TRƯỜNG…………………
Khoa………………….

[\[\

Bài giảng

Toán cao cấp A2 BÀI GIẢNG MÔN TOÁN CAO CẤP 2
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng
Tháng 12 năm 2009
Mục lục
1 Hàm số nhiều biến số 2
1.1 Hàm số nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Tập hợp trong R
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Giới hạn và liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.6.1 Công của một lực biến đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.6.2 Diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.7 BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4 Lý thuyết chuỗi 45
4.1 Đại cương về chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1.1 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1.2 Tiêu chuẩn Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.1.3 Tính chất của chuỗi số hội tụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2 Chuỗi số dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2.1 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2.2 Các định lý so sánh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2.3 Các quy tắc khảo sát sự hội tụ của chuỗi số. . . . . . . . . . . . . . 49
4.3 Chuỗi số có số hạng với dấu bất kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3.1 Hội tụ tuyệt đối. Bán hội tụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3.2 Chuỗi số đan dấu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3.3 Các tính chất của chuỗi số hội tụ tuyệt đối. . . . . . . . . . . . . . 51
4.4 Chuỗi hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.4.1 Hội tụ và hội tụ đều. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.4.2 Tiêu chuẩn hội tụ đều của chuỗi hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4.3 Tính chất của chuỗi hàm số hội tụ đều. . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.5 Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.5.1 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.5.2 Quy tắc tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa. . . . . . . . . . . . 56
4.5.3 Tính chất của chuỗi lũy thừa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.5.4 Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa. . . . . . . . . . . . . 59
4.5.5 Khai triển một số hàm số sơ cấp thành chuỗi lũy thừa. . . . . . . . 60
4.5.6 Công thức Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.5.7 Ứng dụng chuỗi lũy thừa để tính gần đúng . . . . . . . . . . . . . . 62
Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng ii
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2

vi phân toàn phần, đạo hàm cấp cao, đạo hàm theo hướng, cực trị của hàm số nhiều biến
số và một số ứng dụng của phép tính vi phân vào hình học.
- Sinh viên cần hiểu rõ các khái niệm trên, nắm vững các kết quả trên, hiểu được ý
nghĩa của đạo hàm riêng và vi phân toàn phần, cần lưu ý đến sự khác biệt giữa hàm số
một biến và hàm số nhiều biến số.
1.1 Hàm số nhiều biến số
1.1.1 Tập hợp trong R
n
.
- Giả sử M (x
1
, x
2
, , x
n
) , N (y
1
, y
2
, , y
n
) là hai điểm trong R
n
. Khoảng cách giữa hai
điểm ký hiệu là d(M, N) được cho bởi công thức:
d (M, N) =





n
được gọi là điểm trong của E nếu tồn tại một ε - lân cận nào đó
của M nằm hoàn toàn trong E. Tập E được gọi là tập mở nếu mọi điểm của nó đều là
điểm trong.
- Điểm N ∈ R
n
được gọi là điểm biên của tập hợp E nếu mọi ε - lân cận của N đều
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2
vừa chứa những điểm thuộc E, vừa chứa những điểm không thuộc E. Điểm biên của tập
hợp E có thể thuộc E có thể không thuộc E. Tập hợp những điểm biên của E được gọi
là biên của nó.
- Tập E được gọi là tập đóng nếu nó chữa mọi điểm biên của nó (tức là biên của E là
một bộ phận của E).
- Tập hợp E gồm những điểm M sao cho d (M
0
, M) < r, trong đó M
0
là một điểm
cố định, r là một số dương, được gọi là một quả cầu mở tâm M
0
, bán kính r. Tập hợp
những điểm M sao cho d (M
0
, M) ≤ r là một tập hợp đóng và được gọi là quả cầu đóng
tâm M
0
, bán kính r.
- Tập E được gọi là tập bị chặn nếu tồn tại một quả cầu nào đó chứa E.
Hình 1.1: Miền đơn liên và miền đa liên
Tập E được gọi là liên thông nếu có

n
) ∈ R
n
qua ánh xạ f được kí hiệu là u = f (u
1
, u
2
, , u
n
).
Để cho tiện ta dùng kí hiệu trên để chỉ hàm n biến và cần hiểu hàm n biến u:
f : R
n
→ R
u = f (x
1
, x
2
, , x
n
)
Với n = 2 hay n = 3 , người ta thường dùng ký hiệu z = f(x, y) hay u = f(x, y, z).
Thí dụ 1. Cho hàm hai biến
f : R
2
→ R, z =

a
2
− x

0
không đổi
trong suốt quá trình khảo sát thì ta có hàm của một biến x: z = f (x, y
0
) .
Chú ý 2. Nếu trong hàm hai biến z = f (x, y) ta cho z giá trị không đổi C thì phương
trình f (x, y) = C biểu diễn một đường cong(là giao tuyến của mặt phẳng z = C với mặt
cong z = f (x, y)). Trên đường cong này, các giá trị của hàm là như nhau. Ta gọi nó là
đường đồng mức của hàm f (với mức C). Biểu diễn một số đường đồng mức trên cùng
một hình vẽ ta có một hình ảnh về hàm đang xét. Thí dụ, trên một bản đồ địa lý, các
điểm có cùng một độ sâu được nối với nhau bằng các đường đồng mức.
Với hàm ba biến f (x, y, z), các mặt f (x, y, z) = C là các mặt đồng mức. Thí dụ trong
vật lý học, nếu hàm f là một hàm thế, cho giá trị của thế năng tại các điểm trong không
gian thì mặt đồng mức chính là các mặt đẳng thế.
1.1.3 Giới hạn và liên tục
Ta coi một bộ n số thực (x
1
, x
2
, , x
n
) như một điểm M trong không gian n chiều R
n
.
Như vậy hàm n biến u = f (x
1
, x
2
, , x
n

− a
n
)
2
Điểm M dần tới M
0
: M → M
0
khi và chỉ khi













x
1
→ a
1
x
2
→ a
2

còn giữ nguyên các biến khác (coi như hàm chỉ chứa biến
x
i
). Xét tỷ số
∆f
∆x
i
=
f (x
1
, , x
i
+ ∆x
i
, , x
n
) − f (x
1
, , x
i
, , x
n
)
∆x
i
Nếu ∆x
i
→ 0 mà tỷ số trên có giới hạn thì giới hạn của nó được gọi là đạo hàm riêng
lấy theo biến x
i

.
Ta có
∂f
∂x
= y

1
x


x
= −
y
x
2
;
∂f
∂y
=
1
x
(y)

y
=
1
x
Thí dụ 2: f (x, y) = x
y
. Khi lấy đạo hàm riêng theo x, coi như hằng số nên áp dụng

+ z
2
;
∂f
∂y
=
y

x
2
+ y
2
+ z
2
;
∂f
∂z
=
z

x
2
+ y
2
+ z
2
Nếu đặt r =

x
2

x

, f
y

là những đạo hàm
riêng cấp một. Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp một (nếu có) được gọi là
những đạo hàm riêng cấp hai. Ta có bốn đạo hàm riêng cấp hai được kí hiệu như sau:
∂
∂x

∂f
∂x

=
∂
2
f
∂x
2
= f

x
2
(x, y) ,
∂
∂y

∂f
∂x

∂f
∂y

=
∂
2
f
∂y∂x
= f

yx
(x, y)
Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 5
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2
Thí dụ: Với hàm hai biến z = x
3
y
2
− 3xy
3
− xy + 1 ta có:
Các đạo hàm riêng cấp 1:
∂z
∂x
= 3x
2
y
2
− 3y
3

2
y − 9y
2
− 1;
∂
2
z
∂x∂y
= 6x
2
y − 9y
2
− 1
Nếu các đạo hàm hỗn hợp cấp hai của hàm z = f (x, y) là liên tục thì chúng bằng
nhau; f

xy
(x, y) = f

yx
(x, y).
Các đạo hàm riêng của các hàm đạo hàm riêng cấp hai (nếu có) được gọi là các đạo
hàm riêng cấp ba, Nếu các đạo hàm riêng là liên tục thì chúng không phụ thuộc thứ tự
lấy đạo hàm.
1.2.3 Vi phân toàn phần.
Cho hàm hai biến z = f (x, y) xác định trong một miền D chứa điểm (x
0
, y
0
). Xét số

→ 0 khi ρ → 0 (cả ∆x và ∆y đều dần đến 0), thì ta
nói rằng hàm số z khả vi tại (x
0
, y
0
) và biểu thức A∆x + B∆y được gọi là vi phân toàn
phần của hàm z = f (x, y) tại điểm (x
0
, y
0
). Kí hiệu là df (x
0
, y
0
) hay dz.
Thí dụ: Tìm vi phân toàn phần của hàm z = f (x, y) = x
2
+ y
2
Ta có
∆f = (x
0
+ ∆x)
2
+ (y
0
+ ∆y)
2
−


+ ∆y
2
=

∆x
2
+ ∆y
2
→ 0
khi ρ → 0 (∆x → 0, ∆y → 0) , α (ρ) là vô cùng bé có cấp cao hơn ρ
Vậy df (x
0
, y
0
) = 2x
0
∆x + 2y
0
∆y.
Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 6
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2
Định lý 1. Nếu hàm z = f (x, y) có vi phân tại (x
0
, y
0
) thì nó cũng có các đạo hàm riêng
tại (x
0
, y
0

0
+ ∆y) − f (x
0
, y
0
)
∆x
= A + lim
∆x→0
α (|∆x|)
∆x
Khi ∆x → 0 thì giới hạn cuối cùng bằng không vì α (|∆x|) là vô cùng bé cấp cao hơn
∆x. Vậy
∂f (x
0
, y
0
)
∂x
= A
Chứng minh tương tự ta có
∂f (x
0
, y
0
)
∂y
= B
Định lý 2. Nếu hàm z = f (x, y) có các đạo hàm riêng liên tục tại (x
0

∂z
∂y
∆y
Nếu các biến số x, y của hàm hai biến z = f (x, y) độc lập thì ta cũng có dx = ∆x và
dy = ∆y, khi đó vi phân toàn phần của hàm hai biến còn được viết dưới dạng:
dz =
∂z
∂x
dx +
∂z
∂y
dy
Ta cũng có kết quả tương tự cho hàm số nhiều biến hơn, chẳng hạn với hàm của ba
biến số độc lập u = f (x, y, z) ta có vi phân toàn phần của nó:
du =
∂u
∂x
dx +
∂u
∂y
dy +
∂u
∂z
dz
Thí dụ: Tìm vi phân toàn phần của hàm u = xyz tại điểm (x, y, z).
Ta có
∂u
∂x
= yz;
∂u

∆x +
∂f (x
0
, y
0
)
∂y
∆y
Thí dụ: Tính gần đúng 1, 02
4,05
Xét hàm z = x
y
và áp dụng công thức gần đúng trên:
(x
0
+ ∆x)
y
0
+∆y
∼
=
x
y
0
0
+ y
0
x
y
0

Thông thường sai số ∆x của giá trị x, về trị tuyệt đối không vượt quá một số dương
∆
x
nào đó, số ∆
x
này được gọi là sai số tuyệt đối của x: |∆x|  ∆
x
.
Tương tự |∆y|  ∆
y
, với ∆
y
là sai số tuyệt đối cực đại của y.
Từ đó, |∆z|
∼
=
|dz| 




∂z
∂x




∆
x
+



∂z
∂y




∆
y
.
Chú ý : Nhiều khi người ta dùng sai số tương đối cực đại của z, đó là tỷ số: δ
z
=
∆
z
|z|
. Như
vậy,
δ
z
=




∂z/∂x
z



+




∂ ln |z|
∂y




∆
y
Sai số tương đối cực đại của z bằng sai số tuyệt đối của ln |z|.
1.2.5 Đạo hàm của hàm số hợp.
Cho hàm số z = f (x, y) có vi phân (khả vi đối với x và y). Giả sử x và y không phải
là biến số độc lập mà là hàm của một biến t nào đó: x = x (t) , y = (t) với giả thiết
chúng là các hàm khả vi đối với t. Như vậy, z = f (x, y) là hàm của biến số t, và ta cần
Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 8
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2
tính đạo hàm của nó theo t.
Vì hàm f có vi phân nên ∆f = A∆x + B∆y + α (ρ), do đó
∆f
∆t
= A
∆x
∆t
+ B
∆y
∆t

α (ρ)
ρ
·


∆x
∆t

2
+

∆y
∆t

2
Các hàm x(t), y(t) khả vi nên liên tục, vì vậy, khi ∆t → 0 thì cả ∆x, ∆y → 0 tức là
ρ → 0. Theo định nghĩa của vi phân
α (ρ)
ρ
→ 0 khi ρ → 0. Do đó khi ∆t → 0 thì
α (ρ)
ρ
→ 0 ·


dx
dt

2
+

Ta có thể mở rộng kết quả trên cho trường hợp hàm hợp của hai biến:z = f (x, y) với
x = x (u, v) , y = y (u, v). Khi đó nếu hàm z là khả vi đối với x, y; các hàm x, y khả vi đối
với u, v thì hàm hợp z = f [x (u, v) , y = y (u, v)] cũng khả vi đối với u, v và ta có:
df
du
=
∂f
∂x
·
dx
du
+
∂f
∂y
·
dy
du
df
dv
=
∂f
∂x
·
dx
dv
+
∂f
∂y
·
dy

do đó
dz
dt
= 2e
x
2
+ y
2
(−ax sin t + bycost) = e
x
2
+ y
2
sin 2t(b
2
− a
2
)
Thí dụ 2 : Cho hàm số z = x
2
+ y
2
trong đó x = u + v, y = u − v
Khi đó:
dz
du
=
∂z
∂x
·

, x
2
, , x
n
) có cực đại tại (x
0
1
, x
0
2
, , x
0
n
) trong một miền D nếu
với mọi điểm (x
1
, x
2
, , x
n
) thuộc một lân cận đủ nhỏ của điểm (x
0
1
, x
0
2
, , x
0
n
)

, , x
0
n
) trong một miền D nếu
với mọi điểm (x
1
, x
2
, , x
n
) thuộc một lân cận đủ nhỏ của điểm (x
0
1
, x
0
2
, , x
0
n
)
(∗)
ta có:
f(x
1
, x
2
, , x
n
)  f(x
0

2
, , x
0
n
) thì các
đạo hàm riêng của hàm tại điểm đó triệt tiêu z

x
i
= f

x
i
(x
0
1
, x
0
2
, , x
0
n
) = 0, i = 1, , n và
điểm (x
0
1
, x
0
2
, , x

= 0 tại điểm (x
0
, y
0
).
Trong thí dụ ở trên ta đã chứng tỏ hàm z = x
2
+ y
2
có cực tiểu tại (0,0). Ta có
∂z
∂x
= 2x = 0;
∂z
∂y
= 2y = 0
tức là các đạo hàm riêng tại điểm cực trị (0, 0) triệt tiêu.
Chú ý: Điều kiện các đạo hàm riêng bị triệt tiêu chỉ là điều kiện cần chứ không phải
là đủ. Thật vậy, hàm số z = x
2
− y
2
có các đạo hàm riêng triệt tiêu tại (0, 0), nhưng ta
có f(0, 0) = 0, nếu lấy các điểm (x, y) thuộc lân cận điểm (0, 0) mà x > y thì f(x, y) > 0,
còn nếu lấy các điểm mà x < y thì f(x, y) < 0, nên theo định nghĩa cực trị thì hàm số
không có cực trị tại (0, 0).
Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 10
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2
1.3.3 Điều kiện đủ của cực trị hàm hai biến.
Định lý 4. Giả sử hàm z = f(x, y) liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một và cấp

∂
2
z
∂y
2
(x
0
, y
0
)
• Nếu AC − B
2
> 0 thì f(x, y) có cực trị tại điểm (x
0
, y
0
), f(x, y) đạt cực đại nếu
A < 0; đạt cực tiểu nếu A > 0.
• Nếu AC − B
2
< 0 thì f(x, y) không có cực trị tại điểm (x
0
, y
0
).
• Nếu AC −B
2
= 0 thì f(x, y) có thể đạt cực trị tại điểm (x
0
, y

⇒

z

x
= 0
z

y
= 0
⇔

6x
2
+ y
2
+ 10x = 0
2xy + 2y = 0
Giải hệ ta tìm được bốn điểm dừng là
M
1
(0, 0) , M
2

−
5
3
, 0

, M

4
3
, AC −B
2
> 0, A < 0 do đó hàm số có cực đại.
Tại M
3
: A = −2; B = 4; C = 0, AC − B
2
< 0 do đó hàm số không có cực trị.
Tại M
4
: A = −2; B = −4; C = 0, AC − B
2
< 0 do đó hàm số không có cực trị.
1.4 Bài tập
1.1. Tìm miền xác định của các hàm sau:
z =
1

a
2
− x
2
− y
2
; z = arcsin

x
y

(2, 1) f

y
(2, 1).
2, z = e
x
2
+ y
2
. Tính z

x
, z

y
.
1.4. Chứng tỏ rằng hàm số z = y ln(x
2
− y
2
) thỏa mãn phương trình
1
x
∂z
∂x
+
1
y
∂z
∂y

x
2
+ y
2
)
2) u = e
x
(cosy + xsiny)
3) u = x
y
2
z
1.7. Tính gần đúng:
1) arctg
1,02
0,95
; 2)
3

1, 02
2
+ 0, 05
2
; 3)

sin
2
1, 55 + 8e
0,015
1.8.

x. Tìm z

x
.
2) z =
x
2
− y
x
2
+ y
với y = 3x + 1. Tìm
dz
dx
.
1.10. Cho hàm u =
1
r
với r =

x
2
+ y
2
+ z
2
. Chứng tỏ rằng:
∂
2
u

4

Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 12
Chương 2
Tích phân kép
Mục đích yêu cầu:
- Chương này nghiên cứu về tích phân kép. Đó là sự mở rộng của tích phân xác định của
hàm số một biến số sang tích phân của hàm số hai biến số, do đó có rất nhiều điểm tương
tự với tích phân xác định.
- Khi học, sinh viên cần nắm vững định nghĩa, các tính chất và cách tính tích phân kép
trong hệ tọa độ Đề-các và trong hệ tọa độ cực, cũng như các ứng dụng của tích phân kép.
2.1 Bài toán tính thể tích vật thể hình trụ cong
Giả sử cần tính thể tích của vật thể hình trụ cong, đáy dưới là miền hữu hạn D trong
mặt phẳng Oxy, đáy trên là mặt cong có phương trình z = f(x, y) và các đường sinh
song song với Oz. Hàm số z = f(x, y) liên tục và không âm trong miền D. Chia
miền D một cách tuỳ ý thành n miền con d
0
, d
1
, , d
n−1
có các diện tích tương ứng
là ∆s
0
, ∆s
1
, , ∆s
n−1
và qua biên của các miền nhỏ ấy dựng các mặt trụ đường sinh
song song với Oz. Như vậy hình trụ cong đã cho được chia thành n hình trụ cong nhỏ.

i=0
f (M
i
) ∆s
i
Dễ thấy rằng khi tăng số phần chia n lên sao cho các mảnh nhỏ d
i
có đường kính λ
i
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2
nhỏ lại thì sự khác nhau giữa V và V
n
càng ít. Do đó thể tích V của vật thể hình trụ cong
đã cho được xem là giới hạn của V
n
khi n → ∞ sao cho đường kính lớn nhất trong các
đường kính λ
i
của các miền nhỏ d
i
tiến đến không. Vậy:
V = lim
max λ
i
→0
(n→+∞)
V
n
= lim
max λ

, lấy một điểm tuỳ ý M
i
(ξ
i
, η
i
) và tính f(M
i
)∆s
i
= f(ξ
i
, η
i
)∆s
i
3. Lập tổng I
n
=
n−1

i=0
f (M
i
) ∆s
i
Tổng I
n
được gọi là tổng tích phân của hàm f(x, y) trong miền D
4. Tìm giới hạn I

i
(2.2)
f(x, y) gọi là hàm dưới dấu tích phân, ds gọi là yếu tố diện tích, D gọi là miền lấy tích
phân, x, y gọi là các biến số tích phân. Nếu

D
f (x, y) ds tồn tại thì ta nói rằng hàm
f(x, y) khả tích trong miền D.
Người ta chứng minh được rằng: Nếu hàm số f(x, y) liên tục trong miền hữu hạn D thì
khả tích trong miền D.
Trở lại bài toán dẫn đến khái niệm tích phân kép và dựa vào định nghĩa tích phân kép
vừa nêu ta có:
V = lim
max λ
i
→0
(n→+∞)
n−1

i=0
f (M
i
) ∆s
i
=

D
f (x, y) ds
Cần lưu ý là bài toán tính thể tích của vật thể hình trụ cong chỉ là một trong rất nhiều
bài toán thực tế dẫn đến khái niệm tích phân kép, do đó không nên hiểu tích phân kép

(x, y) −f
3
(x, y)] ds =

D
f
1
(x, y) ds+

D
f
2
(x, y) ds−

D
f
3
(x, y) ds
Tính chất 3: Nếu miền lấy tích phân D chia thành hai miền D
1
, D
2
rời nhau thì:

D
f (x, y) ds =

D
1
f (x, y) ds +

là diện tích của miền D
Tính chất 7: (Định lý giá trị trung bình). Nếu f(x, y) liên tục trong miền D thì trong
miền đó tìm được ít nhất một điểm M
i
(ξ
i
, η
i
) sao cho:

D
f (x, y) ds = f (ξ
i
, η
i
) S
D
Giá trị của hàm số f(x, y) tại điểm M
i
(ξ
i
, η
i
) gọi là giá trị trung bình của hàm số f(x, y)
trong miền D
2.4 Cách tính tích phân kép trong toạ độ Đề-Các
Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 15
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2
Hình 2.2: Chia miền D
Như đã biết trong định nghĩa tích phân kép, giới

Giả sử miền D thoả mãn điều kiện sau: mọi đường thẳng song song với trục Oy cắt
biên của miền D không quá hai điểm.
Trong mặt phẳng, vẽ hai đường thẳng song song với trục Oy và tiếp xúc với biên của miền
D tại các điểm A, B, có hoành độ lần lượt là a, b. Hai điểm này chia biên của miền thành
hai đường cong APB và ARB, có phương trình lần lượt là y = ϕ
1
(x) và y = ϕ
2
(x). Cắt
vật thể hình trụ cong đã cho bằng mặt phẳng thẳng góc với trục hoành tại điểm x với
x ∈ (a, b). Thiết diện nhận được là hình thang cong P MN R; phía trên giới hạn bởi đường
cong MN có phương trình là z = f(x, y), xem như hàm số một biến số y (vì đường cong
MN là giao tuyến của mặt phẳng thẳng góc với trục hoành tại điểm x và mặt cong S có
phương trình là z = f(x, y); phía dưới là đoạn thẳng P R song song với trục Oy và hai
cạnh bên là PM và RN. Ta có IP = ϕ
1
(x) và IR = ϕ
2
(x). Theo công thức tính diện tích
Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 16
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2
hình thang cong ta có:
S
thangcongP MNR
= S (x) =
ϕ
2
(x)

ϕ

nên:

D
f (x, y) dxdy =
b

a



ϕ
2
(x)

ϕ
1
(x)
f (x, y) dy



dx
Người ta thường viết dưới dạng

D
f (x, y) dxdy =
b

a
dx


c
dy
ψ
2
(y)

ψ
1
(y)
f (x, y) dx (2.5)
trong đó x = ψ
1
(y) là phương trình đường cong CQE; x = ψ
2
(y) là phương trình đường
cong CSE; C và E là những điểm tiếp xúc giữa các đường thẳng song song với trục Ox
Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 17
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2
và biên của miền D; c và d là tung độ các điểm C và E.
Chú ý rằng, nếu dùng công thức (2.5) để tính tích phân kép thì đầu tiên tính
ψ
2
(y)

ψ
1
(y)
f(x, y)dx,
xem y là hằng số, kết quả cho ta một hàm số của y. Tính tích phân hàm số ấy theo y từ

Áp dụng công thức (2.4), tính tích phân theo y
trước. Nhìn theo hướng dương của trục Oy, thấy
rằng đường cong AOB giới hạn phía dưới của
miền D có phương trình y = 2x
2
; đường thẳng
AB giới hạn phía trên của miền D có phương
trình y = 2; còn x biến thiên từ x
A
= −1 đến x
B
= 1 (nghĩa là có thể biểu diễn miền D
bởi các bất đẳng thức kép −1 ≤ x ≤ 1 và 2x
2
≤ y ≤ 2).Do đó:

D
f(x, y)dxdy =
1

−1
dx
2

2x
2
f (x, y) dy
Nếu dùng công thức (2.5) thì tính tích phân theo x trước, y sau. Nhìn thep hướng
dương của trục Ox, thấy rằng đường cong OA giới hạn bên trái miền D có phương trình
x = −


−

y
2
f (x, y) dx
b, Hoành độ giao điểm B được xác định bởi phương trình: x
2
= 2 − x hay x
2
+
x − 2 = 0. Từ đó nhận được x
B
= 1, y
B
= 1. Áp dụng công thức (2.4),tính
tích phân theo y trước. Nhìn theo hướng dương của trục Oy, thấy rằng đường
cong OBA giới hạn phía trên của miền D gồm hai đoạn OB và BA có phương
trình khác nhau nên phải chia miền D thành hai miền OCB và CAB. Ta có:
Hình 2.6:

D
f(x, y)dxdy =

OCB
f(x, y)dxdy+

CAB
f(x, y)dxdy
Miền COB được biểu diễn bởi: 0  x  1

D
f(x, y)dxdy =
1

0
dy
2−y

√
y
f (x, y) dx
Qua trường hợp này, ta thấy rõ tầm quan trọng của việc phải căn cứ vào hình dạng
của miền D mà quyết định dùng công thức (2.4) hay (2.5) để tính tích phân kép một cách
đơn giản nhất.
Ví dụ 2 : Tính tích phân kép

D
x
2
ydxdy, D là miền giới hạn bởi:
a, Các đường thẳng x = 0, x = 3, y = 2
b, Các đường y = x
2
, y =
√
2 − x
2
c, Các đường y = x, x =
√
y, y = 2

ydy = x
2
2

0
ydy = x
2
y
2
2




y=2
y=0
=
x
2
2

2
2
− 0
2

= 2x
2
Cuối cùng ta có:


trục Ox có thể biểu diễn miền D bởi bất đẳng thức kép: 0 ≤ y ≤ 2 và 0 ≤ x ≤ 3. Vậy

D
x
2
ydxdy =
2

0
dy
3

0
x
2
ydx
Tính tích phân theo x , xem y là hằng số ta có:
3

0
yx
2
dx = y
3

0
x
2
dx = y
x

y
2




y=2
y=0
=
9
2

2
2
− 0
2

= 18
b,
Hình 2.8:
Áp dụng công thức (2.4) tính tích phân theo y
trước. Nhìn theo hướng dương của trục Oy, có thể biểu
diễn miền D bởi các bất đẳng thức kép: −1 ≤ x ≤ 1
và x
2
≤ y ≤
√
2 − x
2
. (chú ý rằng x = −1, x = 1 là





y=
√
2−x
2
y=x
2
dx =
1

−1
x
2
2

2 − x
2
− x
4

dx
=
1
2
1

−1

−
x
7
7





x=1
x=0
=
34
105
Chú ý :
1. Đối với trường hợp trên, áp dụng công thức (2.4) là đơn giản nhất. Thật vậy, nếu dùng
công thức (2.5) ta phải tính tích phân theo x trước. Khi đó nhìn theo chiều dương của
trục Ox, thấy rằng đường cong OAB giới hạn phía trái của miền D gồm hai đoạn OA và
AB có phương trình khác nhau, tương tự đường cong OCB phía bên phải cũng gồm hai
đường OC và CB có phương trình khác nhau. Vì vậy phải chia miền D thành hai miền
OAC và ABC.
2. Trong ví dụ này, miền lấy tích phân D đối xứng đối với trục Oy, hàm số dưới dấu tích
phân x
2
y là hàm số chẵn đối với biến x nên có thể viết

D
x
2
ydxdy = 2

2
ydx
Đầu tiên ta tính tích phân theo x, xem y là hằng số, ta có:
√
y

−y
x
2
ydx = y
x
3
3




√
y
−y
=
1
3


y
5
2
+ y
4

+
1
5
y
5








y=2
y=0
=
1
3

2
7
2
7
2
+
1
5
2
5
