Bài 2. Cực trị hàm số

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
46

BÀI 2. CỰC TRỊ HÀM SỐ

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ
Giả sử hàm số f xác định trên khoảng


;
a b
có thể a là

; b là

và điểm



0
;
x a b

1. Nếu tồn tại h>0 sao cho


     
0 0 0 0

tiểu) của hàm số; f(x
0
) được gọi là giá trị cực đại( giá trị cực tiểu) của hàm số . Kí hiệu
là :
( )
CD CT
f f
, còn điểm M(x
0
;f(x
0
)) được gọi là của đồ thị hàm số. Các điểm cực đại và
cực tiểu nói chung là . Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là được gọi chung là điểm
cực trị của hàm số
2. Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng


;
a b
và
đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x
0
thì f’(x
0
)=0
Nếu hàm số f có đạo hàm tại x
0
và đạt cực trị tại điểm đó thì f

(x

0
x
nhưng vẫn đạt giá trị cực tiểu tại

0
x
,

0
CT
y
 Đạo hàm
'
f
có thể bằng 0 tại điểm
0
x
nhưng hàm
f
không đạt cực trị tại điểm
0
x

Ví dụ minh họa:

Mặc dù

'( ) 0
f x
tại
Ví dụ minh họa

Mặc dù tại
 
3
x đạo hàm không xác định (không có đạo hàm tại hai điểm này) nhưng hàm
vẫn không có cực trị tại 2 điểm này vì hàm số không xác định trên bất kì khoảng


;
a b
nào của
hai điểm này
Bài 2. Cực trị hàm số

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
49

 Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x
0
, f

(x
0
) = 0 và có đạo hàm
cấp hai khác 0 tại điểm x
0

i
thì hàm số đạt cực trị tại x
i
.
Qui tắc 2: Dùng định lí 2.
 Tính f (x).
 Giải phương trình f (x) = 0 tìm các nghiệm x
i
(i = 1, 2, …).
 Tính f (x) và f (x
i
) (i = 1, 2, …).
Nếu f (x
i
) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x
i
.
Nếu f (x
i
) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x
i
.
Chú ý:

Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc khơng có đạo
hàm.


Đạo hàm
'

3
) ' 3 1 0, hàm không có cực trò
a x f
x f
b y x x

Bài 2. Cực trị hàm số

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
51

Chú ý:
 Nếu y’ khơng đổi dấu thì hàm khơng có cực trị. Đối với hàm bậc 3 thì điều kiện cần và
đủ để hàm đạt cực trị là y’=0 có hai nghiệm phân biệt
Bài 2. Tìm cực trị hàm số:
4 2 4 2
) 6 8 1; ) 2 1
a y x x x b y x x
        

Hướng dẫn:

)Hàm đạt cực đại tại x=-2,giá trò
cực đại (-2) 25, hàm không có cực t
iểu
a y

x


nghiệm đơn và 1 nghiệm kép), hàm số có 3 cực trị khi phương trình y’=0 có 3 nghiệm phân
biệt
Bài 2. Cực trị hàm số

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
52

Bài 3. Tìm cực trị của hàm số sau:
 
  
 



 
 

 
2
2
2
2
2
1 2 3
) )
1
8
2
5

x y ;
Hàm đạt cực tiểu tại   
1 2; 2 2
CT
x y
c) Hàm số đồng biến trên




   
; 1 , 1; nên hàm không có cực trị
d) Hàm đạt cực đại tại   
1 13
,
3 4
CD
x y ;
Hàm đạt cực tiểu tại
 
4; 0
CT
x y
Bài 4. Tìm cực trị hàm số:
 
 

 
 
)

 






)Hàm xác đònh và liên tục trên
3 3
nếu x>0
3 nếu x 0
2
y= , ' , ' 0 1
3
3 nếu x< 0
+ nếu x< 0
2
c
x
x x
x
y y x
x
x x
x
xHàm đạt cực tiểu tại x=1, đạt cực đại tại x=0
Nhận xét: Ta thấy các trường hợp này, mặc dù hàm khơng có đạo hàm tại

) Hàm đã cho liên tục và xác đònh
trên 2;2
2
4 2
' , 2;2 , ' 0
4
2
a
x
x
y x y
x
x

Bảng biến thiên:

Bài 2. Cực trị hàm số

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
54

Hàm đạt cực đại tại x= 2, cực tiểu
tại x=- 2

 
   

y x
x
x x
y x
xHàm đạt cực tiểu tại x=2, hàm khơng có cực đại
Nhận xét: Mặc dù
 
3
x là điểm mà tại đó hàm số khơng có đạo hàm, tuy nhiên hàm số
khơng xác định trên bất kì khoảng


;
a b
nào của hai điểm này nên hai điểm này khơng phải là
hai điểm cực trị hàm số

 



 
  
 
  
2
3 2

) 2sin2 3; ) 3 2cos os2
a y x b y x c x
    

Hướng dẫn:
 
 
 
  

  


 
   

 
 

 


)Hàm đã cho xác đònh và liên tục t
rên
y'=0 x= ,
4 2
8 khi k=2n
'' 8sin2 , ''
4 2
8 khi k=2n+1





)Hàm đã cho xác đònh và liên tục t
rên
sin 0
y'=0 ,
2
1
2
cos
3
2
2 2
'' 2cos 4cos2 , '' 2 6cos 3 0
3 3
'' 2cos( ) 4 0,
2
Vậy hàm đạt cực đại tại x=
b
x kx
k
x k
x
y x x y k
y k k k
 

2 ,đạt cực tiểu tại x=k

 
 
 
   


2 2
2
2
2
3 -1 3 5 ( - 4)
. . .
2 4 1
2 5
9 -2 2
. -3 . .
-2 2 1
4
x x x x
a y b y c y
x x
x x
x x x
d y x e y f y
x x
x

Bài 3. Tìm cực trị các hàm số
  


2 1
m
C y x
mx

Bài 6. Tìm cực trị của hàm số sau:
  
2
) os 3 ) sin os
2 2
x x
a y c x b y c
Bài 7. Tìm cực trị của các hàm số sau:
a)  
2 3
3 2
y x x
b)
   
3 2
2 2 1
y x x x
c)    
3 2
1
4 15
3
y x x x

d)



2
3 4 5
1
x x
y
x
i)
 


2
2 15
3
x x
y
x

Bài 8.Tìm cực trị của các hàm số sau:
Bài 2. Cực trị hàm số

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
57

a)
  
3 4
( 2) ( 1)

2 5
y x x f)
  
2
2
y x x x

Bài 9.Tìm cực trị của các hàm số sau:
a)
 
3
2
1
y x b) 

3
2
2 1
x
y
x
c)  
2
4sin
y x x

DẠNG 2: Tìm điều kiện hàm có cực trị tại
0
x










4.
Hàm số
( )
y f x

đạt cực tiểu tại
0
0
0
0
0
'( )
''( )
f x
x
f x







' '
ax bx c
y
a x b
=
( )
( )
P x
Q x
(aa 0) có cực trị  Phương trình y = 0 có hai nghiệm
phân biệt khác

'
'
b
a
.
BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Tìm m để hàm số
   
3 2
3 12 2
y mx x x đạt cực đại tại
2
x

.
Bài 2. Cực trị hàm số

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học

1
( )
x mx
y f x
x m
đạt cực đại tại
2
x

.
Hướng dẫn:
Hàm số liên tục và xác đònh trên
\{ }
'(2) 0
Hàm đạt cực đại tại 2 3
''(2) 0
m
y
x m
y



    





Nhận xét: Khi tính đạo hàm cấp hai của hàm số trên và giải hệ bất phương trình tương đối dài

2
x

, vậy
3
m
 
thỏa.
Bài 2. Cực trị hàm số

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
59

Tương tự:
1
m
 

Bài 3. Tìm m để hàm
 


2
2
1
x mx
y
mx
có cực trị.

1
0
m
m
m
m
m

Bài 4. Chứng minh rằng
m
 

, hàm số


   


2 3
1 1
1
x m m x m
y
mx
ln có hai cực trị.
Hướng dẫn:
   
 
  
     

Bài 2. Cực trị hàm số

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
60

a) Hàm có ba cực trị
b) Hàm có cực tiểu mà khơng có cực đại
Hướng dẫn:




    


2
Hàm đã cho xác đònh và liên tục tr
ên
0
y'=0
( ) 2 6 3 3 0
x
g x x mx m

Nhận xét:
1. Nếu g(x)=0 có hai nghiệm phân biệt khác 0 thì hàm có hai cực tiểu và một cực đại
2. Nếu g(x)=0 có một nghiệm x=0 thì hàm chỉ có một cực tiểu
3. Nếu g(x)=0 có nghiệm kép hoặc vơ nghiệm thì hàm đạt cực tiểu tại x=0
Từ nhận xét trên ta thấy hàm có ít nhất một cực trị

Hàm sô không có ba cực trò
3 3
m

Chú ý:
Đối với hàm trùng phương


   
4
0
y ax bx c a
Ta có:


    

 

3
2
0
' 4 2 ' 0
4 2 0 (1)
x
y ax bx y
ax b

1. Hàm có ba cực trị


0
(0) 0
f

Khi đó:
 Hàm có cực tiểu khi a>0
 Hàm có cực đại khi a<0
Bài 6. Tìm các hệ số a,b,c,d sao cho hàm số
    
3 2
( ) ax
y f x bx cx d
đạt cực tiểu tại
0
x

,
(0) 0
f

và đạt cực đại tại
1
x

,
(1) 1
f

.
Hướng dẫn:

f b
f a b c
f a b
f d
f a b c
a được a=-2,b=3,c=d=0
Thay vào và kiểm tra lại thì thỏa mãn

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Tìm m để hàm số


    
3 2
3 1 1
y x m x x
có cực đại, cực tiểu.
Hướng dẫn:
Ta có:


   
2
' 3 6 1 1
y x m x
. Hàm đạt cực đại, cực tiểu khi y’=0 có hai nghiệm phân
Bài 2. Cực trị hàm số

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế

Hướng dẫn:
 
   
 
 
    
 
Hàm có cực đại và cực tiểu khi ph
ương trình y'=0 có hai nghiệm phân bi
ệt
2 0 2
' 0 3 1
m m
m

Bài 3. Tìm m để hàm số
 


2
mx x m
y
x m
khơng có cực đại, cực tiểu.
Hướng dẫn:
 
2 2
2
2 2
4

Hướng dẫn:
Bài 2. Cực trị hàm số

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
63

2
Ta có: ' 3 6 1 (*)
0: khi đó y'=1>0, x nên hàm không có cực trò
m 0: Hàm không có cực trò khi phương
trình y'=0 vô nghiệm hoặc có
1
nghiệm kép ' 0 0<m .
4
1
Vậy 0 m thì hàm
4
y mx mx m
m
   
   
 
    
 

không có cực trò.

Bài 5. Xác định m để hàm số
  


2
1
x mx
y
x m
đạt cực tiểu tại
1
x

.
Hướng dẫn:
'(1) 0
Hàm đạt cực tiểu tại 1 0
''(1) 0
y
x m
y


   




Bài 7. Tìm hệ số a, b, c sao cho hàm số
   
3 2
( ) ax
f x x bx c


Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn có cực đại, cực tiểu:
a)
    
3 2 2 3
3 3( 1)
y x mx m x m
b)
     
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1
y x m x m m x

c)
   


2 2 4
( 1) 1
x m m x m
y
x m
d)
  

 
2
2
1
x mx m

e)
 


2
2 2
x mx
y
x m
đạt cực tiểu khi x = 2.
f)
    


2 2
( 1) 4 2
1
x m x m m
y
x
có cực đại, cực tiểu.
g)
 


2
1
x x m
y
x

y
x

Bài 4. Tìm a, b, c, d để hàm số:
a)
   
3 2
y ax bx cx d
đạt cực tiểu bằng 0 tại x = 0 và đạt cực đại bằng
4
27
tại x =
1
3

b)
  
4 2
y ax bx c
có đồ thị đi qua gốc toạ độ O và đạt cực trị bằng –9 tại
Bài 2. Cực trị hàm số

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
65

x =
3
.
c)

Bài 2. Cực trị hàm số

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
66

DẠNG 3:Tìm điều kiện để hàm số có cực trị thỏa điều kiện nào đó
Phương pháp
 Trước hết ta tìm điều kiện để hàm số có cực trị;
 Biểu diễn điều kiện của bài toán thông qua tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số, từ
đó ta tìm được điều kiện của tham số;
Chú ý:
 Nếu ta gặp biểu thức đối xứng của hoành độ các điểm cực trị và hoành độ các cực trị là
nghiệm của một tam thức bậc hai thì ta dùng định lí Viet
 Khi tính giá trị cực trị của hàm số qua điểm cực trị ta thường dùng các kết quả sau:
 Kết quả 1: Cho hàm đa thức

( )
y P x
. Giả sử


ax ( ) ( )
y b Q x r x
   . Khi đó,
nếu x
0
là điểm cực trị của hàm số thì giá trị cực trị của hàm số là 
0 0
( ) ( )

( )
y r x
gọi là
phương trình quỹ tích các điểm cực trị
Hai kết quả trên các em dễ dàng chứng minh được.
BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Tìm m để hàm số
 
    
3 2
1
2 1 2
3
y x mx m x có hai điểm cực trị dương.
Hướng dẫn:
Hàm số xác định trên


Ta có:
   
2
' 2 2 1
y x mx m
Hàm số có hai cực trị dương
 
' 0
y
có hai nghiệm dương phân biệt
Bài 2. Cực trị hàm số



2
3 2 1
1
mx mx m
y
x
có cực đại và cực tiểu và hai điểm đó
nằm về hai phía của trục Ox.
Hướng dẫn:
 
 
 
  


      

 

  




 
 
2
2
2

 
 
2 2
1 2
y(x ) 2 1
1 1
y(x ) ( ) 0 .Vậy là những giá trò cần tìm
2 2
0 0
m x
m m
y x
m m

Bài 3. Tìm m để hàm số
   
3 2
2 12 13
y x mx x có cực đại, cực tiểu và các điểm này cách
đều trục tung.
Hướng dẫn:


 
        
     
    
2 2
1 2
1 2 1 2 1



2 2
1 2 1 2 1 2
' 3 2 2 1 3 2
Hàm có cực dại và cực tiểu nằm v
ề hai phía trục tung y'=0 có hai nghie
äm
phân biệt , thỏa 0 0 1 2
y x m x m m
x x x x x x m
     

      

Bài 5. Tìm m để hàm số




    
2
3 1
y x m x x m
có cực đại, cực tiểu thỏa

. 1
CD CT
x x
Hướng dẫn:

m
P
m

Bài 6. Tìm m để hàm số
   
     
3 2
1 1
1 3 2
3 3
y mx m x m x có cực đại và cực tiểu và đồng
thời hồnh độ cực đại cực tiểu
1 2
,
x x
thỏa
 
1 2
2 1
x x
Hướng dẫn:
Hàm số đã cho xác định trên


Ta có:





Theo định lí Vi-ét và u cầu bài tốn ta có:
Bài 2. Cực trị hàm số

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
69

 
 

 







  












cực trò
1 2
;
x x
sao cho
1 2
3 2 6
x x m
  

Đáp số:
1; 3
m m
  

Bài 7. Tìm m để hàm số
  


2
2 3 2
2
x x m
y
x
có cực đại và cực tiểu và các điểm cực đại cực
tiểu
1 2
,
x x

m x
m g x
y với g x x m
x x
y x
y y
y x
  
     
 


 

 

 


8 0m  

Bài 8. Tìm m để hàm số
 


2
2 3
x x m
y
x m

2 4 2
' , ' 0 2 4 2 0(1)
2
x mx m
y y x mx m
x

Hàm có cực trị

(1)
có hai nghiệm phân biệt
2 2
0
0
1
2 0
m
m
m
m m m

  


  
 

  






Kết hợp điều kiện (*) suy ra được


1 5
2
m hoặc


1 5
2
m là những giá trị cần tìm
Bài 9. Tìm m để hàm số
4 2 2
2 1
y x m x
  
có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của tam giác vuông.
Hướng dẫn:
Hàm số đã cho xác định trên


Ta có:


 
2 2
' 4

2 2
y x mx m m
có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của tam giác đều.
Hướng dẫn: