Tr ờng THCS Trực Bình
Đặt vấn đề
Khi dạy toán học ở bậc trung học cơ sở, tôi nhận thấy khái
niệm cực trị nói chung và bài toán cực trị hình học nói riêng, không
đợc xây dựng thành một hệ thống lý thuyết hoàn chỉnh mà chỉ hình
thành từng bớc cho học sinh qua một số bài tập trong sách giáo
khoa. Nhng các bài toán cực trị lại là một vấn đề thờng gặp trong
các kỳ thi, các đợt kiểm tra hàng năm. Do đó việc hình thành khái
niệm cực trị một cách hệ thống cho học sinh và việc giải quyết các
baì toán này của học sinh còn gặp nhiều trở ngại. Xuất phát từ
những kinh nghiệm có đợc của bản thân qua thực tế giảng dạy, từ
những kiến thức mà tôi đã lĩnh hội, từ sự tìm hiểu thêm các tài liệu
tham khảo. Tôi tự phân loại đợc một số dạng toán về cực trị hình
học
Qua bài viết, tôi mong rằng bản thân mình sẽ tìm hiểu sâu
hơn về vấn đề này, tôi đã tìm một số dạng toán về cực trị hình học,
nêu lên một số phơng pháp giải cho từng dạng bài tập. Từ đó giúp
học sinh có thể dễ dàng hơn trong việc nắm các kiến thức về dạng
toán này. Tôi hy vọng có thể giúp học sinh phát triển t duy sáng
tạo, khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát hoá qua các bài tập
góp phần nhỏ nâng cao hiệu quả giờ học của học sinh.
Yêu cầu chung
Đối với giáo viên:
- Xây dựng đợc cơ sở lý thuyết để giải bài toán cực trị.
- Tuyển chọn, phân loại đợc các dạng bài tập cơ bản và nêu
lên các phơng pháp chính giải từng loại về bài toán cực trị hình
học.
- Dự đoán đợc các sai sót của học sinh, nêu đợc những điểm
cần chú ý khi giải các bài toán về cực trị hình học.
Đối với học sinh:
- Hiểu đợc bản chất của khái niệm cực trị hình học và nắm đ-

2
hoặc giá trị nhỏ nhất f
1
tức là chỉ rõ các
vị trí hình học để cho dấu đẳng thức xảy ra.
Đôi khi bài toán chỉ yêu cầu tìm ra 1 trong hai giá trị trên.
B. Một số dạng toán cực trị th ờng gặp và ph ơng pháp giải:
I/ Các bài toán cực trị về độ dài các đoạn thẳng, quy về độ dài
các đoạn thẳng
1/ Các bất đẳng thức hình học cần thiết:

A) Quan hệ giữa đờng xiên và hình
chiếu:

M A

MA d ; A

d ; B

d; thì
* MA

MB dấu = xảy ra


A

B
* AB


BC dấu = xảy ra


A

Đoạn BC (bất đẳng tức tam giác)
*Mở rộng: Với n điểm A
1
,A
2
, , A
12
bất kỳ ta có:
A
1
A
2
+ A
2
A
3
+ + A
11
A
12


A
1

Phơng pháp này cho phép ta đa về việc xét các bài toán cực trị đại số.
Song đặc biệt phải chú ý đến phơng pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi và
bất đẳng thức Bunhia-copski
2/ Các bài toán ví dụ:
Ví dụ1: (một câu toán 9 trong bài thi 8 tuần HK II năm học 06-07)

Cho nửa đờng tròn (O;R) đờng kính AB cố định . Qua Avà B vẽ các
tiếp tuyến Ax và By với nửa đờng tròn(Ax và By cùng thuộc nửa mặt
phẳng có bờ AB chứa nửa đờng tròn). Từ một điểm M tuỳ ý trên nửa đ-
ờng tròn ( Mkhác A và B) vẽ tiếp tuyến thứ ba với nửa đờng tròn cắt
tiếp tuyến tại A và B theo thứ tự tơng ứng là H và K .
Xác định vị trí của điểm M trên nửa đờng tròn sao cho tứ giác
AHKB có chu vi nhỏ nhất
3
Tr êng THCS Trùc B×nh
4
3
2
1
O
A
x
y
B
H
K
M
N
Gi¶i
C¸ch 1: cã AH= HM ( theo t\ c 2 tiÕp tuyÕn c¾t nhau)

1 2 3 4
1 4 3 2
2 3
0
1 2 3 4
; ; ;
90
180
o
O O O O AH HM BK HK
O O O O
O O
O O O O
⇒ = = = =

⇒ + = +

⇒ + =

+ + + =


hay
·
0
HOK 90
=
∆
HOK vu«ng t¹i O ,cã OM lµ ®êng cao =>
HM.MK=OM

ằ
AB
Ví dụ 2:
Cho

ABC (Â = 1v)
AH

BC điểm M
chuyển động trên BC
vẽ MD

AB; ME

AC
Xác định M để DE
nhỏ nhất D
A
C
B
H
M
E
Giải: Ta có
ả
à
à

2
lần lợt đối xứng với A
qua ox; oy => A
1
,A
2
cố định

AB + BC +CA = A
1
B +BC +CA
2


A
1
A
2
Dấu = xảy ra

B, C


[ ]
21
AA
Vậy nếu B và C lần lợt là giao
điểm của A
1
A

vuông góc của điểm O trên MN , A

MN
nên OI

OA = const
MN max

OI min

O

I
vậy để MN có độ dài lớn nhất
thì MN là đờng kính đi qua A
MN min

OI max

OI = OA

I

A
Vậy để MN nhỏ nhất thì dây MN phải vuông
góc với OA tại A
O
M
N
I

O
x
A
B
C
6
Tr ờng THCS Trực Bình
áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dơng a,b ta có:
a+b

2
constRab ==
2
82
Dấu = xảy ra

a = b

2BM = BC

M là trung điểm B


ABC vuông cân tại đỉnh A


M là điểm chính giữa cung AB
Vậy khi M à trung điểm của cung AB thì 2BM +BC đạt giá trị nhỏ
nhất.
Ví dụ 6:

Dấu = xảy ra

I

O hay AI đi qua O
Vậy AB + AC lớn nhất khi (d) đi qua O
b, AB + AC nhỏ nhất.
Vẽ các tiếp tuyến AT, AT

với (0). Điểm A và (O) cố định suy ra AT
và AT

không đổi.
Do AB; AC > 0
Ta có: AB + AC

2
ACAB.
(bất đẳng thức côsi)
7
Tr ờng THCS Trực Bình
Mà AB . AC = AT
2
= const (

ATB

ACT)
Nên AB + AC


nhỏ nhất

45

A
D
B
C
M
F
E
Giải:
Cách 1: Xét

MAE và

MDE có chung đáy ME và đờng cao tơng
ứng với ,đáy chung ME bằng nhau (đều là AE)
=> S

MAE = S

DME
Tơng tự

S

CMF = S

DMF


S

EFB lớn nhất (vì S

ABC không đổi)
ta lại có: S

EFB =
BFEB.
2
1
Theo bất đẳng thức côsi ta có:

.
2 2
BE BF AB
BE BF
+
=
= const (vì BF = AE do có
AEM
vuông
cân)
BE .BF
const
ABBFBE
==
+



EBF + S

ADE + S

DCF
= (x+y)
2
-
2
1
( x+y). y + xy + (x+y).x
= (x+y)
2
-
2
1
( x+y)
2
-
2
1
xy
=
2
1
(x+y)
2
- xy
Vì (x+y)

O
B
C
A
H
A`
Giải:
9
Tr ờng THCS Trực Bình
Gọi A

là điểm chính giữa cung BC lớn hạ AH BC tại H ta có:
S

ABC =
BCAH.
2
1

BC cố định, AH thay đổi nên S

ABC max

AH max
Ta đã đa đợc bài toán tìm diện tích
(lớn nhất về bài toán tìm độ dài đoạn thẳng lớn nhất)
Ta có: AH

AM (quan hệ đờng xiên và đờng vuông góc)
AM


ADE
Giải:
Đặt AD= x > 0
AE = y > 0
Chu vi

ADE = AD + DE +EA
= AD + DM + ME + EA
= AD + DB +EC +EA
= AB + AC = 2AB = 2R
O
B
A
C
D
E
M
2R = x+y +
xyxyxyyx )22(22
22
+=++
Nên
)22()12(2
)12(2
2
22
2
==
+

về bài toán cực trị diện tích hoặc cực trị về độ dài đoạn thẳng tơng
ứng. Cũng có thể chỉ ra một số vị trí của hình để tại đó thể tích đang xét
đạt giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) và chứng minh điều đó.
III/ Một số cách sáng tạo bài toán cực trị:
- Từ kết quả của một số bài toán, đặc biệt là các bài toán cực trị ta
có thể sáng tạo các bài toán cực trị mới bằng cách dựa vào các định lý,
các tính chất của hình học hoặc các hình cụ thể .
Các ví dụ:
1/ Từ bài tâp của ví dụ 1 ta có thể phát biểu các bài tập mới nh sau:
Bài tập 1 Cho nửa đờng tròn (O;R) đờng kính AB cố định . Qua
Avà B vẽ các tiếp tuyến Ax và By với nửa đờng tròn(Ax và By cùng
thuộc nửa mặt phẳng có bờ AB chứa nửa đờng tròn). Từ một điểm M
tuỳ ý trên nửa đờng tròn ( Mkhác A và B)vẽ tiếp tuyến thứ ba với nửa đ-
ờng tròn cắt tiếp tuyến tại A và B theo thứ tự tơng ứng là H và K .
Xác định vị trí của điểm M trên nửa đờng tròn sao cho tứ giác
AHKB có diện tích nhỏ nhất ( hoặc tổng AH+BK nhỏ nhất)
2/ Từ bài tâp của ví dụ 8 ta có thể phát biểu các bài tập mới nh sau:
Bài tập 8.1 Cho (O;R) dây BC cố định( BC<2R) , AD

BC là dây
chuyển động trên (O;R sao cho AD

BC. Tìm vị trí A để S
ABDC
là lớn
nhất
Bài tập 8.2 Cho (O;R) dây BC cố định (BC<2R) ,AD

BC là dây
chuyển động trên (O;R). Tìm vị trí A để S

kiến thức cần thiết. Tôi mong rằng tài liệu này sẽ góp phần nhỏ vào
việc giúp học sinh học tốt hơn về dạng toán cực trị, phát triển đợc
óc sáng tạo của các em qua từng dạng, bài cụ thể.
Mong tiếp tục nhận đợc sự phê bình góp ý của bạn bè đồng
nghiệp do trình độ có hạn chắc chắn còn có thiếu sót hạn chế

Tôi xin chân thành cảm ơn !
Giáo viên Nguyễn Xuân Trờng 12
Tr êng THCS Trùc B×nh
13