x + 2 luôn nghịch biến trên R.
1.4. Tìm m để hàm số y =
mx − 2
m − x
luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
1.5. Tìm m để hàm số y =
mx − 2
x + m − 3

0
. Khi đó, nếu y = f(x) có đạo hàm tại x
0
thì f

(x
0
) = 0.
Định lý 1.3. Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) chứa x
0
và có đạo hàm trên (a; x
0
), (x
0
; b). Khi đó
• Nếu f

(x) < 0, ∀x ∈ (a; x
0
) và f

(x) > 0, ∀x ∈ (x
0
; b) thì hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x
0
.
• Nếu f

(x) > 0, ∀x ∈ (a; x
0

0
) = 0
f

(x
0
) > 0
thì hàm số đạt cực tiểu tại x
0
.
Lưu ý. Nếu y

(x
0
) = 0 thì hàm số có thể đạt cực trị hoặc không đạt cực trị tại x
0
.
B. Kỹ Năng Cơ Bản
1. Tìm cực trị của hàm số.
• Tìm tập xác định. Tính y

. Tìm các điểm tại đó y

bằng 0 hoặc không xác định.
• Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận.
2. Điều kiện để hàm số có cực trị, có k cực trị.
• Sử dụng ĐL 1.3 và ĐL 1.4.
3. Điều kiện để hàm số đạt cực trị tại x
0
.

3
− 3x + 2. c) y = x
3
+ 3x
2
+ 3x.
d) y = x
4
− 2x
2
+ 3. e) y = −x
4
+ 2x
3
− 2x − 1.
f) y =
√
x
2
− 2x − 3.
g) y =
2x + 3
x + 2
. h) y =
x + 2
3x − 1
.
i) y =
x
2

+ 2m + 1. Với giá trị nào của m thì hàm số
a) Có ba điểm cực trị. b) Đạt cực tiểu tại x = 0.
c) Đạt cực trị tại x = 1.
1.15. Tìm m để hàm số y = −x
4
+ 2 (2m −1) x
2
+ 3 có đúng một cực trị.
1.16. (B-02) Tìm m để hàm số y = mx
4
+

m
2
− 9

x
2
+ 10 có ba điểm cực trị.
1.17. Xác định giá trị của m để hàm số y =
x
2
+ mx + 1
x + m
a) Không có cực trị. b) Đạt cực tiểu tại x = 1.
c) Đạt cực đại tại x = 2.
www.VNMATH.com
6
Chuyên đề 1. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số
§3. Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số

, y

= 0 ⇒ x
i
∈ D.
• Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận.
2. Xét tính đơn điệu trên khoảng cho trước.
PP1
:
• Tính y

và chỉ ra y

≥ 0, ∀x ∈ D (hoặc y

≤ 0, ∀x ∈ D).
• Từ y

≥ 0, ∀x ∈ D ⇒ m ≥ g(x), ∀x ∈ D.
• Lập bảng biến thiên của g(x) trên D. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận.
PP2:
• Tính y

. Tìm các điểm tại đó y

= 0 hoặc không xác định.
• Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận.
Lưu ý.
• m ≥ f(x), ∀x ∈ D ⇔ m ≥ max
x∈D

1 + x
2
.
h) y = x
4
+ 2x
2
− 1.
i) y = x +
√
4 − x
2
.
1.19. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau
a) y = x +
√
2 cos x trên

0;
π
2

.
b) y = 2 sin x −
4
3
sin
3
x trên [0; π].
c) y = sin

2
+ (m − 3) x − 4 đồng biến trên (0; 3).
1.23. Tìm m để hàm số y = mx
3
− 3 (m −1) x
2
+ 9 (m −2) x + 1 đồng biến trên [2; +∞).
1.24. Tìm m để hàm số y = x
3
+ 3x
2
+ (m + 1) x + 4m đồng biến trên (−∞; −2) và (2; +∞).
1.25. (BĐT-50) Tìm m để hàm số y =
mx
2
+ 6x − 2
x + 2
nghịch biến trên [1; +∞).
1.26. Tìm m để hàm số y =
x
2
− 2mx + 2m
2
− 2
x − m
đồng biến trên (1; +∞).
1.27. Tìm a để hàm số y =
x
2
− 2ax + 4a

0
f(x) = −∞; lim
x→x
−
0
f(x) = +∞ hoặc lim
x→x
−
0
f(x) = −∞.
Định nghĩa 1.8. Đường thẳng y = ax + b, (a = 0) được gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu
lim
x→+∞
[f(x) − (ax + b)] = 0 hoặc lim
x→−∞
[f(x) − (ax + b)] = 0.
B. Kỹ Năng Cơ Bản
1. Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng.
• Tìm lim
x→±∞
f(x) ⇒TCN.
• Tìm lim
x→x
±
0
f(x) ⇒TCĐ.
Lưu ý. x
0
thường là một nghiệm của mẫu.
2. Tìm tiệm cận xiên.

√
x + 3
x + 1
.
f) y = 2x − 1 +
1
x
.
g) y =
x
2
− 4x + 4
1 − x
.
h) y =

x
2
+ x − 1. i) y = x +

x
2
+ 2x.
1.29. Tìm m để đồ thị hàm số y =
mx
2
− 2m (m −1) x − 3m
2
+ m − 2
x + 2

1.33. Tìm m để đồ thị hàm số y =
2x
2
− (5m − 1) x + 4m
2
− m − 1
x − m
có tiệm cận xiên tạo với các trục toạ độ một
tam giác có diện tích bằng 4.
1.34. Cho hàm số y =
3x − 1
x − 2
. Chứng minh tích các khoảng cách từ điểm M nằm trên đồ thị hàm số đến hai tiệm
cận không đổi.
1.35. Cho hàm số y =
−x
2
+ 4x − 3
x − 2
. Chứng minh tích các khoảng cách từ điểm M nằm trên đồ thị hàm số đến
hai tiệm cận là một hằng số.
1.36. Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số y =
3x − 5
x − 2
để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.
1.37. Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số y =
x
2
+ 2x − 2
x − 1

0
, f

(x
0
) = 0 và f

(x) đổi dấu
khi qua điểm x
0
thì U (x
0
; f (x
0
)) là một điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x).
B. Các Dạng Đồ Thị Khảo Sát
• Hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a = 0). • Hàm số y = ax
4
+ bx
2
+ c (a = 0).
O O
y y
x x
U
U

3
+ 1. d) y = x
3
+ 3x
2
+ 3x + 1.
e) y = x
3
+ x − 2. f) y = −2x
3
− x − 3. g) y = −x
3
+ 3x
2
− 1.
h) y =
1
3
x
3
− x
2
− 3x −
5
3
.
1.39. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau
a) y = x
4
− 2x

+ 1. g) y = −2x
4
− 4x
2
+ 1. h) y = x
4
− 4x
2
+ 3.
1.40. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau
a) y =
4
2 − x
. b) y =
x − 3
2 − x
. c) y =
x + 3
x − 1
. d) y =
−x + 2
2x + 1
.
e) y =
x − 2
x + 1
. f) y =
x + 2
x − 1
. g) y =

.
e) y =
x
2
− 2x
x − 1
. f) y =
2x
2
− x + 1
1 − x
.
g) y = −x + 2 +
1
x − 1
. h) y = x − 1 +
1
x + 1
.
www.VNMATH.com
10
Chuyên đề 2
Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ
Phương Trình Đại Số
§1. Phương Trình - Bất Phương Trình Không Chứa Căn
A. Phương Pháp Giải Cơ Bản
1. Đưa về phương trình tích.
• Biến đổi đưa phương trình về dạng f(x).g(x) = 0.
• Áp dụng công thức f (x).g(x) = 0 ⇔


x − 2
x
2
− 9x + 8
≥ 0.
b)
x
2
− 3x − 2
x − 1
≥ 2x + 2.
c)
x + 5
2x − 1
+
2x − 1
x + 5
> 2. d)
1
x
2
− 5x + 4
<
1
x
2
− 7x + 10
.
2.3. Giải các phương trình sau
a) x

2
+ 1

3
+ (1 − 3x)
3
=

x
2
− 3x + 2

3
.
f) (4 + x)
2
− (x − 1)
3
= (1 − x)

x
2
− 2x + 17

.
2.4. Giải các phương trình sau
a)

x
2

+ 3x
2
− 4x + 1.
2.5. Giải các phương trình sau
a) (x + 3)
4
+ (x + 5)
4
= 2. b) (x + 1)
4
+ (x + 3)
4
= 16.
c) (x + 3)
4
+ (x − 1)
4
= 82.
d) x
4
+ (x − 1)
4
=
41
8
.
2.6. Giải các phương trình sau
a) (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) = 3. b)

x

2
− 4x + 1 = 0. b) 2x
4
+ 3x
3
− 9x
2
− 3x + 2 = 0.
c) 2x
4
+ 3x
3
− 27x
2
+ 6x + 8 = 0. d) x
4
− 5x
3
+ 8x
2
− 10x + 4 = 0.
2.8. Giải các phương trình sau
a)

x
2
+ 5x

2
− 2

a)
1
2x
2
− x + 1
+
1
2x
2
− x + 3
=
6
2x
2
− x + 7
. b)
4x
4x
2
− 8x + 7
+
3x
4x
2
− 10x + 7
= 1.
c)
x
2
+ 1

x
x + 1

2
= 1. f)

1
x
2
+ x + 1

2
+

1
x
2
+ x + 2

2
=
13
36
.
2.10. Giải các phương trình sau
a) |x − 1| =


x
2

√
x
2
+ 4x + 4 = 5 − x
2
.
e)


x
2
− 5x + 4


= x
2
+ 6x + 5. f)


x
2
− 5x + 5


= −2x
2
+ 10x − 11.
2.11. Giải các phương trình sau
a)


− 2 = 0.
c)


x
2
+ 3x − 10


+


x
2
− 4


= 0. d)


x
2
+ 3x − 4


+


x
2011

x
2
− 2x


+ x
2
− 4 > 0.
2.13. Giải các phương trình sau
a) |9 − x| = |6 − 5x| + |4x + 3|. b)


x
2
− 5x + 4


+


x
2
− 5x


= 4.
c) |7 − 2x| = |5 − 3x| + |x + 2|. d) |x − 1| − 2 |x − 2| + 3 |x − 3| = 4.
e)
√
x

g(x) ≥ 0
f(x) = g
2
(x)
.
•
3

f(x) =
3

g(x) ⇔ f(x) = g(x). •
3

f(x) = g(x) ⇔ f (x) = g
3
(x).
•

f(x) < g(x) ⇔



f(x) ≥ 0
g(x) > 0
f(x) < g
2
(x)
. •


2.14. Giải các phương trình sau
a) x −
√
x − 1 − 7 = 0. b)
√
2x + 9 =
√
4 − x +
√
3x + 1.
c)
√
3x − 3 −
√
5 − x =
√
2x − 4.
d)

2x +
√
6x
2
+ 1 = x + 1.
e)
3
√
2x − 1 +
3
√

x
3
+ 1 ≥ x + 1.
2.16. Giải các bất phương trình sau
a) (CĐ-09)
√
x + 1 + 2
√
x − 2 ≤
√
5x + 1. b) (A-05)
√
5x − 1 −
√
x − 1 >
√
2x − 4.
c)

2x +
√
6x
2
+ 1 > x + 1.
d) (A-04)

2 (x
2
− 16)
√


x +
1
4
= 9.
d)

x + 2
√
x − 1 +

x − 2
√
x − 1 =
x + 3
3
.
2.18. Giải các bất phương trình sau
a)

x
4
+
√
x − 4 ≥ 8 − x.
b) (D-02)

x
2
− 3x

− 5x + 4. f)
√
x
2
+ x − 2 +
√
x
2
+ 2x − 3 ≤
√
x
2
+ 4x − 5.
2.19. Giải các phương trình sau
a) (D-06)
√
2x − 1 + x
2
− 3x + 1 = 0.
b)

7 − x
2
+ x
√
x + 5 =
√
3 − 2x − x
2
.

7
x
2
+

x −
7
x
2
= x.
2.20. Giải các bất phương trình sau
a)
1 −
√
1 − 4x
2
x
< 3.
b)
1 −
√
21 − 4x + x
2
x + 1
≥ 0.
c)
2x
√
2x + 1 − 1
> 2x + 2.

3x − 2 +
√
x − 1 = 4x − 9 + 2
√
3x
2
− 5x + 2.
2.22. Giải các phương trình sau
a) x +
√
4 − x
2
= 2 + 3x
√
4 − x
2
.
b) (x − 3) (x + 1) + 4 (x − 3)

x+1
x−3
= −3.
c)
4
x
2
+
x
2
4 − x

x
2
+ 3x + 5. b) x
2
+
√
2x
2
+ 4x + 3 ≥ 6 − 2x.
c) x (x + 1) −
√
x
2
+ x + 4 + 2 ≥ 0.
d) x
2
− 2x + 8 − 6

(4 − x) (2 + x) ≤ 0.
e)
x
x + 1
− 2

x + 1
x
> 3.
f)
√
x + 2 +

x
2
− 2x + 24.
2.25. Giải các phương trình sau
a)
3
√
2 − x = 1 −
√
x − 1. b) (A-09) 2
3
√
3x − 2 + 3
√
6 − 5x − 8 = 0.
c) 2

x
2
+ 2

= 5
√
x
3
+ 1. d) 2

x
2
− 3x + 2

3

x +
3
√
35 − x
3

= 30.
2.27. Giải các phương trình, bất phương trình sau
a) (B-2012) x + 1 +
√
x
2
− 4x + 1 ≥ 3
√
x.
b) (A-2010)
x −
√
x
1 −

2 (x
2
− x + 1)
≥ 1.
c)
3
√

c)
√
2x − 1 +
√
x
2
+ 3 = 4 − x.
d) x
5
+ x
3
−
√
1 − 3x + 4 = 0.
e) x
3
+ 4x − (2x + 7)
√
2x + 3 = 0. f) (CĐ-2012) 4x
3
+ x − (x + 1)
√
2x + 1 = 0.
2.29. Giải các phương trình sau
a)
√
x
2
− 2x + 5 +
√

+ 3x −
1
2
.
§3. Hệ Phương Trình Đại Số
A. Phương Pháp Giải Cơ Bản
1. Đưa về hệ mẫu mực. (Hệ đối xứng loại I, hệ đối xứng loại II, hệ đẳng cấp)
2. Phương pháp thế.
• Loại 1: Rút một biểu thức từ một phương trình rồi thế vào phương trình kia.
• Loại 2: Giải cụ thể một phương trình rồi thế vào phương trình kia.
• Loại 3. Thế hằng số.
3. Đặt ẩn phụ.
4. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
• Nếu y = f(x) luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên D thì f(u) = f(v) ⇔ u = v.
• Nếu y = f(x) luôn đồng biến trên D còn y = g(x) luôn nghịch biến hoặc không đổi trên D thì phương trình
f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trên D.
B. Bài Tập
2.30. Giải các hệ phương trình sau
a)

x
2
+ y
2
+ xy = 7
x + y + xy = 5
. b)

x + y + xy = 1
x

a)

x
2
− 2y
2
= 2x + y
y
2
− 2x
2
= 2y + x
. b)





x − 3y =
4y
x
y −3x =
4x
y
.
c)






x
2
− xy = 2
2x
2
+ 4xy −2y
2
= 14
. b)

x
2
− 2xy + 3y
2
= 9
x
2
− 4xy + 5y
2
= 5
.
c)

x
3
+ y
3
= 1
x

3
− 3x = y
3
− 3y
. b) (DB-06)

x
2
+ 1 + y (y + x) = 4y

x
2
+ 1

(y + x − 2) = y
.
c) (B-08)

x
4
+ 2x
3
y + x
2
y
2
= 2x + 9
x
2
+ 2xy = 6x + 6

= y −
1
y
2y = x
3
+ 1
.
c)

x
2
+ y
2
+
2xy
x+y
= 1
√
x + y = x
2
− y
. d)

6x
2
− 3xy + x + y = 1
x
2
+ y
2

.
c) (D-2012)

xy + x − 2 = 0
2x
3
− x
2
y + x
2
+ y
2
− 2xy −y = 0
. d)

x
3
+ 2y
2
= x
2
y + 2xy
2

x
2
− 2y −1 +
3

y


x
3
− 8x = y
3
+ 2y
x
2
− 3 = 3

y
2
+ 1

. d) (A-2011)

5x
2
y −4xy
2
+ 3y
3
− 2 (x + y) = 0
xy

x
2
+ y
2


3
y
3
+ 27 = 18y
3
4x
2
y + 6x = y
2
. d)

x
3
− y
3
= 9
x
2
+ 2y
2
= x − 4y
.
2.38. Giải các hệ phương trình sau
a)

x (3x + 2y) (x + 1) = 12
x
2
+ 2y + 4x − 8 = 0
. b)

2
+ y
2
= 5
√
y −1 (x + y −1) = (y −2)
√
x + y
. f) (A-08)

x
2
+ y + x
3
y + xy
2
+ xy = −
5
4
x
4
+ y
2
+ xy (1 + 2x) = −
5
4
.
2.39. Giải các hệ phương trình sau
a)


x
2
+ y
2
− x + y =
1
2
. d) (A-2010)


4x
2
+ 1

x + (y −3)
√
5 − 2y = 0
4x
2
+ y
2
+ 2
√
3 − 4x = 7
.
§4. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Chứa Tham Số
A. Kiến Thức Bổ Sung
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên D và có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên D. Ta có:
• m = f(x) có nghiệm trên D ⇔ min
x∈D

m −
√
5

x
2
− 3mx + m + 1 = 0.
a) Có nghiệm. b) Vô nghiệm c) Có hai nghiệm trái dấu.
2.41. Tìm m để phương trình x
2
+ 2 (m + 1) x + 9m −5 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt.
2.42. Tìm m để phương trình (m − 2) x
2
− 2mx + m + 3 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt.
2.43. Tìm m để phương trình (m − 2) x
4
− 2 (m + 1) x
2
+ 2m − 1 = 0.
a) Có một nghiệm. b) Có hai nghiệm phân biệt. c) Có bốn nghiệm phân biệt.
2.44. (D-04) Tìm m để hệ

√
x +
√
y = 1
x
√
x + y
√

x + 1 = 2
4
√
x
2
− 1 có nghiệm thực.
2.49. (B-06) Tìm m để phương trình
√
x
2
+ mx + 2 = 2x + 1 có hai nghiệm thực phân biệt.
2.50. (B-04) Tìm m để phương trình m

√
1 + x
2
−
√
1 − x
2
+ 2

= 2
√
1 − x
4
+
√
1 + x
2

3
− 2x
2
+ 3mx − m
2
= 0 luôn có nghiệm.
2.55. (DB-04) Tìm m để hệ

x
2
− 5x + 4 ≤ 0
3x
2
− mx
√
x + 16 = 0
có nghiệm.
2.56. (D-2011) Tìm m để hệ

2x
3
− (y + 2) x
2
+ xy = m
x
2
+ x − y = 1 −2m
có nghiệm.
2.57. Tìm m để hệ
√

−→
v (x
2
; y
2
) và ba điểm A (x
A
; y
A
) , B (x
B
; y
B
) , C (x
C
; y
C
). Ta có
• Hai vectơ bằng nhau:
−→
u =
−→
v ⇔

x
1
= x
2
y
1

v .
• Tích vô hướng của hai vectơ:
−→
u .
−→
v = x
1
x
2
+ y
1
y
2
.
• Hai vectơ vuông góc:
−→
u ⊥
−→
v ⇔
−→
u .
−→
v = 0.
• Độ dài vectơ: |
−→
u | =

x
2
1

B
− y
A
).
• Khoảng cách giữa hai điểm: AB =



−−→
AB



=

(x
B
− x
A
)
2
+ (y
B
− y
A
)
2
.
• Tính chất trung điểm: I là trung điểm của AB ⇔ I



.
B. Bài Tập
3.1. Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A (−1; 1) , B (2; 5) , C (4; 3). Tìm tọa độ điểm D sao cho
−−→
AD = 3
−−→
AB −2
−→
AC.
Tìm tọa độ điểm M sao cho
−−→
MA + 2
−−→
MB = 5
−−→
MC.
3.2. Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A (2; 5) , B (1; 1) , C (3; 3). Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình
hành. Tìm tọa độ tâm hình bình hành đó.
3.3. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A (−3; 2) , B (4; 3). Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Ox sao cho tam giác
MAB vuông tại M.
3.4. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A (1; −1) , B (5; −3), đỉnh C thuộc trục Oy và trọng tâm G thuộc
trục Ox. Tìm tọa độ đỉnh C và trọng tâm G.
3.5. Trong mặt phẳng Oxy, cho A (−1; 3) , B (0; 4) , C (3; 5) , D (8; 0). Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp.
3.6. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A (0; 6) , B (−2; 0) , C (2; 0). Gọi M là trung điểm AB, G là trọng
tâm tam giác ACM và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh GI vuông góc với CM .
3.7. (A-04) Trong mặt phẳng Oxy, cho A (0; 2) , B

−
√

n =
−→
0 có giá vuông góc với ∆ gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆.
Lưu ý.
−→
n (a; b) ⇒
−→
u (b; −a) và ngược lại.
2. Phương trình tham số của đường thẳng.
• Đường thẳng qua M (x
0
; y
0
) và có vectơ chỉ phương
−→
u (a; b) có phương trình tham số:

x = x
0
+ at
y = y
0
+ bt
.
3. Phương trình tổng quát của đường thẳng.
• Dạng: ax + by + c = 0 (a
2
+ b
2
= 0).

• Trục Ox có phương trình y = 0 và trục Oy có phương trình x = 0.
4. Góc và khoảng cách.
• Góc giữa hai đường thẳng: cos (∆
1
; ∆
2
) =
|
−→
n
1
.
−→
n
2
|
|
−→
n
1
|. |
−→
n
2
|
.
• Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: d (M, ∆) =
|ax
0
+ by

3.16. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d
1
: 2x − y − 1 = 0; d
2
: x + 2y − 3 = 0 và điểm M (2; −1). Tìm
giao điểm A của d
1
, d
2
. Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M và cắt d
1
, d
2
lần lượt tại B, C sao cho tam giác
ABC cân tại A.
3.17. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B (−4; −5) và hai đường cao lần lượt có phương trình là
d
1
: 5x + 3y −4 = 0 và d
2
: 3x + 8y + 13 = 0. Lập phương trình cạnh AC.
3.18. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có phương trình AB là 5x − 3y + 2 = 0; các đường cao qua đỉnh
A và B lần lượt là d
1
: 4x − 3y + 1 = 0 và d
2
: 7x + 2y −22 = 0. Lập phương trình hai cạnh còn lại.
3.19. (CĐ-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC. Các đường thẳng BC, BB

, B

2
: x + y + 3 = 0. Lập phương trình cạnh BC.
3.23. (B-2010) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C (−4; 1), phân giác trong góc A
có phương trình x + y −5 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác bằng 24 và đỉnh A có
hoàng độ dương.
3.24. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành có hai cạnh là x + 3y −6 = 0 và 2x − 5y −1 = 0. Biết hình bình
hành có tâm đối xứng I (3; 5), hãy viết phương trình hai cạnh còn lại của hình hành.
3.25. (A-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6; 2) là giao điểm của hai đường chéo AC
và BD. Điểm M (1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng ∆ : x + y −5 = 0.
Viết phương trình đường thẳng AB.
3.26. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ :

x = −2 − 2t
y = 1 + 2t
và điểm M (3; 1). Tìm điểm M (3; 1) sao cho
đoạn MB là ngắn nhất.
3.27. (B-07) Trong mặt phẳng Oxy, cho A (2; 2) và các đường thẳng d
1
: x + y −2 = 0, d
2
: x + y −8 = 0. Tìm điểm
B ∈ d
1
và C ∈ d
2
sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.
3.28. (B-04) Trong mặt phẳng Oxy, cho A (1; 1) , B (4; −3). Tìm điểm C thuộc d : x −2y − 1 = 0 sao cho khoảng
cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6.
3.29. (B-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho các đường thẳng ∆ : x − y − 4 = 0 và d : 2x −y − 2 = 0. Tìm tọa độ
điểm N thuộc d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng ∆ tại điểm M thỏa mãn OM.ON = 8.

tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại các điểm DEF. Cho D (3; 1) và đường thẳng EF có phương trình
y −3 = 0. Tìm tọa độ điểm A, biết A có tung độ dương.
3.35. (B-08) Trong mặt phẳng Oxy, tìm toạ độ đỉnh C của tam giác ABC biết hình chiếu C lên đường thẳng AB
là H(−1; −1), đường phân giác trong góc A là x − y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ B là 4x + 3y −1 = 0.
3.36. (D-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B (−4; 1), trọng tâm G (1; 1) và đường thẳng
chứa phân giác trong của góc A có phương trình x − y − 1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh A và C.
3.37. (A-2010) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A (6; 6); đường thẳng đi qua trung
điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y −4 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C, biết điểm E (1; −3) nằm
trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho.
3.38. (B-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại đỉnh A có đỉnh A (−1; 4) và các đỉnh B, C thuộc
đường thẳng ∆ : x − y −4 = 0. Xác định toạ độ các điểm B, C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18.
3.39. (B-02) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm I

1
2
; 0

, AB : x−2y+2 = 0, cạnh AB = 2AD.
Tìm toạ độ các đỉnh biết A có hoành độ âm.
3.40. (A-05) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d
1
: x − y = 0, d
2
: 2x + y − 1 = 0. Tìm các đỉnh hình
vuông ABCD biết A thuộc d
1
, B thuộc d
2
và B, D thuộc trục hoành.
3.41. (D-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD. Các đường thẳng AC và AD lần lượt có phương

= R
2
(R > 0)
Có tâm I (a; b) và bán kính R =
√
R
2
.
• Dạng 2: x
2
+ y
2
− 2ax − 2by + c = 0

a
2
+ b
2
> c

Có tâm I (a; b) và bán kính R =
√
a
2
+ b
2
− c.
2. Tiếp tuyến với đường tròn.
• Tiếp tuyến tại M đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến là
−−→

2
−2x + 4y −5 = 0. Viết phương
trình đường thẳng ∆ cắt (C) tại hai điểm M, N sao cho tam giác AMN vuông cân tại A.
3.45. (CĐ-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : x
2
+ y
2
− 2x − 4y + 1 = 0 và đường thẳng d :
4x − 3y + m = 0. Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho

AIB = 120
0
, với I là tâm của (C).
3.46. (D-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : (x − 1)
2
+ y
2
= 1. Gọi I là tâm của (C). Xác định toạ độ
điểm M ∈ (C) sao cho

IMO = 30
0
.
3.47. (A-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : x
2
+y
2
+4x+4y+6 = 0 và đường thẳng ∆ : x+my−2m+3 =
0, với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C). Tìm M để ∆ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao
cho diện tích tam giác IAB lớn nhất.

vẽ từ B và M, N là trung điểm AB, BC. Viết phương trình đường tròn qua H, M, N.
3.51. (D-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : 2x − y + 3 = 0. Viết phương trình đường tròn có tâm
thuộc d, cắt trục Ox tại A và B, cắt trục Oy tại C và D sao cho AB = CD = 2.
3.52. (B-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho các đường tròn (C
1
) : x
2
+ y
2
= 4, (C
2
) : x
2
+ y
2
− 12x + 18 = 0 và
đường thẳng d : x −y − 4 = 0. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc (C
2
) tiếp xúc với d và cắt (C
1
) tại hai
điểm phân biệt A và B sao cho AB vuông góc với d.
3.53. (A-2010) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d
1
:
√
3x + y = 0 và d
2
:
√

Chuyên đề 3. Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng
• Phương trình chính tắc của elip:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1

b
2
= a
2
− c
2

.
• Trong đó:
Các đỉnh: A
1
(−a; 0), A
2
(a; 0), B
1
(0; −b), B
2

, M F
2
= a −
cx
a
.
B. Bài Tập
3.54. Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh, độ dài trục lớn, độ dài trục bé của mỗi elip có phương trình sau
a)
x
2
25
+
y
2
4
= 1. b)
x
2
9
+
y
2
4
= 1.
c) x
2
+ 4y
2
= 4.

+
y
2
1
= 1. Tìm A, B thuộc (E) biết A, B đối
xứng nhau qua trục hoành và tam giác ABC đều.
3.58. (B-2010) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A

2;
√
3

và elip (E) :
x
2
3
+
y
2
2
= 1. Gọi F
1
và F
2
là các tiêu điểm
của (E) (F
1
có hoành độ âm); M là giao điểm có tung độ dương của đường thẳng AF
1
với (T ); N là điểm đối xứng

Nguyễn Minh Hiếu
www.VNMATH.com
22
Chuyên đề 4
Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát
Hàm Số
§1. Cực Trị Của Hàm Số
A. Kiến Thức Bổ Sung
Cách tính tung độ cực trị:
• Nếu y = f

(x).g(x) + r(x) thì y
0
= r(x
0
).
• Nếu y =
u(x)
v(x)
thì y
0
=
u

(x
0
)
v

(x

2
thỏa
1
x
1
+
1
x
2
=
1
2
(x
1
+ x
2
).
4.3. (D-2012) Tìm m để hàm số y =
2
3
x
3
− mx
2
− 2

3m
2
− 1


2
+ 2mx + 1 − 3m
2
x − m
có hai cực trị nằm về hai phía trục tung.
4.6. (DB-04) Tìm m để hàm số y = x
3
−3 (m + 1) x
2
+ 3m (m + 2) x + 1 đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành
độ dương.
4.7. Tìm m để hàm số y =
mx
2
+ 3mx + 2m + 1
x − 1
có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của trục Ox.
4.8. (A-02) Cho hàm số y = −x
3
+ 3mx
2
+ 3

1 − m
2

x + m
3
−m
2

3
− 3mx − 3m + 1 có cực trị đồng thời chúng cách đều đường thẳng d : x − y = 0.
4.12. (D-2011) Tìm m để hàm số y = x
4
−2 (m + 1) x
2
+ m có ba cực trị A, B, C sao cho OA = BC, trong đó O là
gốc tọa độ và A thuộc trục tung.
4.13. Tìm m để hàm số y = x
4
− 2mx
2
+ 2m + m
4
có cực đại, cực tiểu lập thành tam giác đều.
4.14. (A-2012) Tìm m để hàm số y = x
4
− 2 (m + 1) x
2
+ m
2
có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam
giác vuông.
4.15. (A-07) Tìm m để hàm số y =
x
2
+ 2 (m + 1) x + m
2
+ 4m
x + 2

√
20.
4.19. Tìm m để hàm số y =
1
3
x
3
− mx
2
− x + m + 1 có khoảng cách giữa cực đại, cực tiểu là nhỏ nhất.
§2. Tương Giao Giữa Hai Đồ Thị
A. Kiến Thức Cần Nhớ
1. Giao điểm của hai đồ thị.
• Hoành độ giao điểm của (C
1
) : y = f(x) và (C
2
) : y = g(x) là nghiệm của phương trình f(x) = g(x).
• Số giao điểm của (C
1
) và (C
2
) bằng số nghiệm của phương trình f (x) = g(x).
Lưu ý. Phương trình f(x) = g(x) gọi là phương trình hoành độ giao điểm.
2. Sự tiếp xúc giữa hai đồ thị.
• Đồ thị hai hàm số y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc nhau tại M (x
0
; y
0
) ⇔

3
− 3mx
2
− 1 cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt.
4.23. Tìm a để đồ thị hàm số y = x
3
+ ax + 3 cắt đường thẳng y = 1 tại đúng một điểm.
4.24. (D-06) Gọi d là đường thẳng đi qua A (3; 20) và có hệ số góc m. Tìm m để d cắt đồ thị hàm số y = x
3
−3x + 2
tại ba điểm phân biệt.
4.25. (A-2010) Tìm m để hàm số y = x
3
− 2x
2
+ (1 − m) x + m có đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có
hoành độ x
1
, x
2
, x
3
thoả mãn điều kiện x
2
1
+ x
2
2
+ x
2

x
tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
AB = 4.
4.32. Tìm m để đường thẳng y = −x + m cắt đồ thị hàm số y =
x
2
− 2x + 2
x − 1
tại hai điểm A, B đối xứng nhau qua
đường thẳng y = x + 3.
4.33. Tìm m để đồ thị hàm số y = −x
4
+ 2mx
2
− 2m + 1 cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.
www.VNMATH.com
24
Chuyên đề 4. Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số
4.34. Tìm m để đồ thị hàm số y = x
4
− (3m + 4) x
2
+ m
2
cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập
thành cấp số cộng.
4.35. (D-09) Tìm m để đường thẳng y = −1 cắt đồ thị hàm số x
4
− (3m + 2) x
2

0
).
• Phương trình tiếp tuyến tại M (x
0
; y
0
) là y = y

(x
0
) (x − x
0
) + y
0
.
B. Bài Tập
4.39. (B-04) Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đồ thị hàm số y =
1
3
x
3
−2x
2
+ 3x (C) tại tâm đối xứng và chứng
minh rằng ∆ là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
4.40. (DB-08) Cho hàm số y = x
3
+ 3mx
2
+ (m + 1) x + 1. Tìm m để tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = −1 đi

3
x
3
−
m
2
x
2
+
1
3
có đồ thị (Cm). Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng −1.
Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng 5x − y = 0.
4.48. (B-06) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
x
2
+ x − 1
x + 2
(C). Biết rằng tiếp tuyến đó vuông
góc với tiệm cận xiên của (C).
4.49. (DB-07) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
x
x − 1
sao cho tiếp tuyến và hai tiệm cận cắt
nhau tạo thành một tam giác cân.
4.50. Tìm m để (Cm) : y = x
3
+ 3x
2
+ mx + 1 cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt C (0; 1) , D, E sao cho