L
N
K
M
D
C
B
A
E
K
H
Q
N
M
P
D
C
B
A
E
K
H
P
Q
N
M
D
C
B
A
Những bài toán hay Trang 1

Suy ra : AM = AN , kết hợp với AB = AD nên MB = ND.
LM // BC suy ra
3
AL AM
LC MB
= =
. Do đó :
1
4
MB
AB
=
hay AB = 4MB
Lại có AB = 2KB nên KB = 2MB. Vậy MB = MK nên MK = DN
Từ đó ΔLND = ΔLMK . Suy ra :
·
·
NLD KLM=
nhưng
·
·
0
90MLK KLN+ =
nên
·
·
0
90KLN NLD+ =

Vậy LK

NK DN
ME BE
=
(1)
Chứng minh tương tự ta được:
NH AN
ME EB
=
( cùng bằng tỉ số
PN
PE
) (2)
Từ (1) & (2) kết hợp với giả thiết NA = ND suy ra : NK = NH.
Tam giác HMK có NH = NK và MN
⊥
HK nên ΔHMK cân tại M.
Do đó MN là tia phân giác của
·
HMK
(đpcm)
Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC.Trên tia đối
Của tia DC lấy điểm P . Gọi Q là giao điểm của PM và AC.
Chứng minh rằng :
·
·
QNM MNP=
BÀI GIẢI
****Nguyễn Đức Nghị - trường THCS Lương Phú*****
d
2

E
P
Q
N
M
D
C
B
A
Những bài toán hay Trang 2
Gọi H là giao điểm của NQ và AD, K là giao điểm của NP và AD, E là
giao điểm của PQ và BC.
//
AM MQ
AM CE
CE QE
⇒ =
(hệ quả định lí Ta-Lét cho ΔAQM)
//
DM PM
DM CE
CE PE
⇒ =
(hệ quả định lí Ta-Lét cho ΔPCE)
Mà AM = MD ( M là trung điểm AD)
Nên
AM DM
CE CE
=
. Do đó:

. Vậy
·
·
QNM MNP=
(đpcm)
Cách 2: Gọi O là giao điểm MN và AC, E là giao
điểm của QN và DC.
AM // CN và AM = CN (do AD// BC, AD = BC,
và M , N là trung điểm AD; BC) nên tứ giác
AMCN là hình bình hành. Suy ra: OM = ON.
ΔQPC có MO // PC nên
MO QO
PC QC
=
ΔQCE có NO // EC nên
NO QO
CE QC
=
Do đó:
MO NO
PC CE
=
. Mà OM = ON nên PC = EC.
ΔNPE có
;NC PE PC CE⊥ =
nên cân ở N
·
·
NPE NEP⇒ =
Mặt khác

A
Những bài toán hay Trang 3
L là giao điểm của d
1
và AC
Q là giao điểm của AF và KI
T là giao điểm của AF và BC
Tam giác ACF có EO là đường nên EO // AT
Tứ giác ADBT có AD// BT & BT// AD
Suy ra BT = BC ( cùng bằng AD)
Do FI // BT và IL // BC ta suy ra:
FI IL
BT BC
=
(cùng bằng
AI
AB
) , nhưng BT = BC
Nên FI = IL
Tam giác CLF có EI là đường trung bình nên IE//AC (1)
Tứ giác AKFI có AK // FI & KF // AI nên nó là hình bình hành . suy ra Q là trung điểm
của AF. Từ đó EQ là đường trung bình của tam giác AFC nên QE // AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra ba điểm Q ; I ; E thẳng hàng (Tiên đề Ơclit)
Điểm K thuộc đường thẳng QI nên ba điểm I ; K ; E thẳng hàng.
Bài 5: Cho tam giác ABC và điểm E nằm giữa A và C. Gọi Bx là tia nằm giữa hai tia BA và
BC. Các đường thẳng kẻ qua E song song BC và AB cắt tia Bx lần lượt tại N và M.
Chứng minh AN // CM.
Hướng dẫn: Đã có BC // EN . Muốn MC // AN
cần chứng minh
·

NE BK CE CK
ME MK AE BK
= =
( do EN // BK & EK // AB) nên
. .
NE CE BK CK CK
ME AE MK BK MK
= =
(4)
Từ (3) & (4) suy ra:
NH CK
HA MK
=
, mà
·
·
AHN MKC=
( cùng bằng góc ABC)
Vậy tam giác ANH & tam giác MKC đồng dạng.
Suy ra:
·
·
ANH MCK=
; kết hợp với NH // BC ta được CM //AN (đpcm)
Hết
****Nguyễn Đức Nghị - trường THCS Lương Phú*****
Những bài toán hay Trang 4
****Nguyễn Đức Nghị - trường THCS Lương Phú*****