Vấn đề 6. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
TÓM TẮT GIÁO KHOA
I. Đònh nghóa
Giả sử hàm số
( )
f x
xác đònh trên tập
D ⊂ ¡
và
0
x D∈
.
1)
0
x
được gọi là một điểm cực đại của hàm số
( )
f x
nếu tồn tại một khoảng
( )
;a b
chứa
điểm
0
x
sao cho
( )
;a b D⊂
và
( ) ( ) ( ) { }
0 0

.
Khi đó,
( )
0
f x
được gọi là giá trò cực tiểu của hàm số
( )
f x
.
Giá trò cực đại và giá trò cực tiểu được gọi chung là cực trò
II. Điều kiện để hàm số có cực trò
1) Điều kiện cần
Giả sử hàm số
( )
f x
đạt cực trò tại điểm
0
x
. Khi đó, nếu
( )
f x
có đạo hàm tại
0
x

thì
( )
0
' 0f x =
.

• Nếu
( )
'f x
đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm
0
x
thì hàm số đạt cực đại tại điểm
0
x
.
Dấu hiệu 2. Giả sử hàm số
( )
f x
có đạo hàm trên khoảng
( )
;a b
chứa điểm
0
x
,
( )
0
' 0f x =
và
( )
f x
có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm
0
x
. Khi đó:

( )
'f x
. Nếu
( )
'f x
đổi dấu khi x qua
i
x
thì hàm số đạt cực trò tại
i
x
.
Phương pháp 2.
• Tìm
( )
'f x
.
• Giải phương trình
( )
' 0f x =
tìm các nghiệm
( )
1, 2,...
i
x i =
.
• Tính
( )
''
i

2
1
x m x m
y
x
+ +
=
+
Giải
1)
( )
3 2
2 3y m x x mx m= + + + +
Tập xác đònh:
D = ¡
Đạo hàm:
( )
2
' 3 2 6y m x x m= + + +
Hàm số có cực đại và cực tiểu
' 0y⇔ =
hay
( ) ( )
2
3 2 6 0g x m x x m= + + + =
có hai nghiệm
phân biệt
( )
2 0
' 9 3 2 0

≠ −

⇔

− < <

Vậy giá trò cần tìm là:
3 1m− < <
và
2m ≠ −
.
2)
2 2 2
2
1
x m x m
y
x
+ +
=
+
Tập xác đònh:
{ }
\ 1D = −¡
Đạo hàm:
( )
2 2
2
2
'


1 1
1
m
m
− < <

⇔

≠ ±


1 1m
⇔ − < <

Vậy giá trò cần tìm là:
1 1m− < <
.
Ví dụ 2. Với giá trò nào của tham số m thì các hàm số sau đây không có cực trò
1)
( )
3 2
3 2 3y m x mx= − − +
.
2)
2
mx x m
y
x m
+ +

• Xét
3m ≠
:
Hàm số không có cực trò
'y⇔
không đổi dấu
⇔
phương trình (1) vô nghiệm hoặc có
nghiệm kép
2
3 0
' 4 0
m
m
− ≠

⇔

∆ = ≤


3
0
m
m
≠

⇔

=

' 0y =
⇔
( )
2 2
2 0g x mx m x= + =
(1)
( )
x m≠ −
Hàm số không có cực trò
'y⇔
không đổi dấu
⇔
phương trình (1) vô nghiệm hoặc có
nghiệm kép
• Xét
0m =
:
' 0,y x m= ∀ ≠ −

0m
⇒ =
thỏa
• Xét
0m ≠
:
Yêu cầu bài toán
4
' 0m⇔ ∆ = ≤ : vô nghiệm
0m
∀ ≠

−
0
' 0
2 4
x y m
y
x y m
= ⇒ = −

= ⇔

= ⇒ = −

Vậy
' 0y =
luôn luôn có hai nghiệm phân biệt
m∀
⇒
Hàm số luôn luôn có cực trò
Tọa độ các điểm cực trò
( ) ( )
0; , 2; 4A m B m− −
Khoảng cách giữa hai điểm A, B là:
( ) ( )
2 2
2 0 4 2 5AB m m= − + − + = = const (đpcm)
60
Ví dụ 4. Cho hàm số
2
1x mx

' 2 0y⇒ =
( )
2
2
4 3
0
2
m m
m
+ +
⇔ =
+

2
4 3 0
2
m m
m

+ + =
⇔

≠ −


1
3
m
m
= −


Bảng biến thiên
x
−∞
0 1 2
+∞

'y
+ 0 - - 0 +
CĐ
+∞ +∞
y
−∞

−∞
CT
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại
2x
=
1m
⇒ = −
không thỏa.
+ Với
3m
= −
:
( )
2
2
2

−∞
CT
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại
2x
=
3m
⇒ = −
thoả yêu cầu bài toán.
Vậy giá trò cần tìm là:
3m
= −
.
61
Cách khác
Ta có:
1
y x
x m
= +
+
Tập xác đònh:
{ }
\D m= −¡
( )
2
1
' 1y
x m
= −
+

2
0
2
m
m

− =

+

⇔


<

+


2
4 3 0
2
2
m m
m
m

+ + =

⇔ ≠ −


và
4x =
.
Giải
Hàm số xác đònh khi
0ax b
+ ≠
.
( )
2 2 2 2
2
2
'
a x abx b a b
y
ax b
+ + −
=
+
• Điều kiện cần
Hàm số đạt cực trò tại
0x
=
và
4x
=
( )
( )
' 0 0
' 4 0


=

+


2 2
2 2 2
0
0
16 8 0
4 0
b a b
b
a ab b a b
a b

− =

≠

⇔

+ + − =


+ ≠

( )
2

, ta có:
62
( )
2
2
0
4
' 0
4
2
x
x x
y
x
x
=

−
= = ⇔

=
− +

Bảng biến thiên
x
−∞
0 2 4
+∞

'y

Hàm số có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung
' 0y⇔ =
hay
( ) ( )
2 2
3 2 2 1 3 2 0g x x m x m m= − + + − + =
có hai nghiệm phân biệt
1 2
,x x
thoả
1 2
0x x< <
( )
3. 0 0g⇔ <

2
3 2 0m m⇔ − + <
1 2m⇔ < <
Vậy giá trò cần tìm là:
1 2m
< <
.
Ví dụ 7. Cho hàm số
3 2
2 12 13y x ax x= + − −
(a là tham số). Với những giá trò nào của a thì
đồ thò của hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu, các điểm này cách đều trục tung.
(Trích ĐTTS vào Đại học Quốc gia Hà Nội, 1997)
Giải
Tập xác đònh:


+ = − =



0a
⇔ =
Vậy giá trò cần tìm là:
0a =
.
Ví dụ 8. Cho hàm số
3 2
1 1
3 2
y x x mx= + +
. Đònh m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại
các điểm có hoành độ
x m>
.
63
(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y Dược TPHCM, 1996)
Giải
Tập xác đònh:
D = ¡
Đạo hàm:
2
'y x x m= + +
Yêu cầu bài toán
' 0y⇔ =
hay



1
4
2 0
1
2
m
m m
m

<


⇔ < − ∨ >



< −


2m
⇔ < −
Vậy giá trò cần tìm là:
2m < −
.
Ví dụ 9. Cho hàm số
( )
( )
3 2 2 2

x x
< <

< ≤


( ) ( )
1 3. 1 0g⇔ − <

( )
2
3 3 4 0m m⇔ + − <

4
1
3
m⇔ − < <
(a)
( ) ( )
' 0
2 3. 1 0
1
2
g
S


∆ >




2
3 12 0
3 4 0
0
m
m m
m
− + >


⇔ + − ≥


<

4
4
1
3
0
m
m m
m
<



⇔ ≤ − ∨ ≥


0 2
' 0
2 2
x y
y
x y
= ⇒ =

= ⇔

= ⇒ = −

⇒
Đồ thò hàm số có hai điểm cực trò
( ) ( )
0;2 , 2; 2A B −
Đặt
( )
2 2 2
: 2 4 5 1 0
a
C x y ax ay a+ − − + − =
Hai điểm A, B ở về hai phía của hai đường tròn
( )
a
C
( ) ( )
/ /
. 0
a a

1R =
Ta có:
( ) ( )
2 2
2 2 2IB a a= − + +

2
5 4 8a a= + +

2
2 36 6
5 1
5 5
5
a R
 
= + + ≥ > =
 ÷
 
⇒
Điểm B nằm ở ngoài
( )
a
C
Do đó:
Điểm A nằm phía trong đường tròn
( )
a
C


Đạo hàm:
( ) ( )
2
' 2 1 3 2y mx m x m= − − + −
Hàm số có cực đại và cực tiểu
' 0y⇔ =
hay
( ) ( )
2
2 1 3 2 0mx m x m− − + − =
có hai nghiệm
phân biệt
1 2
,x x

( ) ( )
2
0
' 1 3 2 0
m
m m m
≠


⇔

∆ = − − − >




2 1m
x x
m
−
+ =
(1)
( )
1 2
3 2
.
m
x x
m
−
=
(2)

1 2
2 1x x+ =
(3)
Từ (1) và (3), ta có:
1 2
3 4 2
,
m m
x x
m m
− −
= =
Thế vào (2), ta được:

(thoả (*))
Vậy giá trò cần tìm là:
2
2
3
m m= ∨ =
.
Ví dụ 12. Cho hàm số
( )
( )
( )
3 2 2
3 1 2 7 2 2 2y x m x m m x m m= − + + + + − +
.
Tìm m để đồ thò hàm số có cực đại, cực tiểu và viết phương trình đường thẳng qua cực đại,
cực tiểu đó.
(Trích ĐTTS vào Học viện Kó thuật Mật mã, năm 1999)
Giải
Tập xác đònh:
D = ¡
Đạo hàm:
( )
( )
2 2
' 3 6 1 2 7 2y x m x m m= − + + + +
( )
( )
2 2
' 0 3 6 1 2 7 2 0y x m x m m= ⇔ − + + + + =
(1)

( ) ( )
( ) ( )
( )
2 3 2
1 1 1 1
1
1 2 2
1 . ' 8 1 5 3 2
3 3 3
' 0
y x m y x m m x m m m
y x

= − − − − − + + + +



=

( ) ( )
2 3 2
1 1
2 2
8 1 5 3 2
3 3
y m m x m m m⇒ = − − − + + + +
66
Tương tự ta cũng có:
( ) ( )
2 3 2

 Hàm số có cực đại và cực tiểu
' 0y⇔ =
có hai nghiệm phân biệt
( )
' 36 9 2 0m⇔ ∆ = − + >

2 0m⇔ − >

2m⇔ <
(*)
Lấy y chia cho y’, ta có:
( ) ( )
1
2 . ' 2 2 2
3
y x y m x m= − + − + −
Gọi
( ) ( )
1 1 2 2
; , ;A x y B x y
là các điểm cực trò của đồ thò hàm số thì
1 2
,x x
là nghiệm của (1)
Theo đònh lí Vi-ét, ta có:
1 2 1 2
4, 2x x x x m+ = = +
Ta có:
( ) ( ) ( )
( )

( ) ( ) ( )
2
1 2
2 2 1 2 1 0m x x⇔ − + + >

( ) ( )
2
1 2 1 2
2 4 2 1 0m x x x x⇔ − + + + > 
 
( ) ( )
2
2 4 2 2.4 1 0m m⇔ − + + + > 
 

( ) ( )
2
2 4 17 0m m⇔ − + >
17
4
2
m
m

> −

⇔


≠

có hai nghiệm phân biệt
2
' 9 3 0m⇔ ∆ = − > 3 3m⇔ − < <
Gọi
( ) ( )
1 1 2 2
; , ;A x y B x y
là các điểm cực trò của đồ thò hàm số và I là trung điểm của đoạn
AB
Do
1 2
,x x
là nghiệm của (1) nên theo đònh lí Vi-ét, ta có:
1 2
2x x+ =
,
2
1 2
.
3
m
x x =
Hai điểm A, B đối xứng nhau qua đường thẳng
1 5
:
2 2
y x∆ = −
AB
I
⊥ ∆

2
1 2 1 2 1 2
3x x x x x x m= + − − + +

2
2
4 6
3
m
m= − − +

2
2 6
3
m −
=
1 2
. 1AB k k⊥ ∆ ⇔ = −
2
1 2 6
. 1
2 3
m
 
−
⇔ = −
 
 
0m
⇔ =

0m =
thoả yêu cầu bài toán.
Ví dụ 15. Cho hàm số
4 2 4
2 2y x mx m m= − + +
. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu,
đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều.
(Trích ĐTTS vào Học viện Quan hệ Quốc tế, 1997)
Giải
Tập xác đònh:
D = ¡
Đạo hàm:
3
' 4 4y x mx= −
68
( )
2
0
' 0
*
x
y
x m
=

= ⇔

=

Hàm số có cực đại và cực tiểu

Các điểm A, B, C lập thành một tam giác đều
AB AC
AB BC
=

⇔

=

2 2
AB BC⇔ =
4
4m m m⇔ + =
( )
3
3 0m m⇔ − =

⇔
3
3m = (do
0m
>
)
Vậy giá trò cần tìm là:
3
3m = .
Ví dụ 16. Cho hàm số
( )
4 2
1 1 2y kx k x k= + − + −

0x
=
( )
0
0
' 2 1 0
k
k
k k
=


≠
⇔ 




∆ = − − ≤



0
0 1
k
k k
=

⇔


=

= ⇔

=

69