Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
Phần I
Đặt vấn đề
Toán học là môn khoa học cơ bản, có liên quan đến nhiều ngành, nhiều
lĩnh vực khác nhau. Các thành tựu của toán học luôn góp phần to lớn vào việc
cải tạo tự nhiên, đem lại lợi ích phục vụ cho cuộc sống của loài ngời ngày
một tốt đẹp hơn.
Dạy toán học nhằm trang bị cho học sinh một hệ thống tri thức khoa
học phổ thông cơ bản tạo điều kiện cho các em đợc hình thành và phát triển
các phẩm chất, năng lực trí tuệ, đồng thời trang bị cho các em hệ thống tri
thức đảm bảo đủ để nghiên cứu và khám phá thế giới xung quanh, góp phần
cải tạo thế giới, cải tạo thiên nhiên mang lại cuộc sống ấm no hạnh phúc cho
mọi ngời.
Trong chơng trình toán bậc trung học cơ sở, hai chủ đề lớn của môn đại
số đó là Số và Hàm số. Khái niệm Hàm số xuyên suốt chơng trình
môn đại số ở phổ thông, bắt đầu từ lớp 7 và nó là kiến thức trọng tâm của
môn đại số. Với các khái niệm hàm bậc nhất, bậc hai và các dạng đồ thị tơng
ứng, phần hàm số đợc phân lợng thời gian không nhiều.Tuy vậy bài tập về
hàm số thì thật là nhiều dạng và không thể thiếu trong các kỳ kiểm tra, kỳ
thi. Khái niệm hàm số là khái niệm trừu tợng mà thời gian luyện tập lại
không nhiều, nên kết quả của học sinh không cao.
Qua thực tế giảng dạy nhiều năm ở bậc THCS và tìm hiểu về tâm lý của
đối tợng học sinh tôi thấy các bài tập về đồ thị và hàm số học sinh còn rất
lúng túng chính vì vậy tôi đã quyết định tiến hành nghiên cứu: Một số dạng
bài tập về hàm số và đồ thị.
Trong đề tài này tôi cố gắng làm sáng tỏ khái niệm hàm số, đồ thị và đa
ra một số dạng bài tập về hàm số và các bài tập có liên quan.
Bằng cách sắp xếp các dạng toán, phơng pháp truyền thụ phù hợp với
đối tợng học sinh, phát huy tính tích cực của học sinh, chú ý sửa sai cho các
em, tôi đã giúp học sinh hiểu đây là là phần bài tập có thuật giải rõ ràng,
chính xác , có nhiều nội dun ứng dụng phong phú. Hàm số còn đợc coi là

a
y = f(x)
Ta gọi X là tập nguồn của ánh xạ f
Y là tập đích của ánh xạ f
Phần tử y = f(x)

Y gọi là ảnh của x qua ánh xạ f.
b. Các loại ánh xạ:
* Đơn ánh:
ánh xạ: : f: X

Y
x
a
y = f(x)
ánh xạ f là đơn ánh


1 2 1 2
, :x x X x x
thì f(x
1
)

f(x
2
)
Hoặc




phơng trình f(x) = y luôn có nghiệm với mỗi y

Y cho trớc.
Ví dụ: f: R

R
x
a
y = f(x) = 2x
Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế
3
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
Là một toàn ánh vì phơng trình 2x = y luôn có nghiệm x =
2
y
với y xác
định.
* Song ánh: ánh xạ: f: X

Y
x
a
y = f(x)
ánh xạ f là song ánh

f là đơn ánh và f là toàn ánh.
2/ Hàm số:
a.Theo quan điểm hiện đại, đinh nghĩa hàm số dựa trên các khái niệm
tập hợp và ánh xạ: Hàm số là một ánh xạ từ tập hợp số X đến tập hợp số Y.


Y.
+ Biến thiên: x và y là các đại lợng nhận giá trị biến đổi.
+ Phụ thuộc: x là đại lợng biến thiên độc lập còn y là đại lợng biến thiên
phụ thuộc.
b. Đồ thị hàm số: (Dựa trên khái niệm tập hợp)
- Đồ thị của hàm số y= f(x) là tập hợp các điểm của mặt phẳng toạ độ
có toạ độ (x; f(x)) với x

X
- Chú ý:
Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế
4
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
+ Mỗi hàm số có một đồ thị xác định duy nhất và ngợc lại
+ Điểm M(x
M
;y
M
)

đồ thị hàm số y = f(x)

y
M
= f(x
M
)
c. Cách cách cho một hàm số:
Với định nghĩa hàm số, đồ thị hàm số ta thấy một hàm số có thể cho bởi các

2. Hàm số bậc hai:
a. Định nghĩa: Hàm số bậc hai là hàm số đợc cho bởi công thức
y = ax
2
+ bx + c với a, b, c là các hằng số (a

0, x
Ă
)
b. Tính chất:
- Tập xác đinh R
- Tính biến thiên:
Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế
5
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
+ a > 0 Hàm số đồng biến trong (
2
b
a

;
+
) và nghịch biến trong (

;
2
b
a

)


) nhận đờng thẳng x =
2
b
a

là trực đối xứng.
Chơng II: Một số dạng bài tập
Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số
1/ Đinh nghĩa:
Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập các giá trị của x để biểu thức f(x)
có nghĩa.
Vì vậy :
- Nếu f(x) là đa thức thì hàm số có tập xác định x

R
- Nếu f(x) có dạng phân thức thì hàm số có tập xác định:
x

R biểu thức trong căn

0
2/ Ví dụ:
+ Ví dụ 1: Hàm số y = 5x 70 có TXĐ: R
+ Ví dụ 2: Hàm số y =
3 2
5
x
x


c. y =
2
4 2x x +
Dạng II: Tìm tập giá trị của hàm số
+ Tập giá trị của hàm số : f: X

Y
x
a
y = f(x)
là tập giá trị y

Y sao cho phơng trình f(x) = y có nghiệm x

X
1/ Cách giải:
+ Cách 1: có thể dựa vào tính chất thứ tự trong Q để đánh giá các giá trị
của y.
+ Cách 2: Tìm điều kiện để phơng trình f(x) = y có nghiệm trong tập
xác định.
2/ Ví dụ:
+ Ví dụ 1: Tìm miền giá trị của hàm số y = 2x 5 với x
[ ]
1;1
Giải
Ta có x
1 2 2 2 5 7 7x x y
1 2 2 2 5 3 3x x x y
Vậy miền giá trị của hàm số y = 2x 5 với x
[ ]

[ ]
2;3
ta có y(2)

y(3)


3 6y
Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế
7
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
Vậy miền giá trị của hàm số y = x
2
2x + 3 với x
[ ]
2;3
là
[ ]
3;6
+ Ví dụ 4: Tìm miền giá trị của hàm số y = x
2
4
Giải
- TXĐ của hàm số là R
- Xét phơng trình x
2
- 4
x
+ 3 = y


6
2
x x
x x
+ +
+ +
(1)
Giải
Hàm số có tập xác định : R vì x
2
+ x + 2 = (x +
1
2
)
2
+
7
4



7
4
Giả sử y là một giá trị của hàm số

Phơng trình
2
2
6
2

y<
Vậy giá trị của hàm số là
23
1
7
y<
+ Với y =
23
7
ta có x =
1
2

vậy hàm số có giá trị lớn nhất là
Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế
8
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
Max y =
23
7
tại x =
1
2

+ Chú ý: ở ví dụ 2 có thể ra dới dạng; Tìm x

R để hàm số
y =
2
2


Z

y = 2
hoặc y = 3
Giải phơng trình
2
2
6
2
x x
x x
+ +
+ +
= 2

x
2
+ x - 2 = 0

x = 1; x = -2

2
2
6
2
x x
x x
+ +
+ +


D thì f(x) = g(x)


( )
( )
f x m
g x m





(2)
Nếu

x
0


D thoả mãn (2) thì x
0
là nghiệm của phơng trình (1)
Ví dụ 1: Giải phơng trình 6x x
2
2 =
1 2 2 3 4 13x x x x + + +
(1)
+ Tập xác định : R
+ ta có VT = 6x x

+ + + =




x = 3
Kết luận phơng trình (1) có nghiệm duy nhất x = 3
Ví dụ 2:
Giải phơng trình 16x
4
+ 72x
3
81x
2
+ 28 = 16(x -
2x
) = 0 (3)
Ta có VT = 16x
4
+ 72x
3
81x
2
+ 28 16
2
2
7 9
28
4 4
x x

ữ
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi t =
1 1 9
2
2 4 4
x x = + =

Vậy phơng trình (3)
28
9
28
4
VT
x
VP
=

=

=

Kết luận nghiệm của phơng trình là
9
4
x =
4/ Bài tập:
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất ( nếu có) của hàm số y = x


+ = +

Tìm a để xy có gia trị lớn nhất.
Bài 4: Giải phơng trình
a.
2 2 2
3 6 7 5 10 14 4 2x x x x x x+ + + + + =
Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế
10
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
b.
2
2 4 6 11x x x x + = +
Dạng III: Xác định công thức hàm số
1/ Khi biết tính chất đồ thị hàm số
Ta đã biết giữa hàm số và đồ thị có tơng ứng 1-1 nên ta sẽ xác định đợc
công thức hàm số khi biết tính chất của đồ thị tơng ứng.
a. Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b biết đồ thị là đờng thẳng d
có tính chất:
+ Đi qua điểm A(x
1
; y
1
) và điểm B(x
2
; y
2
)
Giải


Giải hệ phơng trình ta có a, b
Kết luận công thức hàm số.
Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị là đờng thẳng d đi qua điểm
A(1; 1) và điểm B(-1; 2)
Giải
Vì A(x
1
; y
1
)

d nên ax
1
+ b = y
1
B(x
2
; y
2
)

d nên ax
2
+ b = y
2
Ta có hệ phơng trình:
1 1
2 2
ax b y

+ =




+ =


=


Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế
11
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
Kết luận hàm số cần tìm là y = -
1 3
2 2x
+
b. Đồ thị đi qua điểm A(x
1
; y
1
) và song song với đờng thẳng d có
phơng trình y = a
1
x + b
1
(a

0)

Giải
Vì A(1;
1
2
)

d nên a + b =
1
2
Vì d song song với d nên a = 2 => b = -
3
2
Kết luận hàm số cần tìm là y = 2x -
3
2
c. Đồ thị hàm số đi qua điểm A(x
1
; y
1
) và vuông góc với đờng thẳng d
có phơng trình y = a
1
x + b
1
(a

0)
Giải
Vì A(x
1

1 1
y x
a a

+ +
Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị đi qua điểm A(1; 1) và vuông
góc với đờng thẳng d có phơng trình y = -
1
2
x +
3
2
Giải
Vì A(1; 1)

d nên a + b = 1
Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế
12
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
Vì d vuông góc với d nên aa
1
= -1

a = 2

b = -1
Kết luận hàm số cần tìm là y = 2x 1
d. Đồ thị qua điểm A(x
1
; y

số.
Ví dụ: xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị là đờng thẳng d đi qua điểm
A(1;2)

d nên a + b = 2 (1)
Vì d tiếp xúc với Para bol (P): y=x
2
+1 nên phơng trình hoành độ giao
điểm : ax+b=x
2
+1 có nghiệm kép
<=> x
2
-ax+1-b=0 có nghiệm kép
<=>

=(b-a)
2
4a(c-b)=0 (2)
Ta có hệ phơng trình:
2 2 2
2 2 2
0
2
4 4 4( 2) 4 ( 2) 0
a b b a b a
b
a
a b a a a
+ = = + = +

1
)

(P) nên ax
1
2
+ bx
1
+ c = y
1
(1)
Vì B(x
2
,y
2
)

(P) nên ax
2
2
+ bx
2
+ c = y
2
(2)
Vì C(x
3
,y
3
)

6 3 1
9 3 6 9 3 3 2
c c c
a b c a b a
a b c a b b
= = =


+ = = =


+ + = + = =

Vậy công thức hàm số cần tìm là: y = x
2
2x + 3
b. (P) có mặt phẳng toạ độ đỉnh D(x
0
, y
0
) và đi qua điểm A(x
1
, y
1
)
Lời giải
Vì A(x
1
, y
1

a a

= =
(3)
Giải hệ gồm 3 phơng trình (1), (2), (3) ta tìm đợc a, b, c
Kết luận công thức hàm số.
Ví dụ: xác định hàm số bậc hai y = ax
2
+ bx + c có đồ thị là Parabol (P) đi
qua điểm A(-1;2) và có đỉnh là D(1; 2).
Lời giải:
Vì A(1; 2)

(P) nên a+ b+ c = 2 (1)
Vì (P) có toạ độ đỉnh D(1;-2) nên
1
2
b
a

=
(2);
2
4
2 2
4 4
b ac
a a

= =


= + = =


=
=




=


Vậy hàm số cần tìm có công thức y = x
2
2x 1
c. (P) có toạ độ đỉnh D(x
0
, y
0
)
và tiếp xúc với đờng thẳng d: y = ax+b
Lời giải:
Vì (P) có toạ độ dỉnh D(x
0,
y
0
) nên phơng trình hoành độ :
ax
2

(2)
Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế
14
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
Vì (P) tiếp xúc với đờng thẳng d: y = 2x 2 nên phơng trình hoành độ
ax
2
+ bx+c = 2x-2 có nghiệm kép.

ax
2
+ (b-2)x+c+2 = 0 có nghiệm kép.


= (b-2)2 4ac(c+2) = 0 (3)
Ta có hệ phơng trình
2
2
2 2
2
( 2) 4 ( 2) 0
4 8 4 4 0 2 0 1
1 2 0 12 4 0 2
2
2
4 4 0 4 4 0
4
1
4
b ac c



Vậy hàm số cần tìm có công thức y = x
2
2x + 2.
III.1.3 Bài tập:
Bài 1: Cho đờng thẳng d có phơng trình y = 2x 1
a/ Viết phơng trình đờng thẳng song song với d và đi qua gốc toạ độ.
b/ Viết phơng trình đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng d và đi qua
điểm N(-1;5).
Bài 2: xác định a, b, c để Parabol (P): y = ax
2
+ bx + c đi qua O(0; 0) và có
đỉnh là D(1; -1)
Bài 3: cho Parabol (P): y = ax
2
+ bx 1 (
1
2
a
)
a/ Xác định a, b để đỉnh Parabol (P)
nằm trên đờng thẳng d: y = 2x +1
b/ Với a, b vừa tìm đợc vẽ Parabol (P) và đờng thẳng d trên cùng một
mặt phẳng toạ độ.
III.2 Xác định công thức hàm số khi biết phơng trình hàm:
Ví dụ1: Tìm f(x) của hàm số biết f(1+
1
2
) = x


=

Vì tơng ứnghàm số không phụ thuộc vào ký hiệu nên coi f(x) =
2
(2 )
( 1)
x x
x


+ Với x = 0 thay vào công thức vừa tìm đợc ta có f(0) = 0
Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế
15
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
Vậy hàm số cần tìm là f(x) =
2
(2 )
( 1)
x x
x


Ví dụ 2: Tìm biểu thức f(x) của hàm số biết
2
1
( ) 2 ( )f X f x
x
+ =
với x

1
1
( ) 2 ( )
( ) 2
2
( )
3
1 1
1 2
( ) 2 ( )
4 ( ) 2
f x f x
f x f x
x
x
x
f x
x
f f x
f x f
x x
x x



+ =
+ =
ữ



2
2
1 ( 1)
x x
f
x x

=
ữ và f(1) = 0
b/
2
4 8
1 3 4 1
x x
f
x x x


=
ữ
+

với x

1 và f(1) = 0
c/
2



b/
2 2
(3 1) (6 1) 3
( 1) (2 3) 2
f x g x x
f x x g x x x
+ =


+ + + = +

Dạng IV: Đồ Thị Hàm số
1/ Nhắc lại về đồ thị hàm số:
a/ Định nghĩa: Đồ thị Hàm số y = f(x) là tập hợp các điểm trên mặt
phẳng toạ độ có toạ độ (x; f(x)) với x

TXĐ
Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế
16
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
b/ Đồ Thị Hàm số bậc nhất y = ax + b (a

0) là một đờng thẳng.
Cách vẽ:
- Lấy 2 điểm có toạ độ thoả mãn công thức hàm số.
Chẳng hạn A(0, b) và B(-
b
a

0
Đồ thị hàm số thuộc hai tia phân giác
của các góc vuông I và II (hình 1d) 0 x
hình 1d
e/ Đồ thị hàm phần nguyên: y =
[ ]
x
trong đó
[ ]
x
là kí hiệu số nguyên lớn
nhất không vợt quá x
+ Đồ thị hàm số y =
[ ]
x
với
1 3x <
có dạng bậc thang nh (hình 1e)
-1 với
1 0x <
y = 0 với
0 1x <
3
1 với
1 2x <
2
2 với
2 3x <
1
-1

Có giá trị nhỏ nhất là y = -1 khi x = 2
+ Bảng giá trị: x 0 1 2 3 4
y 3 0 -1 0 3

3
2

1 1 2 3 4
Nhận xét: Đồ Thị Hàm số là Parabol (P) có đỉnh D(2; -1) đối xứng qua
đờng thẳng x = 2, bề lõm quay lên trên.
Ví dụ2 : Vẽ đồ thị hàm số: y = 2x -
x
+ Ta khử dấu giá trị tuyệt đối bằng cách xét các khoảng giá trị của biến
x với x

0
y = 2x-
x
=
3 x với x < 0
+ Bảng giá trị; x 0 1 -1
y 3 1 -3
Ví dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số y=
2
x 2 x 2 + +
Ta có y=
2
2
x 2x 2với x 0
-x 2x 2với x<0

0
-1
Nhận xét : đồ thị hàm số y = -x
2
+ 2
x
+ 2 nhận trục tung làm trục đối
xứng.
3/ ứng dụng : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
Nhận xét: Điểm thấp nhất( cao nhất) trên đồ thị là điểm có tung độ nhỏ
nhất (lớn nhất), tại đó hàm số nhận giá trị nhỏ nhất ( lớn nhất)Vì vậy khi tìm
giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất) của hàm số ta có thể vẽ đồ thị của hàm số rôi tìm
điểm cao nhất( thấp nhất của đồ thị .
Ví dụ1: Tìm giá trị nhỏ nhất cua hàm số y =
1 2x x +
Giải
2x 3 (x>2)
Ta có y = 1 (1

x

2)
-2x + 3 (x<1)
Đồ thị hàm số gồm các phần đờng thẳng y = 2x 3 (x>2);
y = 2x + 3 (x<1) và đoạn y = 1 (1

x

2)
Nên đồ thị hàm số là hai nhánh Parabol y = -x

+ 2x+ 1 với (x < 1)

Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế
19
x
y
-1 0 1 3/2 2
-1
-2
-9/4
-4
-5
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là Max y = 0 khi x= 1
4/ Bài tập
Bài 1: Cho hàm số y =
2 2
4 4 4 4 1x x x x ax + + + + +

a.Xác định a để hàm số luôn đồng biến
b. Xác định a để đồ thị hàm số đi qua điểm B(1;6). Vẽ đồ thị của
hàm số với a vừa tìm đợc.
Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y =
2 2 2
4 4 6 9 3 2 1x x x x x x + + + + + +

Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ xOy vẽ tập hợp các điểm M(x; y) mà toạ độ
(x; y thoả mãn
1 2 1x y + =
.

= f(x
M
) và y
M
= g(x
M
).
(x
M
; y
M
) là nghiệm của hệ phơng trình
( )
( )
y f x
y g x
=


=


Vậy ví trí tơng đối giữa đppf thị hàm số y = f(x) và y = g(x) phụ thuộc
vào số nghiệm của phơng trình
( )
( )
y f x
y g x
=


Phơng trình (3) có nghiệm kép
Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế
20
(1)
(2)
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
Hai đồ thị không cắt nhau

phơng trình (3) vô nghiệm.
Để biện luận vị trí tơng đối giữa các đồ thị ta biện luận số nghiệm của
phơng trình (3).
Để xác định toạ độ điểm chung giữa các đồ thị ta giải phơng trình (3)
tìm hoành độ x = x
0
, dựa vào phơng trình (1) hoặc (2) để xác định
tung độ tơng ứng y = y
0
.
Kết luận chung:
b. Chú ý: Vị trí tơng đối giữa hai đờng thẳng (d): y = ax + b và d
1
:
y=(2m-3)x+2 (a.a
1


0)
+ d song song với d
1



2/ Ví dụ:
Ví dụ 1: cho đờng thẳng d: y = m(x + 2) và d: y = (2m-3)x + 2
a. Biện luận theo m vị trí tơng dối của hai đờng thẳng
Giải
+ d//d
1

2 3 3
3
2 2 1
m m m
m
m m
= =

=
+ d cắt d
1


m

2m-3

m





= + =

Vậy với m=1 hai đờng thẳng vuông góc với nhau tại A(0; 2)
+ Với m=
1
2
ta có d: y =
1
1
2
x +
và d
1
: y=-2x+2 vuông góc với nhau.
Toạ độ điểm chung của d và d
1
là nghiệm của hệ
6
1
1
5
2
2
2 2
5
y
y x

2
-
4x+m (P) và y= 2x+1 (d). Trong trờng hợp tiếp xúc, tìm toạ độ điểm tiếp
xúc.
Giải
Toạ độ điểm chung của (P) và (d) là nghiệm của hệ
2
4
2 1
y x x m
y x

= +

= +

Phơng trình toạ độ x
2
4x+m = 2x+1

x
2
-6x+m-1 = 0 (3)
+ (P) cắt (d) tai hai điểm phận biệt

phơng trình (3) có hai nghiệm phận
biệt


= 9-m+1 > 0

+ Toạ độ điểm chung (nếu có) của các đồ thị hàm số là nghiệm của hệ :
y = x
2
4x 8 (1)
y = mx
2
+ (m+2)x + 8 (2)
+ Phơng trình hoành độ x
2
4x 8 = mx
2
+ (m+2)x + 8

(m-1)x
2
+(m+6)x+16=0 (3)
+ (P) và (P) có không quá một điểm chung

phơng trình (3) có không
qua một nghiệm.
- Xét m = 1, phơng trình (3) có dạng 7x+16 = 0

x=-
16
7
là nghiệm
duy nhất.
Vậy với m=1 (P) và (P) cắt nhau tại một điểm.
- Xét m


Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
3: ứng dụng:
Biện luận số nghiệm của phơng trình f(x) = g(x) (1)
Cơ sở lý thuyết:
- Giả sử phơng trình (1) có nghiệm x = x
0
khi đó giá trị tơng ứng
của các vế là f(x
0
) = g(x
0
) = y
0
.
- Nên đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) có điểm chung (x
0
; y
0
).
Do đó nếu các đồ thị y = f(x) và y = g(x) trên cùng một mặt phẳngtoạ độ
thì số điểm chung của chúng đúng bằng số nghiệm của phơng trình (1).
Cách giải bài toán:
- Biện luận số nghiệm của phơng trình f(x) = g(x) (1) bằng phơng pháp
đồ thị.
- Vẽ đồ thị hai hàm số y = f(x) (C) và y = g(x) (C) trên cùng mặt
phẳng toạ độ.
- Biện luận số nghiệm chung của â và (C) => số nghiệm của phơng
trình.
Ví dụ:
Ví dụ 1 : Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình


Xét hai hàm sốy =
2
2
2
2
2
a
x a x
x a
a
x a x
ữ


=



+
ữ



và y =
2( 3)
3 1

chung duy nhất
4
8
2
4
2
2
a
a
a b

=

=




=


=



Ví dụ 3:
Tìm tất cả giá trị thực của k để phơng trình : (x-1)
2
= 2
x k

=

x-k =
2
( 1)
2
x

-x
2
+ 4 1 = 2k (1)

x
2
1 = 2k (2)
Ta sẽ sử dụng phơng pháp tơng giao đồ thị để giải phơng trình
a. Ta xét hai hàm số y= -x
2
+ 4x 1 và y = 2k
Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một toạ độ
* y= -x
2
+ 4x 1 là Parabol (P
1
) có giao với trục tung là (0; - 1) nhận
S(2;3) là đỉnh.
* y = 2k là đờng thẳng (d) song song với Ox.
b. Xét hàm số y = x
2
+ 1 và y = 2k

< <






4/ Bài tập:
Bài 1: Chứng minh rằng đồ thị các hàm số sau tiếp xúc với nhau. Tìm toạ độ
tiếp điểm.
a. (P): y = x
2
và (D): y = 4x 4
b. (C): y = x
2
2x 3 và (C) y = 2x
2
+ 2x + 1
Bài 2: Chứng minh (P) : y = mx
2
2mx + (m 1) tiếp xúc với mọi đờng
thẳng cố đinh với mọi m

0.
Hớng dẫn: Các đờng thẳng x = a luôn cắt (P) tại một điểm với mọi a.
Nên đờng thẳng (D) tiếp xúc với (P) nếu có sẽ có dạng y=ax+b
Vậy đờng thẳng (D) tiếp xúc với (P) với mọi m

=

=
=


Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế
25
x
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
Vậy đờng thẳng y = -1 luôn tiếp xúc với (P): y = mx
2
2mx+ (m-1)
0m
.
Bài 3: Cho Parabol (P) y = x
2
+ 5x 5. Gọi (d) là đờng thẳng đi qua A(3;2)
và hệ số góc m.
a. Chứng minh đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt B và
C.
b. Xác đinh m để BC có độ dài ngắn nhất.
Chú ý: + Nếu B(x
b
; y
b
); C(x

)

đồ thị hàm số y = f(x)

y
0
= f(x
0
)
+ Hàm ssố y = f(x) (có phụ thuộc vào tham số m) luôn đi qua điểm
M(x
0
; y
0
)

y
0
= f(x
0
) với mọi m.
+ Phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 có nhiều hơn hai nghiệm
0
0
0
a
b
c

; y
0
+ (Thử lại) kết luận điểm cố định.
2/ Ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm điểm cố định mà đờng thẳng (d): y=(2m+1)x-3m+2 đi qua
với mọi m.
Giải
Giả sử M(x
0
; y
0
) là điểm cố định mà đờng thẳng (d) đi qua với
m
.

y
0
= (2m+1)x
0
-3m+2 đúng với
m

2mx
0
3m + x
0
y
0
+ 2 = 0 đúng với
m