http://ebook.here.vn – Thư viện sách miễn phí
Biên soạn: GV – Phan Phú Quốc – Tổ vật lý – Trường THPT Phan Châu Trinh- Phone: 0906306896
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ.
Bài 1/ Cho hàm số
1
2
12
−
+−=
x
m
xy .
a.

Tìm m ñể hàm số có cực ñại, cực tiểu ;
b.

. Tìm quỹ tích các ñiểm cực ñại.
HDGiải:
a/ Hàm số có cực trị khi m > 0 .
b/ Ta có:
D
2
1 1 2 1 2 1 2(1 ) 4 3
C CD CD CD CD CD
m
x m y x x x x
m
= − < ⇒ = − + = − − − = −
−
. Vậy quĩ tích các

1
x x
mx m x m x
x
− − −
= − ⇔ + + =
 
 
+
có một nghiệm x = 0 nên ñể hai
giao ñiểm ở cùng một nhánh thì:
/( 1) 1 1/( 1) 0 1
m m m m
− + > − ⇔ + > ⇒ > −
.
b/ Ta có:
2 2
/ 2( 1) 1/ 2 /(2 1) 1 /(2 1) 1 ( 2 1)/(2 1)
I I I I I I I I I I
x m m m x x y mx x x x x x
= − + > − ⇒ = − + ⇒ = − = − + − = − + + +
.
Vậy quỹ tích trung ñiểm I của MN là nhánh bên phải của ñths
2
2 1
2 1
x x
y
x
− − −

1
I
x
=
. Do pt của ñt ñi qua hai ñiểm cực trị là
2
2 2
2
( 3) 2
3 3
I
m
y m x m y m m
= − + + ⇒ = + −
. ðể các ñiểm cực trị của ñths ñx nhau qua (D) thì:
2
2
1 2
. ( 3) 1
0
0
2 3
0; 1
2 1.1/ 2 5/ 2
m
m
m
m
m m


( - 7m – 21 )( 9 – 7m ) < 0
3 9 /7
m
⇒ − < <
.

Bài

5/
Cho hàm số xxy 3
3
−= (1)
http://ebook.here.vn – Thư viện sách miễn phí
Biên soạn: GV – Phan Phú Quốc – Tổ vật lý – Trường THPT Phan Châu Trinh- Phone: 0906306896
a) Chứng minh rằng khi m thay ñổi, ñường thẳng (D):
(
)
21 ++= xmy
luôn cắt ñồ thị (1) tại một
ñiểm A cố ñịnh.
b) Tìm m ñể ñường thẳng ñó cắt (1) tại 3 ñiểm A, B, C khác nhau sao cho tiếp tuyến tại B và C vuông
góc với nhau.
HDGiải:
a/ Xét pt:
3 2
3 ( 1) 2 ( 1)( 2 ) 0
x x m x x x x m
− = + + ⇔ + − − − =
. Như vậy khi m thay ñổi thì
(D) luôn cắt ñths(1) tại ñiểm A( - 1; 2 ) cố ñịnh.

(thỏa mãn ñk). ðó chính là những gt của m cần tìm.
Bài 6/
Cho hàm số
x
xx
y
23
2
+−
= (C) tìm trên ñường thẳng x =1. Những ñiểm M sao cho từ M kẻ
ñược hai tiếp tuyến tới (C) mà hai tiếp tuyến ñó vuông góc với nhau.
HDGiải:
Giả sử M(1;b) và pt của ñt (D) ñi qua M là: y = k(x – 1) + b. ðể (D) là tiếp tuyến của (C) thì
pt sau phải có nghiệm kép:
2
2
3 2
( 1) ( 1) ( 3 ) 2 0
x x
k x b k x b k x
x
− +
= − + ⇔ − + + − − =
( vì pt không có
nghiệm với x = 0 )
( )
2
2 2
1& 3 8( 1) 2( 1) ( 3) 8 0(*). 1 2
k k b k k b k b k b

Bài 8/
Cho hàm số:
m
x
mxx
y
−
−+
=
8
2

a. Tìm m ñể hàm số có cực trị. Khi ñó hãy viết phương trình ñường thẳng ñi qua ñiểm cực ñại,
cực tiểu.
b. Xác ñịnh m ñể ñồ thị cắt trục hoành tại hai ñiểm phân biệt và tiếp tuyến tại hai ñiểm ñó
vuông góc với nhau.
HDGiải:
a/ Ta có:
2 2 2
' ( 2 8) /( )
y x mx m x m
= − − + − . ðể hs có cực trị thì pt y’ = 0 phải có hai nghiệm
phân biệt khác m
x

, ; 2 , 2
CD CT CD CD CT CT
x x y x m y x m
= + = +
. Vậy pt của ñt ñi qua ñiểm Cð và ñiểm CT là y = 2x + m.
b/ Với
2
m
≠ ±
thì ñths luôn cắt trục hoành tại hai ñiểm phân biệt ( vì ac = - 8 < 0 ). Gọi hoành ñộ của
hai giao ñiểm này là
1 2 1 2 1 2
, ; 8
x x x x m x x
⇒ + = − = −
. ðể tt với ñths tại hai giao ñiểm vuông góc với
nhau thì:
2 2 2 2 2 2 2
1 2
2 2 2 2 2 2 2
1 2
8 2 8 2 (8 2 )(5 16) (8 2 ) 5 16
'( ) '( ) 1 1 1 2 1 2 10
( ) ( ) (2 8) (2 8) 2 8
m m m m m m
y x y x m
x m x m m m m
   
− − − + − +
= + + = + + = − = − ⇒ = ±

f x x a x a
= − + + =
khi x = 1 và x = a nên ñể pt
f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt thì:
2
. ( 2) ( 1)(3 5) 0 ( ; 1) (5/ 3;2) (2; )
CD CT
f f a a a a
= − − + − < ⇒ ∈ −∞ − ∪ ∪ +∞
.
Bài10/
Cho hàm số:
1
1
−
+
=
x
x
y
a/ Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của ñths ñều tạo với hai ñường tiệm cận một ñoạn thẳng mà tiếp
ñiểm là trung
ñiểm của nó.
b/ Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của ñồ thị ñều lập với hai ñường tiệm cận một tam giác có diện
tích không ñổi.
c/ Tìm tất cả các ñiểm thuộc ñồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến tại ñó lập với hai ñường tiệm cận một
tam giác có chu vi nhỏ nhất.
HDGiải:
a/Do
2

. Tt này
cắt các tiệm cận
x = 1 và y = 1 tại các ñiểm:
(1;( 3)/( 1)), (2 1;1)
A a a B a
+ − −
suy ra M là trung ñiểm của AB ( vì tọa ñộ
trung ñiểm của AB bằng tọa ñộ của M ).
b/ Gọi I là giao của hai tiệm cận. Ta có
( 3)/( 1) 1 4 / 1 ; (2 1) 1 2 1
IA a a a IB a a
= + − − = − = − − = −

. / 2 4
IAB
S IA IB
⇒ = =
không ñổi ( ñpcm )
c/ Ta có chu vi tam giác IAB:
2 2
2 . 2 . 2 8 16 4( 2 1)
IAB
C IA IA IA IB IA IB IA IB
= + + + ≥ + = + = +
. Vậy chu vi tam giác IAB có
giá trị nhỏ nhất bằng
4( 2 1)
+
khi IA = IB tức
2

)
( ; 2 1/( 2)),( 2) ( ;( )) 4( 2) 1/( 2) / 10 4( 2) 1/ 2 / 10
M a a a a d M D a a a a
+ + + ≠ − ⇒ = + + + = + + + ≥

4 / 10 2 10 / 5
= . Vậy GTNN của k/c từ M tới (D) bằng
2 10 /5
khi
4 2 1/ 2 1,5; 2,5
a a a
+ = + ⇒ = − −
ứng với hai ñiểm
1 2
( 1,5;2,5), ( 2,5; 2,5)
M M− − − .

Bài 12/
Cho hàm số:
1
33
2
+
++
=
x
xx
y (C).
Tìm hai ñiểm A, B trên hai nhánh khác nhau của (C) sao cho ñộ dài ñoạn AB ngắn nhất.
HDGiải:

3
y x x
= − +
(C) và hai ñiểm A(0;1), B(3;7) trên (C). Tìm M thuộc cung
AB của (C) sao cho diện tích ∆MAB lớn nhất.
HDGiải:

-Cách 1:
pt ñt AB là: 2x – y + 1 = 0 . Gọi
3 3
( ;1 /3) ( ; ) (9 ) /3 5 ( )/ 3 5(0 3)
M x x x d M AB x x f x x
− + ⇒ = − = ≤ ≤

Ta có
2
'( ) 9 3 0 3(0 3)
f x x x x
= − = ⇒ = ≤ ≤
nên BBT
của hs như bên.
Do ñó:
1
3 5.2 3/ 5 3 3
2
MAB
MaxS = = ứng với
( 3;1)
M .


3
f’(x)

+ 0 -f(x)

2 3/ 50 0