Tích phân & Ứng dụng Trường THPT Khánh Lâm
NGUN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
1/- Ngun hàm
a/- Định nghĩa: Gọi F(x) là một ngun hàm của hàm số f(x) thì họ ngun hàm (hay tích phân bất định) của f(x) là:
( ) ( ) '( ) ( )f x dx F x C F x f x
= + ⇔ =
∫
, (C = const)
b/- Tính chất của ngun hàm
i/
( )
( ) ' ( )f x dx f x C= +
∫
ii/
. ( ) ( ) , 0k f x dx k f x dx k
= ≠
∫ ∫
iii/
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx
± = ±
∫ ∫ ∫

Bài 1 : Cho hàm số
( )
2
1
x
f x
x
=

biết rằng
0
2
π
 
=
 ÷
 
G
.
2/- Bảng các ngun hàm:
Ngun hàm của hàm cơ bản Ngun hàm hàm hợp u = u(x), du = u’(x)dx
dx x C= +
∫
du u C= +
∫
1
1
x
x dx C
α
α
α
+
= +
+
∫
,
1
α

0u
≠
2
1 1
dx C
x x
= − +
∫
2
1 1
du C
u u
= − +
∫
x x
e dx e C= +
∫
u u
e du e C= +
∫
ln
x
x
a
a dx C
a
= +
∫
,
(0 1)a< ≠

(1 tan ) tan
cos
du u du u C
u
= + = +
∫ ∫
2
2
1
(1 cot ) cot
sin
dx x dx x C
x
= + =− +
∫ ∫
2
2
1
(1 cot ) cot
sin
du u du u C
u
= + = − +
∫ ∫
 CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT: với
, , 0a b a
∈ ≠
¡
,
1

2
1dx
C
a ax b
ax b
= − +
+
+
∫
4)
1
ax b ax b
e dx e C
a
+ +
= +
∫
5)
ln
mx
mx
n
n
a
a dx C
m a
+
+
= +
∫

dx
ax b C
ax b a
= − + +
+
∫
10)
2 2
1
ln
2
dx x a
C
x a a x a
−
= +
− +
∫
11)
1
ln tan
sin 2
x
dx C
x
= +
∫
12)
1
ln tan

( )
x
f x e
−
=
5)
1 2
( ) 3
x
f x
−
=
6)
2
( )
5 3
f x
x
=
−
7)
( ) sin(2 1)f x x= −
8)
( ) cos(4 3 )f x x= −
9)
2
1
( )
sin (2 3)
f x

là ngun hàm của
( )
f x
.
b. Tìm ngun hàm
( )
G x
của hàm số
( )
f x
biết rằng
( )
1 5=G
.
3/- Các phương pháp tính ngun hàm ( tích phân bất định )
3.1/- Phương pháp đổi biến số:
Định lý:
( ) ( ) ( ) ( )f x dx F x C f u du F u C
= + ⇒ = +
∫ ∫
, với u = u(x), du = u’(x)dx.
 Để tính
( )f x dx
∫
bằng PP đổi biến ta thực hiện các bước sau:
+ B1: Đặt u = u(x) ⇒ du = u’(x)dx
+ B2: Biểu diễn f(x)dx theo u và du. Giả sử f(x)dx = g(u)du
+ B3: Tính
( )g u du
∫

dxex
x 1
2
.
5)
dx
x
x
∫
3
ln
6)
sin
1 3cos
x
dx
x
+
∫
7)
ln 3x
dx
x
+
∫
8)
dxxx .1
23
∫
+

du u x dx
u u x
dv v x dx v v x v x dx v x
=

=


⇒
 
= = =



∫

Sau đó thay vào cơng thức (1), rồi tìm cách tính tích phân còn lại (có thể suy trực tiếp, cũng có thể dùng các phương
pháp ta đã biết: bao gồm đổi biến và từng phần)
 Lưu ý: Thơng thường, ta có 3 dạng cơ bản:
Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng 2
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
= = −
∫
Tích phân & Ứng dụng Trường THPT Khánh Lâm
i. Dạng 1:

∫
3/
2
.sinx xdx
∫
ii. Dạng 2:
( )
( ).
t x
p x e dx
∫
, trong đó p(x) là hàm đa thức, e
t(x)
là hàm mũ cơ số e.
Cách giải: Đặt
( ) ( )
( )
'( ). ,(
( )
, ( )
Lấy vi phân vế theo vế)
Tìm một nguyên hàm của e
t x t x
t x
du p x dx
u p x
v e dx
dv e dx
=


∫
, trong đó p(x) là hàm đa thức, ln[f(x)] là hàm lốc nê pê hoặc lơgarit
Cách giải: Đặt
'( )
. ,(
ln[ ( )
( )
( )
( ) , ( ( ))
Lấy vi phân vế theo vế)
]
Tìm một nguyên hàm của
f x
du dx
u f x
f x
dv p x dx
v p x dx p x

=
=


⇒
 
=


=


3)
. ( ) . ( )
b b
a a
k f x dx k f x dx=
∫ ∫
4)
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
± = ±
∫ ∫ ∫
5)
( ) ( ) ( )
c b c
a a b
f x dx f x dx f x dx
= +
∫ ∫ ∫
5/- Các phương pháp tính tích phân:
a) Phương pháp1: Tính trực tiếp bằng định nghĩa
Cách giải:
- Ta biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân bằng cách dùng các phép biến đổi như: thêm bớt, nhân chia, trục căn thức ở
mẫu, đưa căn thức về dạng luỹ thừa, hằng đẳng thức, tách tích phân để đưa về các dạng đã biết trong bản ngun hàm.
- Đặc biệt, nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng hàm hữu tỉ thì ta so sánh bậc của đa thức ở tử và bậc của đa thức ở
mẫu. Ta có các trường hợp sau:
+ Nếu bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu, ta chia đa thức, tách tích phân rồi tính.
+ Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu đúng một bậc ta thử lấy mẫu đạo hàm nếu biểu diễn được theo tử thì ta

− + − +
- Nếu hàm số trong dấu tích phân cho ở dạng lượng giác thì ta có thể dùng các phép biến đổi lượng giác để đưa về các
hàm có trong bảng ngun hàm.
 Các cơng thức biến đổi lượng giác thường dùng:
Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng 3
Tích phân & Ứng dụng Trường THPT Khánh Lâm
a) Hằng đẳng thức lượng giác
• sin
2
x + cos
2
x =1
• tanx.cotx = 1
• 1 + tan
2
x = 1/cos
2
x
• 1+ cot
2
x = 1/ sin
2
x
b) Biến đổi tích thành tổng:
* cosa.cosb = ½[cos(a+b) + cos(a - b)]
* sina.cosb = ½ [sin(a+b) + sin(a - b)]
* sina.sinb = ½ [cos(a - b) - cos(a+b)]
c) Nhân đơi, hạ bậc:
• sin2a = 2sina.cosa
• cos2a = 2cos

1 cos 2
sin
2
a
a
−
=
•
2
1 cos 2
tan
1 cos2
a
a
a
−
=
+
d) Biến đổi biểu thức dạng asinx + bcosx về hàm
lượng giác sin hoặc cos nhờ cơng thức cộng
e) Sử dụng các hằng đẳng thức lượng giác
•
sin cos 2 sin( ) 2
4 4
osa a a c a
π π
 
+ = + = −
 ÷
 

- Nếu m lẻ, ta đặt t = cosx, rồi dùng pp đổi biến, tách sin
m
x = sin
m-1
x.sinx, chú ý: sin
2
x + cos
2
x =1
- Nếu n lẻ, ta đặt t = sinx, rồi dùng pp đổi biến, tách cos
n
x = cos
n-1
x.cosx.
+ Trường hợp 2: m, n đều chẳn và dương ta dùng cơng thức hạ bậc, hạ bậc rồi tính.
• Dạng 3:
sin
m
xdx
∫
,
os
m
c xdx
∫
+ Nếu m chẳn, hạ bậc rồi tính
+ Nếu m lẻ, Sử dụng hđt lượng giác biến đổi: sin
m
x = sin
m-1

x
−
∫
3)
2
0
2sin
2
x
dx
π
∫
4)
3
2
4
tan xdx
π
π
∫
5)
3
2 2
4
sin .cos
dx
x x
π
π
∫







+
2
1
32
11
10)
3
2
1
( 1)( 2)
dx
x x− +
∫
11)
2
3 2
0
x xdx
π
∫
sin cos
12)
2
2

α
∫
Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng 4
Tích phân & Ứng dụng Trường THPT Khánh Lâm
 Lưu ý: Thường các bài tập về tính tích phân bằng pp đổi biến loại 1 có các dạng như sau : (a > 0)
2 2
dx
a x+
∫
ta đặt
tanx a t=
,
;
2 2
t
π π
−
 
∈
 ÷
 
;
2 2
2 2
;
dx
a x dx
a x
−
−

dx
x+
∫
3)
2
2
0
4 x dx−
∫
4)
2
2
0
1
4
dx
x−
∫
b.2/- Đổi biến loại 2: Để tính
( )
b
a
f x dx
∫
ta thực hiện theo các bước
B1: Đặt u = u(x) ⇒ du = u’(x).dx
B2: Đổi cận: x = a ⇒ u = u(a); x = b ⇒ u = u(b)
B3: + Biểu thị f(x)dx theo u và du. Giả sử f(x)dx = g(u)du
+ Tính
( )

hiện đổi biến ta phải đưa về được các dạng trong bảng ngun hàm của hàm số hợp. Sau đây là các dạng thường gặp
a). Dạng 1:
( )
β
α
+
∫
sin .cosf p x q xdx
.
→ hoặc đặt
sint p x q= +

( )
,p q∈¡

→ hoặc đặt
sin
n
t p x q= +
nếu như biểu thức
sinp x q+
nằm trong
n
.
b). Dạng 2:
( )
β
α
+
∫

2)
2
0
2sin 1cosx xdx
π
+
∫
(đặt
2sin 1t x= +
)
3)
2
0
cos
2sin 1
xdx
x
π
+
∫
(đặt
2sin 1t x= +
)
4)
2
3
0
cos
3sin 1
x

π
+
∫
( đặt t = 2cosx +2)
7)
2
sin 1
0
cos
x
e xdx
π
+
∫
( đặt t = sinx +1)
8)
2
2
0
(1 sin ) cosx xdx
π
+
∫
( đặt t = sinx)
9)
2
2
0
(1 cos )sinx xdx
π

2cos
π
dx
x
x
Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng 5
Tích phân & Ứng dụng Trường THPT Khánh Lâm
 Lưu ý: Ngồi các dạng trên, ta cũng còn có thể gặp một số dạng khác mà đặc điểm chung là:
+
1
cos (sin )' ( sin )'xdx x dx a x b dx
a
= = +
khi đó, ta ln đặt
sinu x=
hoặc
sinu a x b= +
+
1
sin (cos ) ' ( cos )'xdx x dx a x b dx
a
= − = − +
khi đó, ta ln đặt
cosu x=
hoặc
cosu a x b= +
c). Dạng 3:
( )
1
β

∫
, đặt t = lnx
2)
( )
2
1
1 ln
e
x
dx
x
+
∫
, đặt
1 lnt x= +
3)
1
1 3ln
2
e
x
dx
x
+
∫
, đặt
1 3lnt x= +
4)
2
sin(ln )

2
1
ln 1 ln
e
x x
dx
x
+
∫
8)
2
2
1 ln
ln
e
e
x
dx
x x
+
∫
9)
2
2
1
(1 ln )
e
e
dx
xcos x+

= +tan
n
t p x q
nếu như biểu thức
+tanp x q
nằm trong dấu
n
.
Lưu ý: để ý rằng
2
1 1
(tan )' ( tan )'
cos
dx x dx a x b dx
ax
= = +
BÀI TẬP: Tính các tích phân sau:
1)
4
2
0
tan
cos
x
dx
x
π
∫
2)
3

2
1
β
α
+
∫
.
sin
f pcotx q dx
x
.
→ hoặc
= +t pcotx q

( )
,p q∈¡

→ hoặc
= +
n
t pcotx q
nếu như biểu thức
+pcotx q
nằm trong
n
.
Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng 6
Tích phân & Ứng dụng Trường THPT Khánh Lâm
BÀI TẬP: Tính các tích phân sau
1.

2
2
4
1 cot
1 cos
x
dx
x
π
π
+
−
∫
f). Dạng 6:
( )
β
α
+
∫
.
x x
f pe q e dx
.
→ hoặc
= +
x
t pe q

( )
,p q∈¡

x
x
e
dx
e +
∫
3)
ln5
0
2 1.
x x
e e dx−
∫
4)
ln
2
0
sin( 1).
x x
e e dx
π
−
∫
5)
1
x
0
1
dx
e 1+


→ hoặc đặt
= +
m
n
t px q
nếu như biểu thức
+
m
px q
nằm trong
n
BÀI TẬP: Tính các tích phân sau
1)
1
2
0
1x x dx+
∫
2)
2
2 2
0
sin (2 )
4
x xdx
π
π
−
∫

+
∫
7)
1
0
2 1
x
dx
x +
∫
8)
2
1
1 1
x
dx
x
+ −
∫
9)
7
3
3
2
0
1
x
dx
x+
∫

2
( sin ).sin 2f p x q xdx
β
α
+
∫
;
2
( ).sin 2osf pc x q xdx
β
α
+
∫
→ Đặt
2
sint p x q= +
hoặc
2
cost p x q= +
→ Đặt
2
sin
n
t p x q= +
hoặc
2
cos
n
t p x q= +
nếu các biểu thức tương ứng nằm trong dấu

2 3
0
(1 cos ) sin 2x xdx
π
+
∫
4.
2
0
sin 2
1 cos2
x
dx
x
π
+
∫
5.
2
2
cos
0
sin 2
x
e xdx
π
∫
6.
2
2

+
∫
 Lưu ý: Trong tất cả các trường hợp đặt trong dấu
n
ta nên nâng luỹ thừa bậc n lên rồi sau đó tìm vi phân vế theo vế để
đưa ra cách biểu diễn biểu thức dưới dấu tích phân theo biến mới phù hợp.
c./- Phương pháp tích phân từng phần
PP: Ta sử dụng cơng thức tích phân từng phần:
b b
b
a
a a
udv uv vdu
= −
∫ ∫
(1)
Đặt
'( ) ,(
( )
'( ) '( ) ( ),(
Lấy vi phân theo vế)
Tìm một nguyên hàm)
du u x dx
u u x
dv v x dx v v x dx v x
=

=



ln()
phần còn lại
u
dv
=


=

•
.sin . , . .
ax ax
e kx dx e coskx dx
∫ ∫
. Ta đặt
( )
phần còn lại
u p x
dv
=


=

hoặc ngược lại. Trong đó, p(x) là hàm đa thức
BÀI TẬP: Tính các tích phân sau
1.
1
ln
e

e
x xdx
x
+
∫
6.
2
2
1
ln( )x x dx
+
∫
7.
2
3 2
0
( sin )cosx x xdx
π
+
∫
8.
2
0
( 1)cosx xdx
π
−
∫
9.
4
2

0
(1 cos )x xdx
π
+
∫
(TN 2009)
14.
∫
2
0
2sin.
π
xdxx
15.
2
2
0
xcos xdx
π
∫
16.
2
1
ln
( 1)
e
e
x
dx
x +

π
∫
21.
2
2
0
(3 sin )x x dx
π
+
∫
6/- ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng 8
Tích phân & Ứng dụng Trường THPT Khánh Lâm
6.1/- Tính diện tích hình phẳng:
a) Diện tích hình phẳng D giới hạn bởi các đường y = f(x), trục hồnh Ox và các đường thẳng x = a, x = b là:
( )
b
a
S f x dx
=
∫
b) Diện tích hình phẳng D giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x) và các đường thẳng x = a, x =b là:
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
b b
a a
S f x g x dx f x g x
= − = −
∫ ∫
 Lưu ý:

( )
b
a
V f x dx
π
=
∫
BÀI TẬP:
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
1. Đồ thị hàm số
1
y x
x
= +
, trục hồnh, các đường
thẳng x = -2, x = 1
2. y = e
x
+ 1, y = 0, x = 0, x = 1
3. y = x
3
- 4x, y = 0
4. y = sinx, y = 0, trục tung và đường thẳng x = 2π
5.
2 1
, 0, 0, 2
1
x
y y x x
x

−
12.
4 2
2y x x= −
, y = 0
13. Đồ thị hàm số y = x
3
- 3x
2
, trục tung và tiếp tuyến
của đồ thị tại điểm M(1; -2)
Bài 2: Tính thể tích các khối tròn xoay sinh bởi các hình phẳng D sau đây khi cho D quay quanh trục Ox
1. y = x
2
+ x - 5 ; x + y - 3 = 0
2.
2
y (x 2)= −
, y = 4
3.
2 2
4 ; 2y x y x= − = +
4.
1
, 0, 1, 4y y x x
x
= = = =
5.
1
, 0, ,

9. y = x
)1ln(
3
x+
; y = 0 ; x = 1
TÍCH PHÂN TRONG CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP
1. Năm 92-93:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
3 2
6 9y x x x= − +
, y = 0, x = 1, x = 2
2. Năm 93-94:
a.
2
5
0
sin xdx
π
∫
b.
2
1
(1 )ln
e
x xdx−
∫

3. Năm 94-95:Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số
2

4 lnx xdx
∫
b.
2
2 3
0
2.x x dx+
∫
c. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
3
3 1y x x= − +
,
trục hồnh, trục tung và x = -1
6. Năm 96-97 L2:
Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng 9
Tích phân & Ứng dụng Trường THPT Khánh Lâm
a.
3
2
0
sin tanx xdx
π
∫
b. Diện tích hình phẳng:
4 2
1 9
2
4 4
y x x= − + +
7. Năm 97-98 L1

2
x
dx
x
−
−
 
∫
 ÷
−
 
9. Năm 98-99:
2
2 3
0
sin cosx xdx
π
∫
10. Năm 1999-2000:
a. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
1 1
1
2 1
y x
x
= − +
−
, y = 0,
x = 2, x = 4
11. Năm 2000-2001:

1
1
3
F
=
( )
.
2) Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số
2
2 10 12
2
x x
y
x
− −
=
+
và đường thẳng y = 0.
13. Năm 2003-2004: Tính thể tích của vật thể tròn xoay do
hình phẳng giới hạn bởi (C):
3 2
1
3
y x x C
= −
( )
và các
đường y = 0, x = 0, x = 3 quay quanh trục Ox
14. Năm 2004 - 2005:
1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục tung, trục hồnh

I dx
x
π
=
−
∫
.
16. Năm 2006-2007:
2
1
ln
e
xdx
x
∫
17. Năm 2007-2008:
1
0
(1 )
x
e xdx+
∫
CÁC ĐỀ PHÂN BAN
18.Năm 2005-2006
a. Diện tích hình phẳng: (C):
3 2
3y x x= − +
, y = 0
b.
ln5

3
1
2 lnx xdx
∫
20. Năm 2006-2007 L2:
a. Hình phẳng (H): y = sinx, y =0, x = 0, x = π/2. Tính thể
tích khối tròn xoay khi (H) quay quanh Ox
b. Tính diện tích (H): y = -x
2
+ 6x, y = 0
21. Năm 2007-2008 L1:
a.
1
2 3 4
1
(1 )x x dx
−
−
∫
b.
2
0
(2 1)cosx xdx
π
−
∫
22. Năm 2007-2008 L2:
a.
1
0