Đề thi vào các trường THPT
Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam
Năm học 1992 – 1993
(150 phút)
Bài 1 (2,5đ):
Xét biểu thức:
P =
3
2
1
2
)1(2
1
)1(2
1
a
a
aa
−
+
−
−
+
+
1, Rút gọn P.
2, Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Bài 2 (2,5đ):
Một ô tô tải đi từ A đến B với vận tốc 30 km/h. Sau đó một thời gian, xe con cũng
xuất phát từ A với vận tốc 40 km/h và nếu không có gì thay đổi thì sẽ đuổi kịp ô tô tải tại
B. Nhưng sau khi đi được nửa quãng đường AB thì xe con tăng tốc thành 45 km/h nên sau
đó 1h thì đuổi kịp xe tải. Tính quãng đường AB.






−
+
+








++
−
−
+
a
a
a
aa
a
a
a
1
1
1

2
) và D là trung điểm của BC. Chứng minh rằng M, N,
D thẳng hàng.
Bài 4 (1đ):
Tìm tất cả các cặp số (x; y) thoả mãn phương trình sau:
01)2.(25
2
=+++− yyxx
Đề thi vào các trường THPT
Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam
Năm học 1995 – 1996
(150 phút)
Bài 1 (2đ):
Cho các biểu thức:
A =
2
232
−
−−
x
xx
; B =
2
22
3
+
−+−
x
xxx
1, Rút gọn A và B.

Giải phương trình:
)(
2
1
199619952 zyxzyx ++=−+++−
Đề thi vào các trường THPT
Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam
Năm học 1996 – 1997
(150 phút)
Bài 1 (2đ):
Xét biểu thức:
P =
1
2
1
1
2
2
393
−
+
+
−
−
−
−+
−+
aa
a
aa

2
+ bx + a = 0 (2)
Với ac < 0. Gọi m và n tương ứnh là nghiệm lớn nhất của phương trình (1) và
phương trình (2), chứng minh rằng: m + n ≥ 2
Đề thi vào các trường THPT
Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam
Năm học 1997 – 1998
(150 phút)
Bài 1 (2,5đ):
Cho biểu thức:
P =
1
2
2
3
2
)3(3
−
−
−
+
+
+
−+
−+
x
x
x
x
xx

xx
Đề thi vào các trường THPT
Trường Chu Văn An & Amsterdam
Năm học 1998 – 1999
(120 phút)
Bài 1 (3đ):
Cho biểu thức:
P =








+
+
−
−
+
−









4
– (m – 1)(x + 1)
2
– m
2
+ m – 1 = 0 (*)
1, Giải phương trình với m = – 1.
2, Chứng minh rằng phương trình (*) luôn có hai nghiệm x
1
, x
2
với mọi giá trị của
tham số m.
3, Tìm các giá trị của m để
2
21
=+ xx
Bài 3 (4đ):
Cho đường tròn (O; R), đường kính AB; kẻ tia tiếp tuyến Ax và trên đó lấy một
điểm P (AP > R). Từ P kẻ tia PM tiếp xúc với đường tròn tại M
1, Tứ giác OBMP là hình gì ? Tại sao ?
2, Cho AP = R
3
. Chứng minh tam giác PAM có trực tâm H nằm trên đường tròn
(O; R).
3, Chứng minh rằng khi P di động trên tia Ax (AP > R) thì trực tâm H của tam giác
PAM chạy tren một cung tròn cố định.
4, Dựng hình chữ nhật PACN. Chứng minh B, M, N thẳng hàng.
Đề thi vào các trường THPT
THPT Chuyên Ngoại ngữ – ĐH Ngoại ngữ (ĐHQGHN)

xy
yx
yxyxxy
22
:
22
1
1, Rút gọn A.
2, Tìm m để phương trình A = m – 1, có nghiệm x, y thoả mãn
6=+ yx
Bài 2 (2,5đ):
1, Tìm m để phương trình sau:
x
2
– (2m + 1)x + m
2
– 1 = 0
Có nghiệm x
1
, x
2
sao cho: x
1
2
+ x
2
2
= 5
2, Cho hàm số:
y = x

1, Độ dài dây BC không đổi.
2, Điểm E cố định.
3, Ba điểm I, E, F thẳng hàng.
4, Điểm I thuộc một đường tròn cố định.
Bài 4 (1đ):
Cho các số dương x, y, z thoả mãn x
2
+ y
2
+ z
2
≥ 1. Chứng minh:

1
333
≥++
x
z
z
y
y
x
Đề thi vào các trường THPT
THPT Chuyên Ngoại ngữ – ĐH Ngoại ngữ (ĐHQGHN)
Năm học 1999 – 2000
(150 phút)
Bài 1 (2đ):
Cho biểu thức:
P =
2

2
không phụ thuộc và m.
2, Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thoả mãn hệ thức:
06
1
2
2
1
=++
x
x
x
x
Bài 3 (2đ):
Cho hàm số:
y = mx
2
+ 3(m – 1)x + 2m + 1 ( l )
1, Khi m = 1, hàm số có đồ thị (C). Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm A(0; 2) và
có hệ số góc k. Tìm k để đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thi (C).
2, Chứng minh đồ thị ( l ) luôn đi qua hai điểm cố định với mọi giá trị của m.
Bài 4 (3đ):
Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố định. Đường thẳng xy là tiếp tuyến với
đường tròn tại B. Đường kính MN quay quanh O (MN khác AB và không vuông góc với
AB). Gọi C, D lần lượt là giao điểm của các đường thẳng AM, AN với xy.
1, Chứng minh rằng: Tứ giác MNDC nội tiếp được đường tròn.

Tam giác ABC có trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp O, bán kính đường tròn nội
tiếp là r. Gọi d, d, d lần lượt là khoảng cách từ O đến 3 cạnh BC, CA, AB.
1, Chứng minh: HA + HB + HC = 2(d + d + d)
2, Giả sử tam giác ABC nhọn. Chứng minh HA + HB + HC ≥ 6r (*)
3, Khi tam giác ABC có góc A, bất đẳng thức (*) còn đúng không ? Tại sao ?
Bài 4 (1,5đ):
Tìm các chữ số biểu thị bởi các chữ cái trong phép nhân sau.
Biết rằng: T = 2E và các chữ cái khác nhau ứng với các chữ khác
nhau.
Bài 5 (1,5đ):
Người ta kẻ n đường thẳng sao cho không có hai đường thẳng nào đồng quy và 3
đường thẳng nào song song để chia mặt phẳng thành các miền con. Gọi S
n
là số miền con
tìm được từ n đường thẳng đó.
1, Tìm S
3
, S
4
.
2, Chứng minh: S
n
= S
n – 1
+ n
3, Chứng minh: S
n
=
2
2

1, Giải phương trình:
8273 −=−−+ xxx
2, Giải hệ phương trình:







=+
=+++
2
51
2
911
xy
xy
yx
yx
Bài 3 (1,5đ):
Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n
2
+ 9n – 2 chia hết cho n + 11.
Bài 4 (3,5đ):
Cho đường tròn (T ) và điểm I ở trong đường tròn. Qua I dựng hai dây cung bất kỳ
MIN và EIF. Gọi M
’
, N
’

’
F
’
có diện tích lớn nhất.
Bài 5 (1,5đ):
Cho các số dương x, y thay đổi thoả mãn điều kiện: x + y = 1
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P =






+








+
2
2
2
2
11
x


+






+






+






+






+

1
2, Cho a là số tự nhiên đựoc viết thành 222 chữ số 9. Hãy tính tổng các chữ số của:
n – a
n
+ 1
Bài 2 (2đ):
1, Giải phương trình:
)3()2()1( +=+++ xxxxxx
2, Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
0
145
352)23(
22
=
−+
−−+−−
xx
nnxnx
Bài 3 (2đ):
Chứng minh rằng bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi x, y, z > 0:
444444444
111222
zyxxz
z
zy
y
yx
x
++≤
+

1, Rút gọn P.
2, So sánh P với 5.
3, Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, chứng minh rằng biểu thức
P
8
chỉ nhận một
giá trị nguyên.
Bài 2 (3đ):
Trong mặt phẳng toạ độ cho đường thẳng (d): y = mx + 1 và parabol (P): y = x
2
1, Vẽ parabol (P) và đường thẳng (d) khi m = 1.
2, Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, đường thẳng (d) luôn đi qua 1
điểm cố định và luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B.
3, Tìm giá trị của tham số m để S
∆ABC
bằng 2 (đơn vị diện tích).
Bài 3 (4đ):
Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm là O. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ
các tia Ax và By vuông góc với AB. Một đường thẳng (d) thay đổi cắt Ax ở M, cắt By ở N
sao cho luôn có AM. BN = a
2

1, Chứng minh ∆AOM đồng dạng với ∆BNO và góc MON = 90
o
.
2, Gọi H là hình chiếu của O trên MN, chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn tiếp
xúc với một nửa đường tròn cố định tại H.
3, Chứng minh tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác MON chạy trên một tia cố
định.
4, Tìm vị trí của đường thẳng (d) sao cho chu vi tam giác AHB đạt giá trị lớn nhất.

+
−
+−
+
1
2:
3
2
2
3
65
2
x
x
x
x
x
x
xx
x
1, Rút gọn P.
2, Tìm x để P
2
5
−≤
Bài 2 (3đ):
Cho phương trình:
223
2
mxmx −−=−

cắt đường tròn (O
’
).
1, Chứng minh ∆OAM đồng dạng với ∆O
’
AN.
2, Chứng minh độ dài đoạn NQ không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
3, Tứ giác ABQP là hình gì ? Tại sao ?
4, Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác ABQN đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị
đó theo R.
Bài 4 (1đ):
Cho biểu thức:
A = – x
2
– y
2
+ xy + 2x +2y
Tìm cặp số (x; y) để biểu thức A đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó.
Đề thi vào các trường THPT
THPT Chuyên – ĐHKHTN (ĐHQGHN)
Năm học 2001 – 2002
(150 phút)
Bài 1 (2đ):
Tìm các số nguyên x, y thoả mãn đẳng thức:
(y + 2)x
2
+ 1 = y
2

Bài 2 (2đ):

a
Tính diện tích hình thang vuông EFE
’
F
’
theo a.
2, Khi M di động trên AB chứng minh EF luôn tiếp xúc với một vòng tròn cố định.
Bài 4 (1,5đ):
Giả sử x, y, z là các số thực khác không thoả mãn hệ đẳng thức:





=++
−=+++++
1
2)
11
()
11
()
11
(
333
zyx
yx
z
xz
y







−−+
x
x
x
x

Bài 2 (2,5đ):
1, Giải và biện luận theo a hệ phương trình sau:



=+
=+
1
2
ayx
ayax
(*)
2, Trong trường hợp hệ (*) có nghiệm duy nhất (x
0
; y
0
). Tìm tất cả các giá trị nguyên
của a để x









+=+
x
x
x
x
(với x > 0)
2, Xét biểu thức:
A =
6
1
4
1
+








++

Bài 3 (2đ):
Cho phương trình bậc hai ẩn x (a, b là tham số):
0)(4
2222
=++− baabxx
(1)
1, Chứng minh rằng vói mọi giá trị của a, b thì phương trình (1) không thể có hai
nghiệm phân biệt.
2, Tìm a và b để phương trình (1) có nghiệm kép = 1
Bài 4 (4đ):
Cho (O; 3cm) và hai điểm B, C nằm trên đường tròn sao cho góc BOC = 90
o
. Trên
tia đối của tia BC lấy điểm A bất kỳ (A khác B). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với M, N
là hai tiếp điểm và M nằm trên cung nhỏ BC. Gọi I là trung điểm của dây BC, tia MI cắt
đường tròn tại K (K khác M).
1, Chứng minh 5 điểm ; A, M, N, O, I cùng thuộc một đường tròn.
2, Tứ giác ABKN là hình gì ? vì sao ?
3, Xác định vị trí điểm A để tứ giác ABKN là hình bình hành.
4, Trong trường hợp ABKN là hình bình hành hãy tính các góc của hình bình hành
đó và tính độ dài đoạn MN.
Đề thi vào các trường THPT
Đề thi chuyên toán + toán tin
Năm học 1999 – 2000
(150 phút)
Bài 1 (2,5đ):
1, Chứng minh rằng
∀
x ≠ 0 thì ta có hằng đẳng thức:
( )

P =
( )
2
2
2
2
21
1
2
21








+
+++
+
+
x
x
x
x
x
x
(với x ≠ 0)
Chứng minh rằng:

’
; R
’
) tiếp xúc trong với nhau tại điểm A (R
’
< R).
Trên đường tròn (O; R) lấy 1 điểm B (B ≠ A), từ B kẻ tiếp tuyến BC với đường tròn (O
’
;
R
’
) (C là tiếp điểm). Đoạn thẳng AB cắt đường tròn (O
’
; R
’
) tại điểm D khác A
1, Chứng minh:
'
RR
R
BD
AB
−
=
2, Cho biết BC = a, hãy tính độ dài đoạn thẳng AB theo R, R
’
, và a.
Bài 4 (3đ):
Cho tam giác ABC cân ở B, góc ABC > 60
o

2
2
3, Tìm các số nguyên a sao cho A nhận giá trị là số nguyên
Bài 2 (2đ):
Cho hệ phương trình:





−=−
+=+
573
432
myx
myx
(*) (với m là tham số)
1, Giải hệ phương trình (*) khi m = 1
2, Với giá trị nào của m thì hệ phương trình (*) có nghiệm
Bài 3 (2đ):
Cho phương trình:
012)23(
22
=+−+− mxxmm
(1) (mlà tham số)
1, Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình bậc hai ?
2, Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
Bài 4 (4đ):
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của cạnh AD. Trên
cạnh BC lấy điểm E bất kì sao cho 0 < CE <

2
1
x
x +
và B =
x
x
1
−
với x ∈ R và x ≠ 0 sao cho A, B nhận giá tri dương.
Hãy tìm x để
B
A
nhận giá trị nhỏ nhất.
Bài 4 (4đ ):
Cho ∆ABC vuông tại A; AC = b, Ab = c. Gọi M là trung điểm của cạnh BC; I và K
theo thứ tự là chân các đường vuông góc hạ từ M xuống các cạnh AB và AC. D là một
điểm bất kỳ trên cạnh BC (D không trùng với các điểm B, C và M). Đường trung trực của
đoạn thẳng AD cắt các đường thẳng MI và NK tại các điểm E và F tương ứng.
1, CMR 5 điểm A, E, M, D, F cùng nằm trên một đường tròn.
2, Chứng minh ∆ABC đồng dạng ∆AEF
3, Đặt AD = x. Hãy tính diện tích ∆AEF theo b, c và x. Xác định vị trí điểm D để
diện tích ∆AEF là nhỏ nhất.
Đề thi vào các trường THPT
Đề thi chung
Năm 2001 – 2002
(150 phút)
Bài 1 (2đ):
Cho biểu thức:
A =

+ (m + 1)x + m = 0 (1)
a,Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
b, Gọi x
1
, x
2
là nghiệm của (1). Tìm m để biểu thức:
B = x
1
2
x
2
+ x
1
x
2
2
đạt giá trị lớn nhất.
c, Tìm m để phương trình (1) và phương trình x
2
+ (m – 5)x + 7m + 6 = 0 có nghiệm
chung.
2, Giải phương trình:
x
4
+ x
2
+ 6x + 1 = 0
Bài 3 (2đ):
Cho parabol y = ax

1
1
3
(:)
1
8
1
1
1
1
(
−
−
−
−−
−
−
+
−
−
−
+
a
a
aa
a
a
a
a
a

1, Vẽ đồ thị hàm số sau:
| y | + x = – 1
2, Cho tam giác ABC. Kẻ đường cao AH và phân giác BE. Biết góc AEB = 45
o
.
Tính góc EHC.
Bài 4 (3đ):
Cho đường tròn (O; R), kẻ hai đưòng kính AB, CD cố định và vuông góc với nhau.
Những đường thẳng nối C và D với một điểm M chuyển động trên đường tròn lần lượt cắt
AB ở E và F.
1, Chứng minh ∆EOC đồng dạng với ∆DOF và chứng minh tích OE. OF không đổi.
2, Cho I là trung điểm của EF. Tính góc IMO
3, Dựng điểm M sao cho EF = R
Bài 5 (1đ):
Tìm các cặp số nguyên không âm x, y thoả mãn:
y
2
( x + 1 ) = 1576 + x
2

Đề thi vào các trường THPT
Đề thi chuyên toán + toán tin
Năm 2005 – 2006
(150 phút)
Bài 1 (1,5đ):
Cho phương trình bậc hai:
ax
2
+ (ab + 1)x + b = 0
1, Chứng minh rằng phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị của a, b

2
4
22
yxyx
yxyx
2,





=+
=+
1
1
44
33
yx
yx
Bài 4 (3đ):
Cho tam giác ABC và một diểm M bất kỳ trong tam giác:
1, Các đường thẳng MA, MB, MC theo thứ tự cắt các cạnh BC, CA, AB tại A
1
, B
1
,
C
1
. Chứng minh rằng:
1

=++
GC
MC
GB
MB
G
MA
3, Một đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác ABC cắt cạnh BC kéo dài về
phía C và cắt cạnh CA, AB thứ tự tại các điểm A
3
, B
3
, C
3
. Chứng minh:

333
111
GCGBGA
=+

Bài 5 (1,5đ):
1, Gọi A là tổng của 10 số thực dương, còn B là tổng của 10 số nghịch đảo của
chúng. Tìm giá trị nhỏ nhất của tích A. B
2, Giả sử mỗi điểm trong mặt phẳng đều được tô bằng màu đỏ hoặc màu xanh.
Chứng minh rằng tốn tại một tam giác vuông cân có 3 đỉnh cùng màu.
Đề thi chung
Đề thi vào các trường THPT
Năm 2006 – 2007
(150 phút)

Một lâm trường dự định trồng 75 ha rừng trong một tuần lễ. Do mỗi tuần trồng vượt
mức 5 ha so với kế hoạch, nên đã trồng được 80 ha và hoàn thành sớm hơn 1 tuần. Hỏi
mỗi tuần lâm trường dự định trồng bao nhiêu ha rừng ?
Bài 3 (3,5đ):
Cho đưòng tròn (O) và dây AB, một điểm C ở ngoài đường tròn nằm trên tia AB.
Từ điểm chính giữa P của cung lớn AB kẻ đường kính PQ của đường tròn cắt dây AB tại
D. Tia CP cắt đường tròn tại điểm thứ hai I. Các dây AB và QI cắt nhau tại K.
1, Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp
2, Chứng minh hai tam giác CID và CPK đồng dạng
3, Chứng minh IC là tia phân giác ngoài ở đỉnh I của tam giác AIB
4, Giả sử A, B, C cố định. Chứng minh rằng đường tròn (O) thay đổi nhưng vẫn đi
qua A, B thì đường thẳng QI luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 4 (1đ):
Cho hai phương trình: ax
2
+ bx + c = 0 (1) và cx
2
+ bx + a = 0 (2) với a. c < 0.
Gọi m và n tương ứng là nghiệm lớn nhất của phương trình (1) và phương trình (2).
Chứng minh rằng: m + n ≥ 2
Bài 5 (1,5đ):
Tìm những giá trị của x thoả mãn hệ thức sau:

)32(4)32)(347()32( −=+−+−
xx
Đề thi vào các trường THPT
Đề thi chung
Năm 2008 – 2009
(150 phút)
Bài 1 (1,5đ):

1 1
.
1
1
x x x
x x
x
x
 
+ −
− −
 ÷
 ÷
−
+
 
với x ≥ 0; x ≠ 1
3, Cho phương trình: 2x
2
+ (2m – 1)x + m – 1 = 0 (*)
a, Tìm m để phương trình (*) có nghiệm kép
b, Tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu sao cho nghiệm âm có
giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương.
Bài 3 (1,5đ):
Theo kế hoạch một tổ công nhân phải sản xuất 360 sản phẩm. Đến khi làm việc do
phải điều 3 công nhân đi làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại phải nhiều hơn dự định
4 sản phẩm.
Hỏi lúc đầu tổ có bao nhiêu công nhân ? Biết rằng năng suất lao động của mỗi công
nhân là như nhau.
Bài 4 (3đ):

x
x
+ − − + + + −
− +
1, Rút gọn biểu thức A.
2, Tìm các số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị là một số nguyên.
Bài 2 (3đ):
1, Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình:
x
2
– (2m – 3)x + 1 – m = 0
Tìm các giá trị của m để: x
1
2
+ x
2
2
+ 3x
1
. x
2.
(x
1
+ x
2
) đạt giá trị lớn nhất