Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán -Lý - Tin - KT
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9
1CHUYÊN ĐỀ 1
TÌM CỰC TRỊ (HAY TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT - GIÁ TRỊ LỚN NHẤT)
CỦA BIỂU THỨC
I. Các kiến thức thường dùng:
+ Với mọi x thuộc R
* x
2


0, tổng quát: [f(x)]
2k


0 (k

Z)
* [f(x)]
2k
+ m

m (k


0)
*
x y x y
  
dấu "=" xãy ra

x.y

0
*
x y x y
  
dấu "=" xãy ra

x.y

0
+ Bất đẳng thức cô-si
 a + b

2
ab
( với
0, 0
a b
 
) dấu "=" xãy ra

a = b


Bước 3: khẳng định f(x) có GTNN là a. Từ đó chỉ ra được x = x
0
thỏa mãn điều
kiện ở bước 1 sao cho f(x
0
) = a
2. Tìm GTLN (Max) của f(x) :
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của f(x)
Bước 2: Biến đồi f(x)

b ( b là hằng số )
Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán -Lý - Tin - KT
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9
2Bước 3: Khẳng định f(x) có GTLN là b. Từ đó chỉ ra được x
0
thỏa mãn điều
kiện ở bước 1 sao cho f(x
0
) = b
III. Một số dạng toán tìm GTLN - GTNN thường gặp:
1.Dạng đa thức 1 biến:
Cách giải:
- Sử dụng bất đẳng thức A
2m



 

=
2
2
4
2 4
b ac b
a x
a a

 
 
 
 

Nếu a > 0
2
4
( )
4
ac b
f x
a

  hay GTNN của f(x) =
2
4
4
ac b

Giải: a. ĐK: x

R
-x
2
-3x + 4 = -(x
2
+ 3x) + 4 = -(x
2
+ 2.x.
3
2
+
9
4
) + 4 +
9
4

= -(x +
3
2
)
2
+
25
4

Vì -(x +
3

khi -(x +
3
2
)
2
= 0

x +
3
2
= 0

x = -
3
2

Vậy -x
2
-3x + 4 có GTLN là
25
4
khi x = -
3
2

b. ĐK: x

R
-2x
2

+
1
2
là
1
2
khi -2(x - 1)
2


x - 1 = 0

x = 1
Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán -Lý - Tin - KT
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9
3Vậy -2x
2
+ 4x -
3
2
có GTLN là
1
2
khi x = 1
2.Dạng biểu thức f(x) là phân thức một biến:
2.1.Trường hợp 1: Nếu f(x) có dạng f(x) =

2
-2x + 2 = x
2
- 2x + 1 + 1 = (x-1)
2
+ 1 > 0
2
1
( 1) 1
x

 
> 0

A có GTLN

(x - 1)
2
+ 1 có GTNN mà (x - 1)
2
+ 1

1

Min (x - 1)
2
+ 1 = 1 khi và chỉ khi x = 1

Max A =
1


x = 1

Max B =
5
3


x = 1
2.2. Trường hợp 2: f(x) có dạng f(x) =
( )
( )
B x
A x

Cách giải: Nếu bậc của đa thức B(x) lớn hơn bậc của đa thức A(x) ta chia đa
thức B(x) cho đa thức A(x), thực hiện phép chia có dạng:
+ f(x) = m +
2
( )
( )
Q x
P x
 
 
 

Suy ra Min f(x) = m

( )

y =
( )
( )
B x
A x


y.A(x) - B(x) = 0 (*)
Xét trường hợp y = 0

B(x) = 0 ta tìm được x
Xét trường hợp y

0 thì (*) có nghiệm




0. Từ đó tìm ra x
Lưu ý: + Trường hợp biêu thức là những phân thức 2 biến, 3 biến ta cũng xét các dạng
tương tự như trên.
+ Nếu f(x) = c - A(x) (c là hằng số )

f(x) có GTLN

A(x) có GTNN
Ví dụ 1. Cho biểu thức A =
3 2 2
( ) ( )
( 2) 3( ) ( 2 )

1
2 3
a a
 

Ta có: a
2
+ 2a + 3 = (a + 1)
2
+ 2

2

A > 0

A có GTLN

a
2
+ 2a + 3 có GTNN
Mà Min(a
2
+ 2a + 3) = Min[ (a + 1)
2
+ 2] = 2

a = -1

Max A =
1

=
2
2
5( 4 4) 6( 2) 9
( 2)
x x x
x
    


=
2
2 2 2
5( 2) 6( 2) 9
( 2) ( 2) ( 2)
x x
x x x
 
 
  

=
2
6 3
5
2 2
x x
 
 
 

 


Min B = 4
3
1 0 3 2 0
2
x
x
      


vậy Min B = 4

x = 5

Ví dụ 3: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức sau:
C =
2
4 3
1
x
x

Giải: x
2
+1

yx
2
- 4x + y - 3 = 0 (*)
Nếu y = 0 thì (*)

0.x
2
- 4.x + 0 - 3 = 0

4x - 3 = 0

x =
3
4

(1)
Nếu y

0 thì (*) có nghiệm



'

0

4 - y(y - 3)

0




 



  




Giải hệ (I) vô nghiệm
Giải hệ (II) có nghiệm: -1

y

4
Với y = -1 thay vào phương trình (*) ta có -x
2
- 4x -1 - 3 = 0

-x
2
- 4x - 4 = 0
Giải phương trình -x
2
- 4x - 4 = 0 ta được x = -2 (2)
Với y = 4 thay vào phương trình (*) ta có 4x
2
- 4x + 1 = 0

0

A B A B
  
dấu bằng xãy ra

A.B

0
Bất đẳng thức Cô-si:

1 1
2 . 2
A A
A A
  
dấu bằng xãy ra

A =

1

( 0)
A b b
 


-b

A

 


8
x x
 
8
x x
 


8
Biểu thức 8
x x
 
có GTNN

8
x x
 


8 xãy ra dấu "="

x(8-x)

0



   

x
f(x)
b
a


0
Trái dấu
với a
Cùng dấu
với a
nếu x > 5
nếu 5

x

-2
nếu x < -2
Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán -Lý - Tin - KT
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9
7


 thành B =
2 2
M N
 dạng biểu thức
chứa căn bậc hai để giải.

Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức
C =
2 2
2 3 2 15
x x x x
    

Giải:
Nhận xét: Biểu thức trong dấu đều chứa x
2
+ 2x nên ta áp dụng
A A
 

được:
C =
2 2
2 3 15 2
x x x x
    
2 2
2 3 15 2
x x x x
      =


x + 1

4

-5

x

3
Vậy Min C = 18

-5

x

3

4. Dạng 4: Biểu thức có chứa căn thức:
Cách giải: - Vận dụng bất đẳng thức cô-si
a + b 2
ab
 với
0, 0
a b
 

-
A
có nghĩa


nếu x > 5
nếu 5

x

-2
nếu x < -2
nếu 5

x

-
2
2n
Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán -Lý - Tin - KT
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9
8
A = x +
x


0
Vậy Min A = 0

x = 0

c. ĐK: x + 2

0

x

-2
C = x -
2
x

+ 5 = x + 2 -
2
x

+ 3
=
2
1 1
2 2. 2.
2 4
x x
    

11
4

=
2
1 11 11

4

7
4
x

 
2. Tìm GTLN của biểu thức A =
2
8 7
x x
  

Giải:
A =
2
8 7
x x
  
=
  
1 7
x x
 

A có nghĩa

(x -1)(7 - x)

0


Với 1

x

7
1 0,7 0
x x
    

Áp dụng bất đẳng thức cho hai số không âm x - 1 và 7 - x ta có:
A =
  
1 7
x x
 

1 7
3
2
x x
  
 


A có GTLN là 3

x - 1 = 7 - x

x = 4 ( dấu "=" xãy ra

1 1 1 1
x x    
=
1 1 1 1
x x
    

Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán -Lý - Tin - KT
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9
9 =
1 1 1 1
x x
    

Áp dụng bất đẳng thức
a b a b
  
ta có:
B =
1 1 1 1
x x
    

1 1 1 1
x x
     


   


  




  




( thỏa mãn ĐK )
Vậy với 1

x

2 thì B có GTNN là 2.
5. Dạng biểu thức là đa thức nhiều biến:
Cách giải: Với dạng này ta thường biến đổi về dạng tổng các bình phương và
chủ yếu là 2 phép biến đổi sau:
- Thêm bớt hạng tử để đưa dần các biến vào hằng đẳng thức
- Tách hạng tử để phân thành từng nhóm có chứa hằng đẳng thức
Ví dụ: 1. Tìm GTNN của biểu thức sau:
a. A = x
2
- 2x + y
2

 
 
  
 

Vậy Min A = 1
1
2
x
y







b. ĐK:
0
0
x
y






B = x - 2
xy




2
1
1 4 4
2
x y y y
   
=




2 2
1 1 1
1 2 1
2 2 2
x y y
      
Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán -Lý - Tin - KT
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9
10

Vậy Min B =
3
1
2
1
2
4
x
y




 






2. Tìm GTLN của biểu thức sau:
C = -x
2
- 5y
2
+ 4xy - 6x + 14y -15
Giải:
C = -x
2
- 5y

2 3 0 1
1 0 1
x y x
y y
    
 
 
 
  
 

Vậy Max C = 5
1
1
x
y
 




6. Biểu thức có dạng: [f(x) + a][f(x) + b]
Cách giải:
Bước 1: Đặt ẩn phụ t = f(x) +
2
a b


150t
2
+ 500t + 625
= 2t
4
+ 300t
2
+ 1250

1250


A có GTNN là 1250

t = 0

x + 2 = 0

x = -2
Vậy Min A = 1250

x = -2

IV. Bài tập áp dụng:
1. Tìm GTNN của các biểu thức sau:
Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán -Lý - Tin - KT
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9
11


    
h.
3 4 1 15 8 1
x x x x
      

k.
2
1
2
x
x


với x

0 l. 1 2
x x x a
    
theo tham số a
m.
2
2
2 2000
x x
x
 
n.
2 2
2 2

3 3
1
x
x x x

  
f.
2
1
x x


g.
 
2
2000
x
x 
với x > 0 h. (x - 3)
4
+ (x + 7)
4

3. Cho biểu thức A =
 
2
4 2
2
3 2 6
x