Nguyễn Văn Trung-Số 133/8-Nguyễn Tri Phương-Long Khánh-Đồng Nai- 917.492.457

Dạy kèm Toán, Lý, Hóa dễ hiểu với nhiều mẹo giải nhanh và chính xác - Trang
1
PT.MPC. NGUYỄN VĂN TRUNG
CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI
ĐẠI HỌC MÔN TOÁN
*****

CHUYÊN ĐỀ 1:
KHẢO SÁT HÀM SỐ -BÀI TOÁN LIÊN QUAN
M
ọi chi tiết xin li
ên h
ệ
:

0917.492.457

-2 2
2
4
x
y
O
Nguyễn Văn Trung-Số 133/8-Nguyễn Tri Phương-Long Khánh-Đồng Nai- 917.492.457

Dạy kèm Toán, Lý, Hóa dễ hiểu với nhiều mẹo giải nhanh và chính xác - Trang
2

L
L


I
I
liên quan đến khảo sát hàm số với hệ thống bài tập phong phú, đa dạng , phân
loại rõ ràng, dễ hiểu nhằm giũp các bạn thí sinh có thể làm nhanh, chính xác bài
toán này trong đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẵng. Đây là tài liệu rất hay, rất
bổ ích thiết thực đối với học sinh lớp 12 luyện thi tốt nghiệp THPT (chỉ cần làm
được 10% nội dung chuyên đề), đặc biệt là tài liệu luyện thi vào các trường Đại
học – Cao đẵng trên toàn quốc.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do công việc bận rộn, thời gian có hạn nên
khó tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót khi biên soạn và in ẩn, tôi mong nhận
được những ý kiến đóng góp quý báu và chân thành của bạn đọc. Mọi ý kiến
đóng góp xin gửi qua email:

. Hoặc qua: 0917.492.457

C
C
h
h
ú
ú
c
cc
c
á
á
c
c


ọ
c
ct
t
ậ
ậ
p
pđ
đ
ạ
ạ
t
tk
k
ế
ế
t
tq

.

Nguyễn Văn Trung
Nguyễn Văn Trung-Số 133/8-Nguyễn Tri Phương-Long Khánh-Đồng Nai- 917.492.457

Dạy kèm Toán, Lý, Hóa dễ hiểu với nhiều mẹo giải nhanh và chính xác - Trang
3
CHUYÊN ĐỀ 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
******
PHẦN I: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
VẤN ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
I. KIẾN THỨC PHẢI NHỚ:
1. Định nghĩa: Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K:
+ Hàm số y = f(x) được gọi đồng biến trên khoảng K nếu:
1 2 1 2 1 2

2
2.
3 2
3
y x x
= − +
3.
3 2
2 3 1
y x x
= + −
4.
3 2
1 3
5
4 2
y x x
= − +

5.
3 2
3x 2
y x
= − +
6.
3 2
3x 1
y x
= + −


12.
3 2
2x 9x 12x 4
y
= − + −

13.
3
3x+2
y x= +
14.
3 2
3x 4
y x
= − + −

15.
3 2
4x 6x 1
y
= − +
16.
3 2
3x 4
y x
= − +

17.
3 2
2x 1


2.
4 2
8 10
y x x
= − +
3.
4 2
2 4
y x x
= −

Nguyễn Văn Trung-Số 133/8-Nguyễn Tri Phương-Long Khánh-Đồng Nai- 917.492.457

Dạy kèm Toán, Lý, Hóa dễ hiểu với nhiều mẹo giải nhanh và chính xác - Trang
4
5.
4 2
2
y x x
= −
6.
4 2
6
y x x
= − − +


x
+
=
−
4.
2x+1
2 1
y
x
=
−

5.
1
x
y
x
=
−
6.
2 3
1
x
y
x
+
=
+

7.

1
2
1
x-1
x x
y
− + −
=
2.
2
2 4
x-2
x x
y
− +
=

3.
( )
2
3 3
2 1
x x
y
x
− + −
=
−
4.
1

−
=
+
8.
2
2
3
x x
y
x
+ −
=
+

Bài 5: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:
1.
2
3x
y x
= −
2.
2
3x 2
y x
= − +

3.
2 2
y x a x
= + −

[
]
sinx, 2 ;2
y x x
π π
= − ∈ −

3.
ln x
y x
= −

Bài 7:
1. Chứng minh hàm số
2
2
y x x
= −
nghịch biến trên đoạn [1; 2]
2. Chứng minh hàm số
2
9
y x
= −
đồng biến trên nửa khoảng [3; +
∞
).
3. Hàm số
4
y x

nghịch biến trên R.
Nguyễn Văn Trung-Số 133/8-Nguyễn Tri Phương-Long Khánh-Đồng Nai- 917.492.457

Dạy kèm Toán, Lý, Hóa dễ hiểu với nhiều mẹo giải nhanh và chính xác - Trang
5

Bài toán 2: Tìm tham số m để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập xác định,
trên một đoạn hoặc một khoảng.
Loại 1: Đơn điệu trên tâp xác định.
Bài 1: Cho hµm sè y =
(
)
(
)
2512123
23
++++− xmxmx
. T×m m ®Ó hµm sè lu«n ®ång
biÕn.
Bài 2: Với giá trị nào của a, hàm số
( ) ( )
3 2
1
y f x x 2x 2m 1 x 3m 2
3
= = − + + + − +


Bài 6: Cho hàm số
mx 1
y
x m
+
=
+
.
T×m m ®Ó hµm sè
luôn
đồ
ng bi
ế
n trên t
ừ
ng kho
ả
ng
xác
đị
nh c
ủ
a nó
Bài 7:
Cho hàm s
ố

( )
2
3x mx 2

.

Bài 2: Cho hàm số y =
(
)
6316)2(32
23
+−+++− mxmxmx

T×m m ®Ó hµm sè luôn ®ång biÕn trong kho¶ng
(
)
+∞
;5
.
Bài 3:
Cho hàm số y =
(
)
(
)
2512123
23
++++− xmxmx

T×m m ®Ó hµm sè luôn ®ång biÕn trong kho¶ng
(
)
1;
−

3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1
= − + + + +
có đồ thị (C
m
).
Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
(2; )
+∞

Bài 7: Cho hàm số
mx
y
x m
4
+
=
+
(1)
Nguyễn Văn Trung-Số 133/8-Nguyễn Tri Phương-Long Khánh-Đồng Nai- 917.492.457

Dạy kèm Toán, Lý, Hóa dễ hiểu với nhiều mẹo giải nhanh và chính xác - Trang
6
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng
( ;1)
−∞
.


T×m m ®Ó hµm sè luôn ®ång biÕn trong kho¶ng
(
)
2;1
.
Bài 3: Cho hàm số
4 2
2 3 1
y x mx m
= − − +
(1), (m là tham số).
Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 2).
Câu 4: Cho hàm số
1
23
++−= mxxy

Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (1; 2).
Bài 5: Cho hµm sè y =(m - 3)x - (2m + 1 )cosx. T×m m ®Ó hµm sè lu«n nghÞch biÕn.
Bài 6: Tìm m để
( ) ( )
2
4 5 cos 2 3 3 1
y m x m x m m
= − + − + − +
giảm
x
∀ ∈
ℝ

m
C
( )
( )
3
2 2
2
3
x
y f x mx m m x
= = − + + −
. Tìm m để hàm số
(
)
m
C
:
1. Đồng biến trên miền xác định.
2. Nghịch biến trên khoảng
(
)
0; 2

3. Đồng biến trên khoảng
(
)
4;
− +∞

4. Nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2.

1. Nghịch biến trên miền xác định.
2. Đồng biến trên khoảng
(
)
0; 2

3. Nghịch biến trên khoảng
(
)
6;
+∞

4. Nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2.
5. Đồng biến trên hai khoảng
(
)
; 0
−∞
và
(
)
6;
+∞ Nguyễn Văn Trung-Số 133/8-Nguyễn Tri Phương-Long Khánh-Đồng Nai- 917.492.457


, ; 0 ;
f x g x x a b f x g x x a b
> ∀ ∈ ⇔ − ≥ ∀ ∈

Bước 2: Đặt
(
)
(
)
(
)
h x f x g x
= −
và tính
(
)
,
h x

Bước 3: Lập bảng biến thiên cho hàm h(x). Từ bảng biến thiên nhận xét để suy ra
kết qủa.
Bài 1: Chứng minh các bất đẵng thức sau:
1.sinx tanx 2x
+ >
với
0
2
x
π
< <

x
π
< <

Bài 3: Cho hai số thực a, b thõa mãn
0 1
a b
< < <

Chứng minh rằng:
2 2
ln ln ln ln
a b b b a b
− > −
(CĐ-2009)
Bài 4: Cho hai số thực a, b thõa mãn
0
a b
< <

Chứng minh rằng:
(
)
(
)
1 1
b a a b
+ > +
( ) ( )
,
0 0
0
,
0 0
0, ;
0, ;
f x x x h x
x
f x x x x h

> ∀ ∈ −

⇒

< ∀ ∈ +


là điểm cực đại của hàm số f(x)
b.
(
)
(
)
( ) ( )
,
0 0
0
,


⇒

>


là điểm cực tiểu của hàm số f(x)
b.
(
)
( )
,
0
,
0
0
f x
x
f x

=

⇒

<


là điểm cực tiểu của hàm số f(x)
3. Qui tắc để tìm cực trị của hàm số y = f(x)
* Qui tắc 1.

) < 0 thì hàm số có cực đại tại x
i
)
* Chú ý: Qui tắc 2 thường dùng với hàm số lượng giác hoặc việc giải phương trình
f’(x) = 0 phức tạp.
II. CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
Bài toán 1: Tìm cực trị của hàm số y = f(x)
Phương pháp: Sử dụng quy tắc 1 hoặc quy tắc 2
Bài 1: Tìm cực trị của các hàm số sau:
1. y = x
3
– 3x
2
2.
3 2
3
y x x
= − +
3.
3 2
2 3 1
y x x
= + −
4.
3 2
1 3
5
4 2
y x x
= − +

1
2 3x
3
y x x
= − +

11.
3 2
1 1
3 3
y x x
= − +
12.
3 2
2x 9x 12x 4
y
= − + −

13.
3
3x+2
y x= +
14.
3 2
3x 4
y x
= − + −

15.
3 2

Bài 2: Tìm cực trị của các hàm số sau:
1. y = x
4
– 2x
2
+ 1 2.
4 2
1
( ) 2
4
y f x x x
= = −

2.
4 2
8 10
y x x
= − +
3.
4 2
2 4
y x x
= −

5.
4 2
2
y x x
= −
6.

3.
2 1
2
x
y
x
+
=
−
4.
2x+1
2 1
y
x
=
−

5.
1
x
y
x
=
−
6.
2 3
1
x
y
x

x
=
+
10.
2x+1
1
y
x
=
+

Bài 4: Tìm cực trị của các hàm số sau:
1
2
1
x-1
x x
y
− + −
=
2.
2
2 4
x-2
x x
y
− +
=

3.

x x
y
+ +
=

7.
2
3
2
x
y
x
−
=
+
8.
2
2
3
x x
y
x
+ −
=
+Bài 5: Tìm cực trị của các hàm số sau:
1.
2

−
6.
3
2
6
x
y
x
=
−

Bài 6: Tìm cực trị của các hàm số sau:
1.
2
2 2
y x x
= − +
2.
2
2x 3x 5
y
= − + +

Bài 7: Tìm cực trị của các hàm số sau:
1.
2
sin
y x
=
2.

2
y c c= +

9.
[
]
2
sin x- 3cos , 0;
y x x
π
= ∈
10.
[
]
2
sin x- 3cos , 0;
y x x
π
= ∈

Bài 8: Tìm cực trị của các hàm số sau:
1.
(
)
(
)
2 ln 1
y x x
= − − −
2.

Dạy kèm Toán, Lý, Hóa dễ hiểu với nhiều mẹo giải nhanh và chính xác - Trang
10
Bài 3: Cho hàm số
(
)
(
)
3 2
2x 3 2 1 x 12 27 2
y m m x
= − + + + +
.
a.Tìm m để hàm số để hàm số đạt cực đại tại x = -3
b. Tìm m để hàm số để hàm số đạt cực tiểu x = -1
Bài 4: Cho hàm số
(
)
4 2
1 x -mx 2 1
y m m
= − + −
. Tìm m để hàm có cực tiểu tại x = 1.
Bài 5: Cho hàm số
2
1
x mx
y

Bài 10: Cho hàm số
( )
3
2
x
x 5 1
3
y m n x
= + + + +
. Tìm m, n để hàm số đạt cực trị là 0 và 1.
Bài 11: Cho hàm số
( )
1
q
y f x x p
x
= = + +
+
. Tìm p, q để hàm số đạt cực đại tại x =-2
và giá trị y
CĐ
=-2
Bài toán 3: Tìm tham m để hàm số có k cực trị (k =0, 1, 2, 3)
Bài 1: Tìm m để hàm số sau không có cực trị.
a.
(
)
3
2 x 2
y m mx

3
– mx
2
– 2(3m
2
– 1)x +
2
3

b. y = x
3
–3(m +1)x
2
+ 9x - m
c.
(
)
4 2
x 2 3 2
y m x
= − + −

d.
4 2 2
2( 2) 5 5
y x m x m m
= + − + − +

Bài 3: Tìm m để các hàm số sau có 2 cực trị (cực đại, cực tiểu):
a.

3
y m x m x
= − + − + +

d.
(
)
2
2 2 1
1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+

Bài 4: Tìm m để các hàm số sau có 3 cực trị:
a.
(
)
4 2 2
x 9 3
y m m x
= − − +

b.
4 2 2
2 1y x (m )x m= − + +


3 2 3
3 3
(1),
= − +y x mx m
m
là tham số thực.
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (C
m
)
trên.
Bài 2: Cho hàm số
(
)
(
)
3 2
2 3 6 2 1
( )
1
m
y x m x m
C
x= + − + − −
là tham số thực.
Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số
(C
m
) trên.
Bài 3: Cho hàm số y = x
4

3
+4m-1(1)
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (C
m
)
trên.
Bài 6: Cho hàm số
(
)
(
)
3 2 2 2
3 3 1 3 1 1
y x x m x m= − + + − − −

Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số
(C
m
) trên.
Bài 7: Cho hàm số
y x mx m x m m
3 2 2 3 2
3 3(1 )
= − + + − + −
(1)
Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
Bài 8: Cho hàm số
3 2
3 2
y x x mx

Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác
vuông.
Bài 2: Cho hàm số
4 2 2
2 1
y x m x
= − +
(1) (m là tham số).
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông
cân.
Bài 3: Cho hàm số y = x
4
– 2 mx
2
+ m
2
- m (1)
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 3 cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông.
Bài 4: Cho hàm số
4 2 2
( ) 2( 2) 5 5
= = + − + − +
y f x x m x m m

m
C
( )
.
Tìm các giá trị của m để đồ thị
m

x
2
+ 1 (1)
Tìm m để đồ thị h/s (1) có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân
Bài 8: Cho hàm số
4 2
y x 2x 2 m
= − + −
có đồ thị (C
m
) với m là tham số .
Chứng minh rằng với mọi giá trị của m tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của
đồ thị (
m
C
) là một tam giác vuông cân.
Bài 9: Cho hàm số
55)2(2
224
+−+−+= mmxmxy
.
Tìm m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu tạo thành một tam giác
vuông cân.
Bài 10: Cho hàm số
mmmxxy −+−=
224
22
(1) với m là tham số thực.
Định m để đồ thị của hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác
vuông.

2
+ 1 (1)
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 3 cực trị tạo thành một tam giác đều.
Bài 2: Cho hàm số
(
)
m
Cmmxmxy 55)2(2
224
+−+−+=

Với những giá trị nào của m thì đồ thị (C
m
) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng
thời các điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều.
Bài 3: Cho hàm số
4 2 4
y x 2mx 2m m
= − + +
(1)
Xác định m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực
tiểu của đồ thị hàm số (1) lập thành một tam giác đều.
Bài 4: Cho hàm số
y x m x m
4 2
4( 1) 2 1
= − − + −

Với những giá trị nào của m thì đồ thị (C
m

.
Bài 4: Cho hàm số y = -x
3
+3x
2
–m (1)
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 2 cực trị, đồng thời các điểm cực trị cùng với góc tọa
độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4.
Bài 5: Cho hàm số
(
)
(
)
3 2
3 3 1 1 3
m
y x x m x m C
= − + − + +

Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu , đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cùng
với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4 .
Bài 6. Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
+ m , (1).
Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu , đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu và
gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4.
Bài 7.Cho hàm số
4 2

= − +
(1)
Gọi
A, B
lần lượt là các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số (1). Tìm điểm M
thuộc trục hoành sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 2.
Bài 10: Cho hàm số
y x mx m m
4 2 4
2 2
= − + +
có đồ thị (C
m
) .
Với những giá trị nào của m thì đồ thị (C
m
) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm
cực trị đó lập thành một tam giác có diện tích bằng 4.
Loại 2: Tìm tham số m để đồ thi hàm số có 2 điểm cực trị và một điểm khác
cho trước có độ dài liên hệ với nhau
Bài 1: Cho hàm số
4 2
2 1
y x (m )x m
= − + +
(1), m là tham số.
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC, O là gốc
tọa độ, A là cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại.
Bài 2: Cho hàm số Cho hàm số y = -x
3

3 3 1 4
y f x x x m x
= = − + − +
. Tìm m để
(
)
m
C
có:
Hai điểm cực trị A; B sao cho
2 5
AB =

Loại 3: Tìm tham số m để đồ thi hàm số có 2 điểm cực trị và một điểm khác
cho trước thẳng hàng
Bài 1: Cho hàm số y =2x
3
– 3( m-1)x
2
+ m (1), m là số thực
Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có cực trị, kí hiệu A, B sao cho ba điểm A, B và I(3; 1)
thẳng hàng.
Bài 2: Cho hàm số
(
)
m
C
(
)
(

1. Tìm cực trị của hàm số (1) khi m = 1
2.Tìm các giá trị của tham số m để đồ thi hàm số (1) có ba điểm cực trị và đường
tròn đi qua ba điểm này có bán kính bằng 1.
Bài 2: Cho hàm số y = x
4
– 2mx
2
+ m – 1 . (1)
Xác định m để hàm số (1) có ba cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo
thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.
Loại 5: Tìm tham số m để hai điểm cực trị có hoành độ thõa mãn điều kiện cho trước
Bài 1: Cho hàm số y =
2
3
x
3
– mx
2
– 2(3m
2
– 1)x +
2
3
(1), m là tham số thực.
Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị x
1
và x
2
sao cho x
1

3
–3(m +1)x
2
+ 9x - m (1)
Tìm m để hàm số đạt cực trị tại các điểm
1 2
,
x x
sao cho
1 2
2
x x
− =
.
Bài 4: Cho hàm số y = x
3
–3(m +2)x
2
+ 9x - m -1(1)
Tìm m để hàm số đạt cực trị tại các điểm
1 2
,
x x
sao cho
1 2
2
x x
− ≤
.
Bài 5: Cho hàm số

3 2
4 –3
= +
.
Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị
x x
1 2
,
thỏa
x x
1 2
4
= −
.
Bài 8: Cho hàm số y = 1/3. x
3
– (m -1)x
2
+ 3(m-2)x + 1/3, với
m
là tham số thực.
Xác định
m
để hàm số đã cho đạt cực trị tại
x x
1 2
,
sao cho
x x
1 2

= + + + +
(m là tham số) (1).
1. Tìm cực trị của hàm số (1) khi m = 2.
2. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng
thời hoành độ nhỏ hơn 1.
Bài 11: Cho hàm số
y x m x m m x
3 2 2
(2 1) ( 3 2) 4
= − + + − − + −
(m là tham số) có đồ thị là
(C
m
).
Xác định m để (C
m
) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung.
Bài 12: Cho hàm số
3 2
1
(2 1) 3
3
y x mx m x
= − + − −
(m là tham số) có đồ thị là (C
m
).
Xác định m để (C
m
) có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục

2 2
2
3
x
y f x mx m m x
= = − + + −
. Tìm m để:
a. Hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại điểm có có hoành độ nhỏ hơn 1.
b. Hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại điểm có có hoành độ lớn hơn -1.
c. Hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại điểm có có hoành độ nằm trong
2; 3
 
−
 

d. Hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại điểm có có hoành độ dương.
Nguyễn Văn Trung-Số 133/8-Nguyễn Tri Phương-Long Khánh-Đồng Nai- 917.492.457

Dạy kèm Toán, Lý, Hóa dễ hiểu với nhiều mẹo giải nhanh và chính xác - Trang
16
e. Hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại điểm có có hoành độ âm.
f. Hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại điểm có có hoành độ trái dấu nhau.
g. Hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại điểm có có hoành độ cùng dấu nhau.
Bài 15: Cho hàm số
3 2
1 2
3 3

2 3
+ =

Bài 17: Cho hàm số y = x
3
– (2m – 1)x
2
+ (2 - m)x + 2 (1), với m là tham số thực.
Tìm các giá trị của m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ
thị hàm số (1) có hoành độ dương.
Bài 18: Cho hàm số y = x
3
– 3(m +1)x
2
+ 3m(m+2)x + 1
1. Tìm cực trị của hàm số (1) khi m = 1.
2. Chứng minh rằng hàm số có cực trị với mọi giá trị của m. Xác định m để hàm số
có cực đại và cực tiểu tại các điểm có hoành độ dương.
Bài 19: Cho hàm số y = 1/3.x
3
-1/2(m+3)x
2
-2(m+1)x +1 (1)
Tìm m để hàm số có 2 cực trị với hoành độ lớn hơn 1.
Loại 6: Tìm tham số m để hai điểm cực trị có tung độ thõa mãn điều kiện cho trước
Bài 1: Cho hàm số y = x
3
–3(m +1)x
2
+ 9x - m (1)

3 2
3 3 1
= − + − −
. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có
điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d:
x y
8 74 0
+ − =
.
Bài 2: Cho hàm số
3 2 3
3 4
y x mx m
= − + (m là tham số) có đồ thị là (C
m
)
Xác định m để (C
m
) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng
y = x.
Bài 3: Cho hàm số
y x x mx
3 2
3= − +
(1).
Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối
xứng với nhau qua đường thẳng d:
x y
–2 –5 0
=

1 5
4 4
y x
= − −
.
Loại 8: Tìm tham số m để hai điểm cực trị cách đều đường thẳng cho trước.
Bài 1: Cho hàm số y = x
3
- 3x
2
+ mx +2 (1)
Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm
số cách đều đường thẳng x –y – 1=0.
Bài 2: Cho hàm số
3 2
3 2
y x x mx
= − − +
(m là tham số) có đồ thị là (C
m
).
Xác định m để (C
m
) có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng
y x
1
= −
.
Bài 3: Cho hàm số
(

)
3 2
3 3 1
y f x x x m x
= = + − −
.
Tìm m để
(
)
m
C
có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tiếp xúc với đường tròn
( ) ( )
2 2
1 1 4
x y
− + − =

Bài 2: Cho hàm số
(
)
m
C
(
)
(
)
3 2
3 3 1
y f x x x m x

6. Hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại điểm có có hoành độ âm.
7. Hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại điểm có có hoành độ trái dấu nhau.
8. Hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại điểm có có hoành độ cùng dấu nhau.
9. Hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại điểm tại
1 2
;
x x
sao cho
(
)
3 3
1 2
x x
+
nhỏ nhất.
Bài 2: Cho hàm số
(
)
m
C
(
)
(
)
3 2
3 3 1 4
y f x x x m x
= = − + − +
. Tìm m để
(

y f x x x m x
= = + − −
. Tìm m để
(
)
m
C
có:
1. Hai điểm cực trị A; B sao cho tam giác OAB vuông tại O.
2. Hai điểm cực trị A; B nằm khác phía với trục Ox.
3. Hai điểm cực trị A; B nằm khác phía với trục Oy.
Nguyễn Văn Trung-Số 133/8-Nguyễn Tri Phương-Long Khánh-Đồng Nai- 917.492.457

Dạy kèm Toán, Lý, Hóa dễ hiểu với nhiều mẹo giải nhanh và chính xác - Trang
18
4. Hai điểm cực trị A; B nằm cùng phía với trục Ox.
5. Hai điểm cực trị A; B nằm cùng phía với trục Oy.
6. Hai điểm cực trị A; B nằm cách đều đường thẳng y = 5.
7. Có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị cách góc tọa độ một đoạn khoảng bằng 1.
8. Có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tiếp xúc với đường tròn
( ) ( )
2 2
1 1 4
x y
− + − =

9. Có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân.

f x x D
m f x
x D f x m
≤ ∀ ∈


= ⇔

∃ ∈ =


≥ ∀ ∈

= ⇔

∃ ∈ =



2. Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất:
a. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên
(
)
;
a b
:
Bước 1: Tìm tập xác định.
Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số y’ = f’(x) và tìm những điểm y’ không xác định
hoặc bằng không.
Bước 3: Lập bảng biến thiên

f a f x f x f x f b
}
II. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
Bài toán 1: Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [a; b]
Bài 1: Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
1. f(x) = x
3
– 8x
2
+ 16x – 9 trên đoạn
[
]
1;3
(TNPT-BTN-2007)
2. (x) = x
3
- 3x + 1 trên đoạn
[
]
0;2
(TNPT-BXH-2007)
3.
(
)
4 2
2 1
f x x x
= − +
trên đoạn
[

1;1
−
.(TNPT2-BXH-2008)
6. f(x) = x
3
– 3x - 2 trên đoạn
[
]
1;3
−
(TNTX2-2008)
7.
2 1
( )
3
x
f x
x
−
=
−
trên đoạn
[
]
0;2
(TNPT2-KPB-2008)
8.
2
( ) ln(1 2 )
f x x x

−

12.
3 2
2x 3x 12x 10
y
= − + + −
trên đoạn
[
]
3;3
−

13.
4 3 2
8
2x 1
3
y x x
= − + +
trên đoạn
[
]
1;2
−

Bài 2: Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
1.
2
1 4

[
]
3;4
−

5.
2
12 3x
y x
= + −
trên đoạn
1
1;
2
 
−
 
 

6.
2
1 x
y x
= −

7.
2
4
y x x
= + −

[
]
1;3

3.
2
5x 6
y x
= − +
trên đoạn
[
]
0;4

4.
2
3x 1
y x
= − +
trên đoạn
[
]
2;3
−

5.
3
3 1
y x x
= − +

2
π
 
 
 

3.
(
)
osx 1 sinx
y c= +
trên đoạn
[
]
0;2
π

4.
2 osx
y x c= +
trên đoạn
0;
2
π
 
 
 

5.
2sin sin 2x


2.
3
sin os2x sinx 2
y x c
= − + +

3.
3 2
os 6 os x 9 osx 5
y c x c c
= − + +

4.
4 2
os os 3
y c x c x
= + −

5.
4 3 2
3sin 8sin 2 os 2
y x x c x
= − − +

Bài toán 2: Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng
Bài 1: Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
1.
3
3x 2

2
 
− + ∞
 
 

4.
1
3
1
y x
x
= + +
−
trên khoảng
(
)
;1
−∞

5.
3 2
6x 9x
y x
= − +
trên khoảng
(
)
0;4


;
−∞ + ∞

10.
4
1
1
y
x
=
+
trên khoảng
(
)
;
−∞ + ∞

11.
1
osx
y
c
=
trên đoạn
3
;
2 2
π π
 
 

2 osx
sinx osx 2
c
y
c
+
=
+ +

Nguyễn Văn Trung-Số 133/8-Nguyễn Tri Phương-Long Khánh-Đồng Nai- 917.492.457

Dạy kèm Toán, Lý, Hóa dễ hiểu với nhiều mẹo giải nhanh và chính xác - Trang
21
4.
2 osx
sinx osx 2
c
y
c
+
=
+ +Bài 3: Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
1.
2

+ +

4.
2
x 2
x+1
y
x
+
=
−

5.
2
-4x 3
+1
y
x
+
=

Bài toán 3: Tìm m để hàm số đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trên đoạn
[
]
;
a b

bằng c
Bài 1: Tìm các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số
2

[
]
0;1

bằng -2. VẤN ĐỀ 4: ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I. KIẾN THỨC PHẢI NHỚ:
1. Định nghĩa các loại tiệm cận: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C)
a. Tiệm cận ngang: y = y
0
là tiệm cận ngang của nếu một trong hai điệu kiên sau
được thoả mãn:
0
lim ( )
x
f x y
→+∞
=
hoặc
0
lim ( )
x
f x y
→−∞
=

b. Tiệm cận đứng: x = x
0

lim [ ( ) (ax+b)]=0
x
f x
→−∞
−

2. Các bước tìm tiệm cận của một hàm số:
Bước 1: Tìm tập xá định của hàm số.
Bước 2: Tìm
(
)
(
)
0 0
lim ; lim
x x x x
f x f x
+ −
→ →
và
lim ( )
x
f x
→+∞
;
lim ( )
x
f x
→−∞
từ đó suy ra các đường tiệm

4
1
x
y
x
+
=
−

4.
2
1
x x
y
x
+
=
−
5.
2x 1
2
y
x
−
=
+
6.
2 3x
1
y

+
=
−

Bài 2: Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số sau:
1.
1
2x 1y
x
= − +
2.
2
2x 4
3
x
y
x
− +
=
−

3.
3 2
2
2x
1
x
y
x
+

−

Bài 3: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số sau:
1.
2
1
y x x
= + +
2.
2
1 2x
y x x= + + +

3.
2
4
y x
= +
4.
1
1
y x
x
= +
−

5.
2
9
y x

( ) ( )
ax
0
b
y f x c
cx d
+
= = ≠
+
. Biết đồ thị (C) qua A(-1; 7) và giao điểm
2 tiệm cận của ( C) là I(-2; 3). Tìm a, b, c, d

Nguyễn Văn Trung-Số 133/8-Nguyễn Tri Phương-Long Khánh-Đồng Nai- 917.492.457

Dạy kèm Toán, Lý, Hóa dễ hiểu với nhiều mẹo giải nhanh và chính xác - Trang
23
VẤN ĐỀ 5 : KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Đề thi TN, CĐ, ĐH yêu cầu khảo sát một trong ba hàm số: bậc ba, trùng phương

Đ
y
=…
Hàm số đạt cực tiểu tại x =….,
CT
y
=…
+) Giới hạn:

lim ( ) ?
x
f x
→+∞
=
;

lim ( ) ?
x
f x
→−∞
=

+) Bảng biến thiên của hàm số:
* Đồ thị:
+) Điểm uốn
+) Giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ:
 Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung Oy
Tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành Ox
+)Tính thêm một số điểm đặc biệt khác
+) Đồ thị:

y x
= − +
(CĐ-2009) 6.
3 2
3x 1
y x
= + −
(CĐ-2010)
7.
3 2
3x 2
y x
= − − −
(ĐHKA-2002) 8.
3 2
3x 2
y x
= − +
(ĐHKB-2003)
Nguyễn Văn Trung-Số 133/8-Nguyễn Tri Phương-Long Khánh-Đồng Nai- 917.492.457

Dạy kèm Toán, Lý, Hóa dễ hiểu với nhiều mẹo giải nhanh và chính xác - Trang
24
9.
3 2
1
2 3x

= − +
(ĐHKB-2008)
15.
3 2
3x 4
y x
= − +
(ĐHKD-2008) 16.
3 2
2x 1
y x
= − +
(ĐHKA-2010)
17. y = x
3
– 3x
2
+ 3(ĐHKB-2012) 18. y =
2
3
x
3
– x
2
– 4x +
2
3
. (ĐHKD-2012)

Dạng 2: Hàm đa thức trùng phương

=…
Hàm số đạt cực tiểu tại x =….,
CT
y
=…
+) Giới hạn:

lim ( ) ?
x
f x
→+∞
=
;

lim ( ) ?
x
f x
→−∞
=

+) Bảng biến thiên của hàm số:
* Đồ thị:
+) Giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ:
 Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung
Tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành
+)Tính thêm một số điểm đặc biệt khác
+) Đồ thị:
II. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
1. y = x

(ĐHKB-2011)
7. y = x
4
– 2x
2
(ĐHKA-2012
Nguyễn Văn Trung-Số 133/8-Nguyễn Tri Phương-Long Khánh-Đồng Nai- 917.492.457

Dạy kèm Toán, Lý, Hóa dễ hiểu với nhiều mẹo giải nhanh và chính xác - Trang
25
Dạng 3: Hàm hữu tỉ nhất biến
ax
x
b
y
c d
+
=
+

I. CÁC BƯỚC KHẢO SÁT HÀM HỮU TỈ NHẤT BIẾN
* Tìm tập xác định của hàm số:
/
d
D R
c
 

→+∞
=
;
lim ( )
x
a
f x
c
→−∞
=
nên y = a/d là tiệm cận ngang.
Vì
(
)
(
)
0 0
lim =?; lim ?
x x x x
f x f x
+ −
→ →
=
nên x = x
0
là tiệm cận đứng.
+) Bảng biến thiên của hàm số:
* Đồ thị:
+) Giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ:
 Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung

+
=
−
(TN-2009) 3.
2x+1
2 1
y
x
=
−
(TN-2011)
4.
1
x
y
x
=
−
(CĐ-2008) 5.
-3x-1
1
y
x
=
−
(ĐHKD-2002)
6.
2x
1
y


(ĐHKA-2011)
10.
2 1
1
x
y
x
+
=
+
(ĐHKD-2011) 11.
2 3
1
x
y
x
+
=
+
(CĐ-2012)