Phßng gi¸o dôc b×nh giang
Kinh nghiÖm
mét sè ph¬ng ph¸p t×m cùc trÞ
M«n: To¸n
Líp : 8, 9
----------------
N¨m 2006 – 2007
Phòng giáo dục & Đào tạo Bình giang
trờng t.h.c.s Hồng khê
---------------------------
Kinh nghiệm
một số phơng pháp tìm cực trị
Môn: Toán
Lớp : 8, 9
----------------
Chủ biên : Nguyễn Văn Định
đánh giá của nhà trờng
(Nhận xét, xếp loại)
Số phách
Kinh nghiệm
một số phơng pháp tìm cực trị
Môn: Toán
Lớp: 8, 9
----------------
đánh giá của phòng giáo dục & đào tạo
(Nhận xét, xếp loại)
Tên tác giả : ..
Đơn vị :
Số phách
phần I : đặt vấn đề
I. cơ sở lý thuyết.

- Tìm hiểu sâu về các bài toán cực trị trong nội dung chơng trình toán ở
bậc trung học cơ sở.
- Xây dựng đợc cơ sở lý thuyết để giải các bài toán cực trị.
- Tuyển chọn, phân loại đợc các dạng bài tập cơ bản và nêu lên các ph-
ơng pháp chính giải từng dạng bài tập cực trị.
- Dự đoán đợc một số sai sót của học sinh có thể mắc phải và nêu đợc
những điểm cần chú ý khi giải các bài toán cực trị.
2. Đối với học sinh.
- Hiểu đợc bản chất của khái niệm cực trị và nắm đợc các bớc giải của
bài toán cực trị.
- Có kĩ năng nhận dạng đợc từng loại toán cực trị, vận dụng linh hoạt
và sáng tạo các phơng pháp giải toán cực trị vào từng bài tập cụ thể
từ đơn giản đến phức tạp.
- Thấy đợc những ứng dụng của toán cực trị trong thực tế.
Phần II : Nội dung
A. Một số dạng toán cực trị trong đại số.
I. Định nghĩa và chú ý.
1. Cho biểu thức f(x).
- Giá trị M đợc gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức f(x) nếu thoả
mãn hai điều kiện :
+ Với mọi x để f(x) xác định thì f(x) M (M là hằng số) (1)
+ Tồn tại x
0
sao cho f(x
0
) = M (2)
- Giá trị m đợc gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x) nếu thoả
mãn hai điều kiện :
+ Với mọi x để f(x) xác định thì f(x) m (m là hằng số) (1)
+ Tồn tại x

Mở rộng : [f(x)]
2n
0 , x R , n Z. Khi đó ta có
[f(x)]
2n
+ M M ; -[f (x)]
2n
+ m m. Dấu = xảy ra

f(x) = 0
2. a/ x 0 Dấu = xảy ra

x = 0
b/ x + y x + y Dấu = xảy ra

x, y cùng dấu
c/ x - y x - y Dấu = xảy ra

x, y cùng dấu vàx >y
3. a/ a
2
+ b
2
2ab , a, b. Dấu = xảy ra

a = b
b/
2
a
b

, a
2
, ..... , a
n

,
ta có :

n
a.....aa
n21
+++

n
n21
a....a.a
. Dấu = xảy ra

a
1
= a
2
= .....= a
n
5. Bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki
a/ Cho hai cặp số a, b và x, y ta có :
(ax + by)
2
(a
2

+ ...... + a
n
b
n
)
2
( a
1
2
+ a
2
2
+.... + a
n
2
) ( b
1
2
+ b
2
2
+ ... b
n
2
)
Dấu = xảy ra


n
n

p = A.B k.l với A k > 0, B l > 0.
Tất nhiên là dấu đẳng thức phải xảy ra trong miền xác định của các biến số.
Ngoài ra, đôi khi ta sử dụng các tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Chẳng hạn : M N, a > 1 a
M
a
N
;
M N, 0 < a < 1 a
M
a
N
;
A B > 0, > 0 A


B;
A B > 0, < 0 A


B

.
Lu ý rằng nếu ta sử dụng nhiều bất đẳng thức so sánh thì dấu = xảy ra phải
mang tính đồng thời ở các đẳng thức đó.
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức :
1/ A = x

Ta có A = x
2
(x
2
+ 4) 3 3. Dấu = xảy ra x
2
(x
2
+ 4) = 0 x =
0
Vậy minA = -3 khi x = 0
2/ Ta có B = (x
2
+ x + 1)
2
=
16
9
4
3
2
1
x
2
2







.
Nên minB =
16
9
x =
2
1

.
3/ Dễ thấy C 0. Dấu = xảy ra (x1)
2
= (x
2
1)
4
= (x
3
1)
6
= 0 x
= 1
Vậy minC = 0, khi x = 1.
Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
M = - x
2
+ 2x + 6
Giải : Ta có B = - x
2
+ 2x + 6 = -(x

++
.
Giải :
1/ Điều kiện 0 x 1.
áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm ta đợc :
A = x
( )
2
1
2
x1x
x1xx1
22
222
=
+
=
Dấu = xảy ra x
2
= 1 x
2
x
2
=
2
1
x =
2
1
.

x
1x

+

+

=
z
)3z(3
.
3
1
y
)2y(2
.
2
1
x
)1x(1

+

+


z2
3z3
.
3

++
3
1
2
1
1
2
1
x = 2, y = 4, z = 6
IV. Những dạng toán thờng gặp.
Dạng 1 : Cực trị của đa thức dạng tam thức bậc hai.
1. Kiến thức cần thiết.
Giả sử cho đa thức f(x) xác định trên R. Sử dụng phơng pháp nhóm so sánh
Đa f(x) về dạng : f(x) = k
[ ]
2
)x(g
(k là hằng số)
a/ Nếu f(x) = k +
[ ]
2
)x(g
thì min f(x) = k g(x) = 0
b/ Nếu f(x) = k
[ ]
2
)x(g
thì max f(x) = k g(x) = 0
Hoặc có thể sử dụng phơng pháp dùng bất đẳng thức.
2. Một số ví dụ.

4
3
Vì
2
2
1
x







0 x nên
2
2
1
x








+
4
3

0 x nên 9 (x - 2 ) 9
Dấu = xảy ra x 2 = 0 x = 2
Vậy max B = 9 x = 2
Ví dụ 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
D = (x + 1)
2
+ (x + 3)
2
Giải : Ta có D = 2(x + 2 )
2
+ 2 2 x
Vì: 2(x + 2 )
2
0 x 2(x + 2 )
2
+ 2 2. Dấu "=" xảy ra x = -2.
Vậy min D = 2 x = -2
3. Một số nhận xét.
a/ Cho tam thức bậc hai : P = ax
2
+ bx + c (a 0)
Ta có P = ax
2
+bx + c = a(x
2
+
a
b
x) + c (do a 0)
= a (x +

- Nếu a > 0 thì a.(x +
a2
b
)
2
0 do đó P k
min P = k x +
a2
b
= 0 x = -
a2
b
- Nếu a < 0 thì a.(x +
a2
b
)
2
0 do đó P k
max P = k x = -
a2
b
b/ Dựa vào tính chất biến thiên của hàm số là tam thức bậc hai
f(x) = ax
2
+ bx + c (a 0)
+ Khi a > 0 : Parabol quay bề lõm lên phía trên hàm số có cực tiểu.
+ Khi a < 0: Parapol quay bề lõm xuống dới hàm số có cực đại.
- Từ đó ta đi đến kết luận : Mỗi tam thức bậc hai đều có một cực trị (hoặc
giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất)
4. Một số bài tập.

Ví dụ 4 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
A = 5x
2
- 12xy + 9y
2
- 4x + 4
Giải : Ta có A = x
2
- 4x + 4 + 4x
2
- 12xy + 9y
2
= (x - 2)
2
+ (2x - 3y)
2
A 0, dấu "=" xảy ra
( )
( )





2
2
y3x2
2x



2
b
2
+ ab + 2a + 2b đạt giá trị lớn nhất
Giải :
a/ Ta có B = x
2
2x + 1 + y
2
2y +1 + xy x y + 1 + 2006
= (x 1)
2
+ (y 1)
2
+ xy x y + 1 + 2006
=
20062006)1y(
4
3
2
1y
)1x(
2
2
++






2b
2
+ 2ab + 4a + 4b
= (a b)
2
(a 2)
2
(b 2)
2
+ 8 8
Dấu "=" xảy ra





=
=
=
02b
02a
0ba
a = b = 2
Vậy max N = 4 a = b = 2
Ví dụ 6 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
D = m
2
- 4mp + 5p
2
+ 10m - 22p + 28.



=
=+
01p
05t





=
=
1p
5t




=
=
1p
5p2m




=
=
1p

2
5y
2
+ 8x 6y 1
4.2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
x
2
+ 2y
2
2xy 4y

+ 5
4.3. Tìm cặp (x ; y) để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất :
x
2
+ 26y
2
10xy + 14 76y + 56
Dạng 3 : Cực trị của hàm phân thức đại số.
1. Kiến thức cần thiết.
+ Để giải dạng toán này ta chủ yếu dùng phơng pháp tách phần nguyên.
+ Cho P =
A
1
với A > 0 thì max P =
Amin
1
; min P =
Amax
1

Nhận thấy A lớn nhất 2A lớn nhất
3x2
5

lớn nhất
2x 3 là số dơng nhỏ nhất.
Mà x N nên 2x 3 dơng nhỏ nhất bằng 1 x = 2
Vậy max(2A) = 12 maxA = 6 x = 2.
Ví dụ 8 : Tìm x Z để M =
5x
x7


đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải : Ta có M =
5x
)7x(


=
5x
)25x(


= -1 +
5x
2


Để M nhỏ nhất thì

+ 3 3
Do đó (x 1)
2
+ 3 đạt GTNN bằng 3 x = 1. Vậy min P =
3
1

x = 1.
Ví dụ 10 : Tìm GTLN và GTNN của biểu thức Q =
1x
3x4
2
+
+
.
Giải : a/ Ta có Q =
1x
1x4x4x
2
22
+
++
=
1
1x
)2x(
2
2

+

+


Do
1x
)1x2(
2
2
+


0 với x Q 4. Dấu = xảy ra x =
2
1

Vậy maxQ = 4 x =
2
1
Ví dụ 11 : Tìm GTNN của M =
1x2x
6x8x3
2
2
+
+
.
Giải : ĐKXĐ : x 1
Ta có M =
2
2

3. Một số nhận xét.
- Khi giải toán cực trị của hàm phân thức, học sinh cần phải biết biến đổi linh
hoạt để tách phần nguyên.
- Có những biểu thức tồn tại cả GTLN và GTNN nh bài toán đã trình bày ở ví
dụ 10, cho nên học sinh cần định hớng cách phân tích bài toán để làm xuất hiện
những tình huống theo yêu cầu bài toán nêu.
4. Một số bài tập.
Tìm GTNN, GTLN(nếu có) của các biểu thức sau :
A =
5x4x
6x6x2
2
2
++
++
; B =
1x
7x8x
2
2
+
+
; C =
5x4x2
1
2
+
D =
1x2x
3x4x3

] :
Ta có : maxf(x)= max(A ; a)
minf(x)= 0
+ Nếu f(x) < 0 ta có maxf(x)= - minf(x) trên [a
1
;b
1
]
minf(x) = - maxf(x) trên [a
1
;b
1
]
2. Một số ví dụ.
Ví dụ 12 : Tìm GTLN của A = 2000 1999x 1
Giải : Vì x 1 0 x -1999x 1 0 x
Do đó A = 2000 1999x 1 2000 x. Dấu = xảy ra x = 1
Vậy max A = 2000 x = 1.
Ví dụ 13 : Tìm GTLN của B = x + 8 x
Giải :
Cách 1 : Xét khoảng giá trị của x.
a/ Nếu x < 0 thì x = -x và 8 - x = 8 - x khi đó B = 8 - 2x
b/ Nếu 0 x 8 thì x = x và 8 - x = 8 - x khi đó B = x + 8 - x = 8
c/ Nếu x > 8 thì x = x và 8 - x = x - 8 khi đó B = x + x - 8 = 2x - 8
So sánh các giá trị của B trong 3 khoảng trên ta có :
min B = 8 0 x 8
Cách 2 : Sử dụng bất đẳng thức.
f(x) + g(x) f(x) + g(x). Dấu "=" xảy ra f(x).g(x) 0
Ta có B = B = x + 8 x x + 8 - x= 8
Dấu = xảy ra x(8 - x) 0 x(x - 8) 0 0 x 8