sử dụng phơng pháp tham biến
để tìm cực tri của một biểu
thức
I.Phơng pháp
Giả sử cần tìm cực tri của một biểu thức Q
(x)
. Để đơn giản ta chỉ xét biểu thức Q
(x)

luôn xác định trên tập hợp số thực, nghĩa là nếu Q
(x)
có mẫu thức thì mẫu thức luôn d-
ơng. Ta đa thêm tham biến t để xét biểu thức f
(x)
=Q
(x)
.- t. Nếu f
(x)


0
(hoặc f
(x)


0) với mọi x thuộc tập xác định của Q
(x)
và tồn tại giá trị t
0
để có f

2
+8x+7- t(x
2
+1) hay g
(x)
= (1-t)x
2
+8x+7-t (1)
xét tam thức g
(x)
= ax
2
+bx+c=a(x+ )
2
+ với =b
2
-4ac (*)
Nếu a=0 thì g
(x)
= bx+c luôn cùng dấu với c khi b=0 và g
(x)
=0 khi c=0
Nếu a>0 thì g
(x)
0

x khi 0 và g
(x)
=0 =0
Nếu a<0 thì g

f
(x)
=0 g
(x)
=0 2(2x-1)
2
=0 x=
Ví dụ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức Q=
22
2
43
yx
xyy
+

với (x,y) 0
Lời giải:
Vì x
2
+y
2
luôn dơng với (x,y) 0 nên dấu của f
(x,y)
chính là dấu của tử thức
g
(x,y)
=3y
2
-4xy-t(x
2

=0

x khi t=-1 hoặc t=4.
Với t=-1 thì a=3-t=4>0 nên g
(x,y)
0 f
(x,y)
0 Q
(x,y)
có GTNN là -1và xẩy ra
khi f
(x,y)
=0 g
(x,y)
=0 (2y-x)
2
=0 x=2y( 0).
Với t=4 thì a=3-t=-1<0 nên g
(x,y)
0 f
(x,y)
0 Q
(x,y)
có GTLN là 4 và xẩy ra
khi f
(x,y)
=0 g
(x,y)
=0 -(y+2x)
2

(X)
= -1 khi t
2
=-1 (lúc đó a
2
=1>0) xảy ra đồng thời thì dựa
vào (*) ta có



=
=
0
1
2
1
hay





=+
=+
0)1(4
0)4(16
2
2
vu
vu