Bùi Văn Bằng Các dạng toán ôn thi vào lớp 10
A. Hệ thống kiến thức cơ bản
Phần 1: Tam giác
I. Tính chất chung:
A
B C
1.T/c về góc: Tổng số đo 3 góc trong một tam giác bằng 180
o
Góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.
2. T/c về cạnh: Mỗi cạnh của tam giác lớn hơn hiệu hai cạnh và nhỏ hơn tổng hai cạnh
3. T/c Về quan hệ cạnh và góc: Cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn và ngợc lại.
4. T/c các đờng trong tam giác. A
a. Đờng trung bình:
MN là đờng trùng bình của

ABC M N

MN // BC ; MN = 1/2BC
b. Đờng trung tuyến: B C
+G là giao của 3 đờng trung tuyến thì: A
- G là trọng tâm của tam giác
- GA =
AM
3
2
( GM =
AM
3
1
; GM =
)AG

AB
DC
BD
CD
BD
,
,
==
D
,
B D C
Trờng THCS Thụy Phong
1
Bùi Văn Bằng Các dạng toán ôn thi vào lớp 10
+ T/c 3 đờng phân giác trong tam giác: 3 đờng phân giác của tam giác đồng quy tại một
điểm , điểm đó cách đều 3 cạnh của tam giác . Điểm đó là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác.
+ Đờng phân giác trong của một góc và hai đờng phân giác ngoài của hai góc còn lại cắt
nhau tại một điểm, điểm đó cách đều 3 đờng thẳng chứa 3 cạnh của tam giác . Điểm đó là
tâm đờng tròn bàng tiếp tam giác đó.
e. Đờng cao:
- Ba đờng cao của tam giác cắt nhau tại một điểm , điểm đó gọi là trực tâm của tam giác
f. Đờng song song với một cạnh của tam giác ( Định lí ta let và hệ quả )
II. Tính chất riêng:
1. Tam giác cân:
- Hai cạnh bên bằng nhau
- Đờng cao , đờng trung trực , đờng trung tuyến, đờng phân giác xuất phát từ đỉnh trùng
nhau.
+ Dấu hiệu nhận biết tam giác cân:
- Có hai góc bằng nhau
- Có hai cạnh bằng nhau

Cần nhớ: - Định nghĩa tỉ số lợng giác của góc nhọn.
- Tỉ số lợng giác của các góc đặc biệt
- Mối quan hệ tỉ số lợng giác của hai góc phụ nhau.
- Một số công thức:
11
22
=+=


=


= CosSin;Cotg.Tg;
Sin
Cos
Cotg;
cos
sin
tg
- Với

nhọn thì: 0 < sin

; cos

<1
* Nếu góc

tăng từ 0
o

c
b
,
b
h
a
c
,
H
Bùi Văn Bằng Các dạng toán ôn thi vào lớp 10
2. Hai tam giác vuông:
Bằng nhau Đồng dạng
Hai cạnh góc vuông của tam giác vuông
này bằng hai cạnh góc vuông của tam
giác vuông kia.
Một góc nhọn của tam giác vuông này
bằng một góc nhọn của tam giác vuông
kia
Cạnh huyền và góc nhọn của tam giác
vuông này thứ tự bằng cạnh huyền và góc
nhọn của tam giac vuông kia.
Hai cạnh góc vuông của tam giác vuông
này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam
giác vuông kia.
Cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam
giác vuông này bằng cạnh huyền và canh
góc vuông của tam giác vuông kia.
Cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam
giác vuông này tỉ lệ với cạnh góc vuông
và cạnh huyền của tam giác vuông kia.

4
( R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác)
Chú ý: Trong tam giác ABC có:
R
SinC
c
SinB
b
SinA
a
2===
( R là bán kính đờng tròn ngoại
tiếp tam giác)
Phần 2: Tứ giác
I. Tính chất chung: Tổng số đo 4 góc = 360
o
II. T/c của một số tứ giác đặc biệt.
1. Hình thang:
+ Định nghĩa: Hình thang là tứ giác có hai cạnh song song.
+ Tính chất:
- Tổng hai góc kề một cạnh bên bằng 2v
- Đờng trung bình song song với 2 đáy và băng nửa tổng độ dài hai đáy.
+ Dấu hiệu nhận biết:
- Tứ giác có hai cạnh song song.
- Hai góc kề một cạnh có tổng bằng 180
o
2. Hình thang cân:
+Đ/n: Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
+ T/c :
- Có t/c của hình thang

5. Hình thoi:
+ Đ/n: Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau.
+ T/c:
- Hai đờng chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại
trung điểm của mỗi đờng.
- Mỗi đờng chéo là phân giác các góc ở đỉnh.
- Tâm đỗi xứng là giao điểm của hai đờngchéo.
- Hai đờng chéo là hai trục đối xứng.
+Dấu hiệu nhận biết:
- Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau
- Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau
- Hình bình hành có hai đờng chéo vuông góc với nhau
- Hình bình hành có 2 đờng chéo là phân giác của một góc ở đỉnh.
6. Hình vuông:
+Đ/n: Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau và có 4 góc vuông.
+ T/c:
- Hai đờng chéo bằng nhau, vuông góc với nhau
cắt nhau tại trung điểm của mỗi đờng ,là phân giác của các góc ở đỉnh.
- Có một tâm đối xứng
- Có 4 trục đối xứng.
+ Dấu hiệu nhận biết:
- Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau.
- Hình thoi có một góc vuông
- Hình thoi có hai đờng chéo bằng nhau.
- Hình chữ nhật có một đờng chéo là phân giác của một góc.
- Hình chữ nhật có hai đờng chéo vuông góc nhau.
Phần 3 : Đa giác đều
* Tính chất:
Trờng THCS Thụy Phong
4

R
+ Công thức tính diện tích hình tròn: S =

R
2
+ Công thức tính độ dài cung n
o
là : l =
180
Rn
+Công thức tính diện tích quạt tròn n
o
là: S =
360
2
nR
+ Diện tích hình viên phân = S
quạt
S
tam giác.
1. Quỹ tích là đờng tròn:
a.
{ }
)R;O(Ocodinh,ROM/M ==
b.
)
AB
;I(VBMA/M
2
1 =

- Đờng kính là dây cung lớn nhất của đờng tròn.
- Trong một đờng tròn, đờng kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
- Trong một đờng tròn , đờng kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì
vuông góc với dây ấy.
5. Định lí liên hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm.
Trong một đờng tròn :
- Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm và ngợc lại
- Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn va ngợc lại.
6. Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn, của điểm và đờng tròn, của hai đờng tròn.
7. Tiếp tuyến của đờng tròn:
a. Các dấu hiệu nhận biết một đờng thẳng là tiếp tuyến của đờng tròn.
- Đờng thẳng chỉ có một điểm chung với đờng tròn.
- Khoảng cách từ tâm của đờng tròn đến đờng thẳng bằng bán kính.
Trờng THCS Thụy Phong
5
Bùi Văn Bằng Các dạng toán ôn thi vào lớp 10
- Đờng thăngr đi qua một điểm của đờng tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó.
b. Tích chất hai tiếp tuyến cắt nhau:
Nếu hai tiếp tuyến của đờng tròn cắt nhau tại một điểm thì:
- Điểm đó cách đều hai tiếp điểm
- Tia kẻ từ điểm đó qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
- Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua
các tiếp điểm.
7 . Liên hệ giữa cung và dây:
Trong một đờng tròn hoặc hai đờng tròn bằng nhau:
- Dây lớn hơn căng dây lớn hơn.
- Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.
- Hai dây bằng nhau căng hai dây bằng nhau.
( Chú ý: Ta chỉ xét các cung nhỏ)
8 . Các loại góc trong đờng tròn: Góc nội tiếp, góc ở tâm , góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây

c. MEOD là tứ giác nội tiếp.
Bài 6: Cho (O;R) dây AB bất kì ( AB < 2R) . Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ
AB . Dây MC cắt AB tại D. Chứng minh:
Trờng THCS Thụy Phong
6
Bùi Văn Bằng Các dạng toán ôn thi vào lớp 10
a. AM là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD.
b. BM là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD.
Bài 7: Cho (O;R) và từ điểm A cách O một khoảng bằng 2R kẻ hai tiếp tuyến AB và
AC với (O) với B, C là các tiếp điểm. Đờng thẳng vuông góc với OB tại O cắt AC tại N, Đ-
ờng thẳng vuông góc với OC tại O cắt AB tại M .
Chứng minh MN là tiếp tuyến của (O).
Chuyên đề 2:
Chứng minh 3 điểm thẳng hàng
I. Phơng pháp
1.Ph ơng pháp 1: Chứng minh 2 đoạn thẳng (Mỗi đoạn có hai đầu là hai trong 3 điểm) tạo
thành góc 180
o
A B C c/m góc ABC = 180
o
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Trung tuyến AM, CN . Trên tia đối của tia NC lấy điểm
K sao cho KN = NC, trên tia đối của tia MB lấy điểm I sao cho MI = MB.
Chứng minh rằng K, A, I thẳng hàng.
A
N M
B C
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Gọi M là một điểm bất kì trên đờng tròn.
Gọi I, J, K thứ tự là hình chiếu của M lên các đờng AB, AC, BC
Chứng minh rằng I, J , K thẳng hàng.
A

F H
D C
3. Ph ơng pháp 3: Sử dụng định lí hai đờng thẳng vuông góc:
Chứng minh 2 đờng thẳng đi qua 2 trong 3 điểm đó cùng vuông góc với một đờng
thẳng cố định
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có D thuộc AC, I là chân đờng vuông góc hạ
từ D xuống BC. Đờng thẳng qua C vuông góc với BD cắt AB tại K.
Chứng minh: K; I và D thẳng hàng.
Ví dụ 2: Cho nửa (O) đờng kính AB . C là một điểm trên nửa đờng tròn . Gọi D là
điểm trên tia AC sao cho AD = AB. E là điểm trên đờng kính AB sao cho AE =AC , BC cắt
DE tại H , AH cắt (O) tại K.
Chứng minh: D; K và B thẳng hàng.
Ví dụ 3: Cho (O) và hai dây không qua tâm AB và CD song song với nhau. Gọi I là
trung điểm của AB, J là trung điểm của CD.
Chứng minh rằng O; I và J thẳng hàng.
4. Ph ơng pháp 4: Chứng minh một đờng thẳng đi qua 2 trong 3 điểm chứa điểm còn lại.
- Tâm thuộc đờng kính:
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A và đờng cao AH , đờng tròn (H,HA) cắt tia AB tại
E cắt AC tại F. Chứng minh E, H và F thẳng hàng.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nội tiếp (O). D là một điểm thoả mãn để tứ giác ABCD la
hình bình hành. Đờng thẳng qua A và vuông góc với BD cắt (O) tại H.
Chứng minh rằng: H, O và C thẳng hàng.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC nhọn có đờng cao BD và CE cắt nhau tai H, Gọi I là
trung điểm của BC , đờng thẳng qua C và // với BH cắt đờng thẳng qua B và //CH tại D.
chứng minh rằng:
a. H, I và D thẳng hàng
b. A, O , D thẳng hàng ( O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC)
c. Gọi J và K thứ tự là trung điểm của AH và FE.
Chứng minh I, J và K thẳng hàng.
- Tâm hình bình hành thuộc đờng chéo của hình bình hành.

Chứng minh J, O, I thẳng hàng.
Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD có AD không // với BC. Gọi I là giao điểm của hai đờng
của góc A và góc B, J là giao điểm của hai đờng phân giác trong của góc D và góc C. K là
giao điểm của hai đờng phân giác ngoài tại đỉnh D và C.
Chứng minh I, J, K thẳng hàng.
6. Các ph ơng pháp khác:
- A, B , C thẳng hàng

AB + BC = AC
- Hai điểm là tâm của hai đờng tròn tiếp xúc nhau và tiếp điểm.
- Sử dụng t/c trung điểm các cạnh bên và trung điểm các đờng chéo của hình thang thẳng
hàng.
- Sử dụng vị trí của hai góc đối đỉnh.
- Sử dụng t/c các đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ khi đã có 3 điểm tơng ứng thẳng hàng:
Ta có B, D, N thẳng hàng nếu
==
KN
KG
KD
KF
KB
KE
E, F , G thẳng hàng.
B
E
D
K G N

Bài tập:
BT1: Cho tam giác ABC đều nội tiếp (O) , B thuộc cung BC. đờng thẳng qua P //AB cắt AC

- Sử dụng tính chất các đờng thẳng định ra trên hai đờng thẳng song song những đoạn
thẳng tỉ lệ.
- Chứng minh cho các đờng tròn cùng đi qua một điểm.
B. Bài tập:
BT1: Cho tam giác ABC trung tuyến AM, các điểm E và D thuộc các cạnh AB và AC sao
cho AE = 1/3AB và AD = 1/3 AC.
Chứng minh AM , BD và CE đồng quy.
BT2: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB , C và D là hai điểm thuộc nửa đờng tròn
( AC < AD ) . Gọi E là giao điểm của BC và AD. F là hình chiếu của E lên AB. Chứng
minh AC, BD, EF đồng quy.
D
C
A B
BT3: Cho tứ giác lồi ABCD có các cạnh đối không song song , phân giác góc A cắt phân
giác góc B tại M, Phân giác góc D cắt phân giác góc C tại N .
Chứng minh rằng : AD, BC, MN đồng quy.
BT4: Cho tam giác ABC vuông tại A, D thuộc cạnh AC, đờng tròn đờng kính DC cắt BC tại
E và cắt BD tại F.
Chứng minh AB, ED và CF đồng quy.
Chuyên đề 4: Chứng minh tứ giác nội tiếp
A. Phơng pháp:
- Chứng minh 4 đỉnh cách đều 1 điểm
- Chứng minh tổng hai góc đối bằng 2 vuông
Trờng THCS Thụy Phong
10
Bùi Văn Bằng Các dạng toán ôn thi vào lớp 10
- Chứng minh hai đỉnh nhìn hai đỉnh còn lại dới một góc vuông.
- Chứng minh hai đỉnh liên tiếp nhìn hai đỉnh còn lại dới hai góc bằng nhau.
B. Bài tập:
BT1: Cho tam giác ABC có các đờng cao AD , BE, CF cắt nhau tại H

0
( Vì AD là đờng cao)
=> CEH + CDH = 180
0

Mà CEH và CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp
Theo giả thiết: BE là đờng cao => BE AC => BEC = 90
0
.
CF là đờng cao => CF AB => BFC = 90
0
.
Nh vậy E và F cùng nhìn BC dới một góc 90
0
=> E và F cùng nằm trên đờng tròn đờng kính BC.
Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn.
Xét hai tam giác AEH và ADC ta có: AEH = ADC = 90
0
; Â là góc chung
=> AEH ADC =>
AC
AH
AD
AE
=
=> AE.AC = AH.AD.
* Xét hai tam giác BEC và ADC ta có: BEC = ADC = 90
0
; C là góc chung
=> BEC ADC =>

( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF)
Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp
C
1
= E
2
( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD)
E
1
= E
2
=> EB là tia phân giác của góc FED.
Chứng minh tơng tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE mà BE và CF cắt nhau tại H do đó H là
tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF.
Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đờng cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đờng tròn
ngoại tiếp tam giác AHE.
1. Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp .
2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đờng tròn.
3. Chứng minh ED =
2
1
BC.
4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O).
5. Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm.
Lời giải:
Xét tứ giác CEHD ta có:
CEH = 90
0
( Vì BE là đờng cao)


Theo trên DE =
2
1
BC => tam giác DBE cân tại D => E
3
= B
1
(2)
Mà B
1
= A
1
( vì cùng phụ với góc ACB) => E
1
= E
3
=> E
1
+ E
2
= E
2
+ E
3

Mà E
1
+ E
2
= BEA = 90

3. Chứng minh AC. BD =
4
2
AB
.
4. Chứng minh OC // BM
5. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính CD.
6. Chứng minh MN AB.
7. Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải:
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM.
Trờng THCS Thụy Phong
12
Bùi Văn Bằng Các dạng toán ôn thi vào lớp 10
Mà CM + DM = CD => AC + BD = CD
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: OC là tia phân giác của góc AOM; OD là tia phân giác
của góc BOM, mà AOM và BOM là hai góc kề bù => COD = 90
0
.
Theo trên COD = 90
0
nên tam giác COD vuông tại O có OM CD ( OM là tiếp tuyến ).
áp dụng hệ thức giữa cạnh và đờng cao trong tam giác vuông ta có OM
2
= CM. DM,
Mà OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R
2
=> AC. BD =
4
2

A , O là trung điểm của IK.
1. Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đờng tròn.
2. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đờng tròn (O).
3. Tính bán kính đờng tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm.
Lời giải: (HD)
1. Vì I là tâm đờng tròn nội tiếp, K là tâm đờng tròn bàng tiếp góc
A nên BI và BK là hai tia phân giác của hai góc kề bù đỉnh B
Do đó BI BK hayIBK = 90
0
.
Tơng tự ta cũng có ICK = 90
0
nh vậy B và C cùng nằm trên đờng
tròn đờng kính IK do đó B, C, I, K cùng nằm trên một đờng tròn.
Ta có C
1
= C
2
(1) ( vì CI là phân giác của góc ACH.
C
2
+ I
1
= 90
0
(2) ( vì IHC = 90
0
).

I

2222
=+=+ HCOH
= 15 (cm)
Bài 5 Cho đờng tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đờng thẳng d lấy điểm
M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm).
Kẻ AC MB, BD MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB.
1. Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp.
2. Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đờng
tròn .
3. Chứng minh OI.OM = R
2
; OI. IM = IA
2
.
4. Chứng minh OAHB là hình thoi.
5. Chứng minh ba điểm O, H, M
thẳng hàng.
6. Tìm quỹ tích của điểm H khi
M di chuyển trên đờng thẳng d
Lời giải:
Trờng THCS Thụy Phong
13
Bùi Văn Bằng Các dạng toán ôn thi vào lớp 10
(HS tự làm).
Vì K là trung điểm NP nên OK NP ( quan hệ đờng kính
Và dây cung) => OKM = 90
0
. Theo tính chất tiếp tuyến ta có OAM = 90
0
; OBM = 90

3. Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đờng tròn (A; AH).
4. Chứng minh BE = BH + DE.
Lời giải: (HD)
AHC = ADE (g.c.g) => ED = HC (1) và AE = AC (2).
Vì AB CE (gt), do đó AB vừa là đờng cao vừa là đờng trung tuyến
của BEC => BEC là tam giác cân. => B
1
= B
2

2. Hai tam giác vuông ABI và ABH có cạnh huyền AB chung, B
1
= B
2
=> AHB = AIB
=> AI = AH.
3. AI = AH và BE AI tại I => BE là tiếp tuyến của (A; AH) tại I.
4. DE = IE và BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED
Bài 7 Cho đờng tròn (O; R) đờng kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P sao
cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại M.
1. Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp đợc một đờng tròn.
2. Chứng minh BM // OP.
3. Đờng thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BM tại N. Chứng
minh tứ giác OBNP là hình bình hành.
4. Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt
nhau tại J. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.
Lời giải:
(HS tự làm).
Ta có ABM nội tiếp chắn cung AM; AOM là góc ở tâm
chắn cung AM => ABM =

Theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau Ta có PO là tia phân giác APM => APO = MPO (8).
Từ (7) và (8) => IPO cân tại I có IK là trung tuyến đông thời là đờng cao => IK PO. (9)
Từ (6) và (9) => I, J, K thẳng hàng.
Bài 8 Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đờng tròn ( M khác A,B). Trên
nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc
IAM cắt nửa đờng tròn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K.
1) Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh rằng: AI
2
= IM . IB.
3) Chứng minh BAF là tam giác cân.
4) Chứng minh rằng : Tứ giác AKFH là hình thoi.
5) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đợc một đờng tròn.
Lời giải:
1. Ta có : AMB = 90
0
( nội tiếp chắn nửa đờng tròn )
=> KMF = 90
0
(vì là hai góc kề bù).
AEB = 90
0
( nội tiếp chắn nửa đờng tròn )
=> KEF = 90
0
(vì là hai góc kề bù).
=> KMF + KEF = 180
0
. Mà KMF và KEF là hai góc đối
của tứ giác EFMK do đó EFMK là tứ giác nội tiếp.

=> AIB = 45
0
.(8)
Từ (7) và (8) => IAK = AIF = 45
0
=> AKFI là hình thang cân (hình thang có hai góc đáy bằng nhau).
Vậy khi M là trung điểm của cung AB thì tứ giác AKFI nội tiếp đợc một đờng tròn.
Bài 9 Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa đờng
tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lợt ở E, F (F ở giữa B và E).
1. Chứng minh AC. AE không đổi.
2. Chứng minh ABD = DFB.
3. Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp.
Lời giải:
C thuộc nửa đờng tròn nên ACB = 90
0
( nội tiếp chắn nửa đờng tròn
) => BC AE.
ABE = 90
0
( Bx là tiếp tuyến ) => tam giác ABE vuông tại B có BC là đ-
ờng cao => AC. AE = AB
2
(hệ thức giữa cạnh và đờng cao ), mà AB là đ-
ờng kính nên AB = 2R không đổi do đó AC. AE không đổi.
ADB có ADB = 90
0
( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ).
=> ABD + BAD = 90
0
(vì tổng ba góc của một tam giác bằng 180

3. Chứng minh PM là tiếp tuyến của đờng tròn .
Lời giải:
1. Ta có SP AB (gt) => SPA = 90
0
; AMB = 90
0
( nội tiếp chắn
nửa đờng tròn ) => AMS = 90
0
. Nh vậy P và M cùng nhìn AS dới
một góc bằng 90
0
nên cùng nằm trên đờng tròn đờng kính AS.
Vậy bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên một đờng tròn.
2. Vì Mđối xứng M qua AB mà M nằm trên đờng tròn nên M cũng
nằm trên đờng tròn => hai cung AM và AM có số đo bằng nhau
=> AMM = AMM ( Hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) (1)
Cũng vì Mđối xứng M qua AB nên MM AB tại H => MM// SS ( cùng vuông góc với AB)
=> AMM = ASS; AMM = ASS (vì so le trong) (2).
=> Từ (1) và (2) => ASS = ASS.
Trờng THCS Thụy Phong
16
Bùi Văn Bằng Các dạng toán ôn thi vào lớp 10
Theo trên bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên một đờng tròn => ASP=AMP (nội tiếp cùng chắn AP )
=> ASP = AMP => tam giác PMS cân tại P.
3. Tam giác SPB vuông tại P; tam giác SMS vuông tại M => B
1
= S
1
(cùng phụ với S). (3)

1
+ M
2
= PMO = 90
0
=> PM OM tại M => PM là tiếp tuyến của đờng tròn tại M
Bài 11. Cho tam giác ABC (AB = AC). Cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với đờng tròn (O) tại các điểm D, E,
F . BF cắt (O) tại I , DI cắt BC tại M. Chứng minh :
1. Tam giác DEF có ba góc nhọn.
2. DF // BC. 3. Tứ giác BDFC nội tiếp. 4.
CF
BM
CB
BD
=

Lời giải:
1. (HD) Theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau ta có AD = AF => tam giác ADF
cân tại A => ADF = AFD < 90
0
=> sđ cung DF < 180
0
=> DEF < 90
0
( vì
góc DEF nội tiếp chắn cung DE).
Chứng minh tơng tự ta có DFE < 90
0
; EDF < 90
0

(vì NP là tiếp tuyến ).
Nh vậy M và N cùng nhìn OP dới một góc bằng 90
0
=> M và N cùng nằm
trên đờng tròn đờng kính OP => Tứ giác OMNP nội tiếp.
2. Tứ giác OMNP nội tiếp => OPM = ONM (nội tiếp chắn cung OM)
Tam giác ONC cân tại O vì có ON = OC = R => ONC = OCN
=> OPM = OCM.
Xét hai tam giác OMC và MOP ta có MOC = OMP = 90
0
; OPM = OCM => CMO = POM lại
có MO là cạnh chung => OMC = MOP => OC = MP. (1)
Theo giả thiết Ta có CD AB; PM AB => CO//PM (2).
Từ (1) và (2) => Tứ giác CMPO là hình bình hành.
3. Xét hai tam giác OMC và NDC ta có MOC = 90
0
( gt CD AB); DNC = 90
0
(nội tiếp chắn nửa đờng
tròn ) => MOC =DNC = 90
0
lại có C là góc chung => OMC NDC
Trờng THCS Thụy Phong
17
Bùi Văn Bằng Các dạng toán ôn thi vào lớp 10
=>
CM CO
CD CN
=
=> CM. CN = CO.CD mà CO = R; CD = 2R nên CO.CD = 2R

( Vì tam giác ABC vuông tại A) (3)
Từ (1), (2), (3) => tứ giác AFHE là hình chữ nhật ( vì có ba góc vuông).
2. Tứ giác AFHE là hình chữ nhật nên nội tiếp đợc một đờng tròn =>F
1
=H
1
(nội tiếp chắn cung
AE) . Theo giả thiết AH BC nên AH là tiếp tuyến chung của hai nửa đờng tròn (O
1
) và (O
2
) => B
1
=
H
1
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung HE) => B
1
= F
1
=> EBC+EFC = AFE + EFC mà AFE +
EFC = 180
0
(vì là hai góc kề bù) => EBC+EFC = 180
0
mặt khác EBC và EFC là hai góc đối của
tứ giác BEFC do đó BEFC là tứ giác nội tiếp.
3. Xét hai tam giác AEF và ACB ta có A = 90
0
là góc chung; AFE = ABC ( theo Chứng

2
= H
2
.
=> E
1
+ E
2
= H
1
+ H
2
mà H
1
+ H
2
= AHB = 90
0
=> E
1
+ E
2
= O
1
EF = 90
0
=> O
1
E EF .
Chứng minh tơng tự ta cũng có O

18
Bùi Văn Bằng Các dạng toán ôn thi vào lớp 10
2. Theo giả thiết EC AB tại C nên EC là tiếp tuyến chung của hai nửa đờng tròn (I) và (K)
=> B
1
= C
1
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung CN). Tứ giác CMEN là hình chữ nhật nên => C
1
= N
3

=> B
1
= N
3
.(4) Lại có KB = KN (cùng là bán kính) => tam giác KBN cân tại K => B
1
= N
1
(5)
Từ (4) và (5) => N
1
= N
3
mà N
1
+ N
2
= CNB = 90

= 625

; S
(I)
=

. IA
2
=

.5
2
= 25

; S
(k)
=

.KB
2
=

. 20
2
= 400

.
Ta có diện tích phần hình đợc giới hạn bởi ba nửa đờng tròn là S =
1
2

1. Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp .
2. Chứng minh CA là tia phân giác của góc SCB.
3. Gọi E là giao điểm của BC với đờng tròn (O). Chứng minh rằng các đờng thẳng BA, EM, CD
đồng quy.
4. Chứng minh DM là tia phân giác của góc ADE.
5. Chứng minh điểm M là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE.
Lời giải:

1. Ta có CAB = 90
0
( vì tam giác ABC vuông tại A); MDC = 90
0
( góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn )
=> CDB = 90
0
nh vậy D và A cùng nhìn BC dới một góc bằng 90
0
nên A và D cùng nằm trên đờng
tròn đờng kính BC => ABCD là tứ giác nội tiếp.
2. ABCD là tứ giác nội tiếp => D
1
= C
3
( nội tiếp cùng chắn cung AB).
D
1
= C
3
=>
ẳ

mà đây là hai góc đối nên tứ
giác AMEB nội tiếp một đờng tròn => A
2
= B
2
.
Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp => A
1
= B
2
( nội tiếp cùng chắn cung CD)
=> A
1
= A
2
=> AM là tia phân giác của góc DAE (2)
Trờng THCS Thụy Phong
19
Bùi Văn Bằng Các dạng toán ôn thi vào lớp 10
Từ (1) và (2) Ta có M là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE
TH2 (Hình b)
Câu 2 : ABC = CME (cùng phụ ACB); ABC = CDS (cùng bù ADC) => CME = CDS
=>
ằ
ằ
ẳ
ẳ
CE CS SM EM= => =
=> SCM = ECM => CA là tia phân giác của góc SCB.
Bài 16 Cho tam giác ABC vuông ở A.và một điểm D nằm giữa A và B. Đờng tròn đờng kính BD cắt BC

0
( vì tam giác ABC vuông tại A); DFB = 90
0
( góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) hay
BFC = 90
0
nh vậy F và A cùng nhìn BC dới một góc bằng 90
0
nên A và F cùng nằm trên đờng tròn đờng
kính BC => AFBC là tứ giác nội tiếp.
3. Theo trên ADEC là tứ giác nội tiếp => E
1
= C
1
lại có E
1
= F
1
=> F
1
= C
1
mà đây là hai góc so
le trong nên suy ra AC // FG.
4. (HD) Dễ thấy CA, DE, BF là ba đờng cao của tam giác DBC nên CA, DE, BF đồng quy tại S.
Bài 17. Cho tam giác đều ABC có đờng cao là AH. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì ( M không trùng B. C,
H ) ; từ M kẻ MP, MQ vuông góc với các cạnh AB. AC.
1. Chứng minh APMQ là tứ giác nội tiếp và hãy xác định tâm O của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác đó.
2. Chứng minh rằng MP + MQ = AH.
3. Chứng minh OH PQ.

2
AC.MQ
Ta có S
ABM
+ S
ACM
= S
ABC
=>
1
2
AB.MP +
1
2
AC.MQ =
1
2
BC.AH => AB.MP + AC.MQ = BC.AH
Mà AB = BC = CA (vì tam giác ABC đều) => MP + MQ = AH.
Trờng THCS Thụy Phong
20
Bùi Văn Bằng Các dạng toán ôn thi vào lớp 10
3. Tam giác ABC có AH là đờng cao nên cũng là đờng phân giác => HAP = HAQ =>
ằ
ẳ
HP HQ=
( tính
chất góc nội tiếp ) => HOP = HOQ (t/c góc ở tâm) => OH là tia phân giác góc POQ. Mà tam giác
POQ cân tại O ( vì OP và OQ cùng là bán kính) nên suy ra OH cũng là đờng cao => OH PQ
Bài 18 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kì ( H không trùng O, B) ;


KCM cân tại K ( vì KC và KM là bán kính) => M
1
= C
1
.
Mà A
1
+ M
1
= 90
0
( do tam giác AHM vuông tại H) => C
1
+ C
4
= 90
0
=> C
3
+ C
2
= 90
0
( vì góc
ACM là góc bẹt) hay OCK = 90
0
.
Xét tứ giác KCOH Ta có OHK = 90
0

0
( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => AD DC; theo trên BI DC => BI // AD. (1)
4. Theo giả thiết ADBE là hình thoi => EB // AD (2).
Từ (1) và (2) => I, B, E thẳng hàng (vì qua B chỉ có một đờng thẳng song song với AD mà thôi.)
5. I, B, E thẳng hàng nên tam giác IDE vuông tại I => IM là trung tuyến ( vì M là trung điểm của DE)
=>MI = ME => MIE cân tại M => I
1
= E
1
; OIC cân tại O ( vì OC và OI cùng là bán kính )
=> I
3
= C
1
mà C
1
= E
1
( Cùng phụ với góc EDC ) => I
1
= I
3
=> I
1
+ I
2
= I
3
+ I
2

( nội tiếp chắn nửa đờng tròn )
=> CGD = 90
0
(vì là hai góc kề bù)
Theo giả thiết DE AB tại M => CMD = 90
0

=> CGD + CMD = 180
0
mà đây là hai góc đối của tứ giác MCGD nên MCGD là tứ giác nội tiếp
2. BFC = 90
0
( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => BFD = 90
0
; BMD = 90
0
(vì DE AB tại M)
nh vậy F và M cùng nhìn BD dới một góc bằng 90
0
nên F và M cùng nằm trên đờng tròn đờng kính BD
=> M, D, B, F cùng nằm trên một đờng tròn .
3. Theo giả thiết M là trung điểm của AB; DE AB tại M nên M cũng là trung điểm của DE (quan
hệ đờng kính và dây cung)
=> Tứ giác ADBE là hình thoi vì có hai đờng chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đờng .
4. ADC = 90
0
( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => AD DF ; theo trên tứ giác ADBE là hình tho
=> BE // AD mà AD DF nên suy ra BE DF .
Theo trên BFC = 90
0

+ F
2
. Mà F
3
+ F
2
= BFC = 90
0
=> F
1
+ F
2
= 90
0
= MFO
hay MF OF tại F => MF là tiếp tuyến của (O).
Bài 21. Cho đờng tròn (O) đờng kính AB. Gọi I là trung điểm của OA . Vẽ đờng tron tâm I đi qua A, trên
(I) lấy P bất kì, AP cắt (O) tại Q.
1. Chứng minh rằng các đờng tròn (I) và (O) tiếp xúc nhau tại A.
2. Chứng minh IP // OQ.
3. Chứng minh rằng AP = PQ.
4. Xác định vị trí của P để tam giác AQB có diện tích lớn nhất.
Lời giải:
1. Ta có OI = OA IA mà OA và IA lần lợt là các bán kính của đờng
tròn (O) và đờng tròn (I) . Vậy đờng tròn (O) và đờng tròn (I) tiếp xúc
nhau tại A .
2. OAQ cân tại O ( vì OA và OQ cùng là bán kính ) => A
1
= Q
1

Bài 22. Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh BC. Qua B kẻ đờng thẳng vuông góc với DE, đờng
thẳng này cắt các đờng thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K.
1. Chứng minh BHCD là tứ giác nội tiếp .
2. Tính góc CHK.
3. Chứng minh KC. KD = KH.KB
4. Khi E di chuyển trên cạnh BC thì H di chuyển trên đờng nào?
Lời giải:
1. Theo giả thiết ABCD là hình vuông nên BCD = 90
0
; BH DE
tại H nên BHD = 90
0
=> nh vậy H và C cùng nhìn BD dới một góc
bằng 90
0
nên H và C cùng nằm trên đờng tròn đờng kính BD =>
BHCD là tứ giác nội tiếp.
2. BHCD là tứ giác nội tiếp => BDC + BHC = 180
0
. (1)
BHK là góc bẹt nên KHC + BHC = 180
0
(2).
Từ (1) và (2) => CHK = BDC mà BDC = 45
0
(vì ABCD là hình vuông) => CHK = 45
0
.
3. Xét KHC và KDB ta có CHK = BDC = 45
0

0
+ 90
0
+ 45
0
= 180
0
=> ba điểm H, A, D thẳng hàng.
2. Ta có BFC = 90
0
(nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) nên tam giác BFC vuông tại F. (1).
FBC = FAC ( nội tiếp cùng chắn cung FC) mà theo trên CAD = 45
0
hay FAC = 45
0
(2).
Từ (1) và (2) suy ra FBC là tam giác vuông cân tại F.
3. Theo trên BFC = 90
0
=> CFM = 90
0
( vì là hai góc kề bù); CDM = 90
0
(t/c hình vuông).
=> CFM + CDM = 180
0
mà đây là hai góc đối nên tứ giác CDMF nội tiếp một đờng tròn suy ra CDF
= CMF , mà CDF = 45
0
(vì AEDC là hình vuông) => CMF = 45

Bùi Văn Bằng Các dạng toán ôn thi vào lớp 10
2. Gọi H là giao điểm của CD và AE, Chứng minh rằng đờng trung
trực của đoạn HE đi qua trung điểm I của BH.
3. Chứng minh OD là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác
BDE.
Lời giải:
1. AEC = 90
0
(nội tiếp chắn nửa đờng tròn )
=> AEB = 90
0
( vì là hai góc kề bù); Theo giả thiết ABE = 45
0

=> AEB là tam giác vuông cân tại E => EA = EB.
F
1
1
1
2
/
/
_
_
K
H
I
E
D
O

Theo trên ADC có ADC = 90
0
=> B
1
= C
1
( cùng phụ BAC) (5).
Từ (3), (4), (5) =>D
1
= D
2
mà D
2
+IDH =BDC = 90
0
=> D
1
+IDH = 90
0
= IDO => OD ID
tại D => OD là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác BDE.
Bài 25. Cho đờng tròn (O), BC là dây bất kì (BC< 2R). Kẻ các tiếp tuyến với đờng tròn (O) tại B và C
chúng cắt nhau tại A. Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M rồi kẻ các đờng vuông góc MI, MH, MK xuống
các cạnh tơng ứng BC, AC, AB. Gọi giao điểm của BM, IK là P; giao điểm của CM, IH là Q.
1. Chứng minh tam giác ABC cân. 2. Các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp .
3. Chứng minh MI
2
= MH.MK. 4. Chứng minh PQ MI.
Lời giải:
1. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có AB = AC => ABC cân tại A.

( = 1/2 sđ
ẳ
BM
) => I
1
= H
1
(2).
Từ (1) và (2) => MKI MIH =>
MI MK
MH MI
=
=> MI
2
= MH.MK
4. Theo trên ta có I
1
= C
1
; cũng chứng minh tơng tự ta có I
2
= B
2
mà C
1
+ B
2
+ BMC = 180
0


AC
KB
KC
=
2. AM là tia phân giác của CMD. 3. Tứ giác OHCI nội tiếp
4. Chứng minh đờng vuông góc kẻ từ M đến AC cũng là tiếp tuyến của đờng tròn
tại M.
Lời giải: 1. Theo giả thiết M là trung điểm của
ằ
BC
=>
ằ
ẳ
MB MC=
=> CAM = BAM (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) => AK là tia
phân giác của góc CAB =>
AB
AC
KB
KC
=
( t/c tia phân giác của tam giác )
2. (HD) Theo giả thiết CD AB => A là trung điểm của
ằ
CD
=> CMA = DMA => MA là tia phân giác
của góc CMD.
3. (HD) Theo giả thiết M là trung điểm của
ằ
BC

ẳ
BM
) => HKM = MHI (1). Chứng minh tơng tự ta cũng có
KHM = HIM (2). Từ (1) và (2) => HIM KHM.
Theo trên HIM KHM =>
MI MH
MH MK
=
=> MI.MK = MH
2
Bài 28 Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC; E là điểm đối xứng của H
qua BC; F là điểm đối xứng của H qua trung điểm I của BC.
1. Chứng minh tứ giác BHCF là hình bình hành.
2. E, F nằm trên đờng tròn (O).
3. Chứng minh tứ giác BCFE là hình thang cân.
4. Gọi G là giao điểm của AI và OH. Chứng minh G là trọng tâm của
tam giác ABC.
Lời giải:
1. Theo giả thiết F là điểm đối xứng của H qua trung điểm I của
BC => I là trung điểm BC và HE => BHCF là hình bình hành vì có hai đ-
ờng chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đờng .
2. (HD) Tứ giác
ABHC nội tiếp => BAC +
BHC = 180
0
mà BHC =
BHC (đối đỉnh) => BAC
Trờng THCS Thụy Phong
25