Lê Trinh Tường Tài liệu phụ đạo 12
−
CB&Nâng cao
VẤN ĐỀ 2 :
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

A − Tóm tắt lí thuyết :
2 − Đònh nghóa : Hàm số f(x) xác định trên tập hợp D ⊂ R và x
0
∈D.
a) Điểm x
0
là điểm cực đại của hàm số y = f(x) nếu tồn tại một khoảng (a;b) ⊂ D chứa điểm x
0
sao cho
f(x) < f(x
0
), ∀x ∈(a;b)\{x
0
}
* f(x
0
) − giá trò cực đại của hàm số.
* Điểm M( x
0
; f(x
0
)) điểm cực đại của đồ thò.
b) Điểm x
0
là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu tồn

0
⇒ x
0
− là điểm cực đại.
• f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x
0
⇒ x
0
− là điểm cực tiểu.
Dấu hiệu 2: Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm đến cấp 2 liên tục tại x
0
.
*
0
0
0
( ) 0
( ) 0
f x
x là điểm cực trò của HS
f x
′
=

⇒ −

′′
≠

*

′′
>

4 − Phương pháp tìm cực trò:
Qui tắc 1: + Tìm f’(x).
+ Tìm các nghiệm x
i
( i = 1,2,...) của phương trình f’(x) = 0.
+ Lập bảng xét dấu − Căn cứ dấu hiệu 1 kết luận.
Qui tắc 2: ( Chỉ áp dụng tìm cực trò tại những điểm ở đó đạo hàm cấp 1 bằng 0)
B1− Tính đạo hàm cấp một rồi giải pt: y’ = 0 tìm các nghiệm x
i
.
B2− Tính f”(x
i
) . Nếu f”(x
i
) < 0 ⇒ x
i
là điểm cực đại
Nếu f”(x
i
) > 0 ⇒ x
i
là điểm cực tiểu.
Nếu f”(x
i
) = 0 không thể kết luận được cực trò.
Chú ý: Quy tắc 2 tuy đơn giản nhưng có nhiều hạn chế. Do đó chỉ nên dùng quy tắc này trong trường hợp đạo
hàm cấp hai quá đơn giản.

2 1
2
x x
x
− +
−
e) y=
2
1
1
x
x x
+
− +
g) y = sin2x − x h)
2
3
1
x
y
x
+
=
+
i)
2
2 4 2
2 3
x x
y

x 4
+ −
−
g) f(x) =
2
x
x 4+
h) f(x) =
x 3 x−
.
Bài 3: Tìm m để hàm số y =
2
2 1x x
y
x m
+ +
=
+
đạt cực đại tại x = 2.
Bài 4: Cho hàm số y = mx
3
+ 3x
2
+ 5x +2 .(1)
a) Tìm khoảng đơn điệu và cực trò của hàm số khi m = −1.
b) Tìm m để hàm số (1) đạt cực đại tại x = 2.
Bài 5: Cho hàm số
1
sin3 sin
3

5
9
−
là
điểm cực đại.
b) Tìm các hệ số a, b, c, d của hàm số f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d biết rằng hàm số f đạt cực tiểu tại x = 0,
f(0) = 0 và đạt cực đại tại điểm x = 1, f(1) = 1.
c) Tìm các hệ số a, b, c, d của hàm số f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d biết rằng hàm số f đạt cực tiểu tại x = 0,
f(0) = 0 và đạt cực đại tại điểm x =
1
3
, và giá trị cực đại bằng
4
27
.
d) Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số f(x) = x
3
+ ax
2
+ bx + c đạt cực trị bằng 0 tại x = - 2 và đồ thị hàm
số đi qua điểm A(1; 0).
e) Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số f(x) = ax

1
x b
y
x
+ +
=
+
đạt cực đại bằng 5 tại x = 1.
Lê Trinh Tường Tài liệu phụ đạo 12
−
CB&Nâng cao
II
−
Bài toán 2: Tìm điều kiện để hàm số có hoặc không có cực trị .
* Điều cần nhớ :
1. Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x
0
thì f’(x
0
) = 0 hoặc tại x
0
không có đạo hàm.
2. Để hàm số đạt cực trị tại điểm x
0
thì f’(x) đổi dấu khi x đi qua x
0
.
* Điều chú ý:
1. Hàm số bậc ba
3 2

có cực trị ⇔ Phương trình y’ = 0 có hai nghiệm
phân biệt khác
'
'
b
a
−
.
Nếu x
0
là điểm cực trị, để tính giá trị cực trị y(x
0)
ta có thể tiến hành bằng hai cách sau:
Cách 1: Thay giá trị x
0
vào biểu thức hàm, cụ thể:
0
0
0
( )
( )
( )
P x
y x
Q x
=
.
Cách 2: Thay giá trị x
0
vào biểu thức

( )
( )
3 2 2
3 1 2 3 2 1y x m x m m x m m
= − − + − + − −
c)
2
2
x 2x m
y
x 2
+ +
=
+
d)
( )
2 3
x m m 1 x m 1
y
x m
− + + +
=
−
e)
( )
2 2 4
x m m 1 x m 1
y
x m
+ − − +

( )
2 2
1 4 2
1
x m x m m
y
x
− + − + −
=
−
Bài 3: Tìm m để hàm số ( hoặc đồ thị hàm số):
a)
( )
( ) ( )
3 2 2 2
2 1 4 1 2 1y x m x m m x m= + − + − + − +
đạt cực trị tại hai điểm x
1
, x
2
sao cho các điểm
cực trị này thõa
( )
1 2
1 2
1 1 1
2
x x
x x
+ = +

1 2
8x x− ≥
.
g)
( ) ( )
3 2
1 1
1 3 2
3 3
y mx m x m x= − − + − +
đạt cực trị tại hai điểm x
1
, x
2
sao cho thõa:
1 2
2 1x x+ =
.
h)
( ) ( )
3 2
1 2 2 2y x m x m x m= + − + − + +
có điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị, đồng thời
hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.(*)
i)
4 2
4y x mx x m= − + +
có ba điểm cực trị M, N, P và tam giác MNP nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm.
Bài 4:Tìm m để hàm số (hoặc đồ thị hàm số):
a)

− + − + −
=
−
có cực đại, cực tiểu và tích các giá trị cực đại, cực tiểu đạt giá trị
nhỏ nhất.
d)
2
3
4
x x m
y
x
− + +
=
−
có giá trị cực đại M và giá trị cực tiểu m sao cho
4M m− =
.
e)
2
2 3 2
2
x x m
y
x
+ + −
=
+
có giá trị cực đại M và giá trị cực tiểu m sao cho sao cho
12M m− <

=
+
có hai điểm cực trị nằm ở hai phía đối với đg.thẳng (d): 2x−3y−1=0.
Bài 5: Tìm m để đồ thị hàm số:
a)
( )
2
1 2 1x m x m
y
x m
− + + −
=
−
có hai điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng tọa độ.
b)
( )
2 2 2
2 4 1 32 2
2
mx m x m m
y
x m
+ + + +
=
+
có một điểm cực trị nằm trong góc phần tư thứ hai và điểm cực
trị kia thuộc góc phần tư thứ tư của mặt phẳng tọa độ.
c)
( )
2 2 2

(1)
+ Thực hiện phép chia f(x) cho f’(x) ta được:
( )
( ) ( ). Ax .f x P x f x B
′
= + +
+ Chứng minh đường thẳng có phương trình
Axy B= +
là đường thẳng qua các điểm cực trị của hàm số (1)
Giả sử M
1
(x
1
; y
1
), M
2
(x
2
; y
2
) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1), thế thì: f’(x
i
) = 0, i=1,2.
Do đó, các đẳng thức y
1
= Ax
1
+ B và y
2

+ Chứng minh đường thẳng có phương trình
( )
( )
2ax+b
'
P x
y
Q x a
′
= =
′
là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.
Thật vậy, giả sử x
i
là điểm cực trị, ta có:
f’(x
i
) = 0 ⇔
( )
( )
( )
( )
2
( ). ( ) ( ). ( )
( ). ( ) ( ). ( )
0
( ) 0, 1,2
( )
i i i i
i i

hay 2ax − a’y +b = 0.
Chú ý: Khi viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị ta cần xác định điều kiện để hàm số có hai
cực trị trước đã.
Bài 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị các hàm số sau:
a).
3 2
2 1y x x x= − − +
b)
3 2
3 6 8y x x x= − − +
c)
3 2
2 3y x x= − +
d)
2
2
4
x x
y
x
− −
=
−
e)
2
1
2
x x
y
x

+ −
=
−
d)
2
2
1
x kx k
y
x k
+ − +
=
− +
Bài 3: Tìm điều kiện của tham số để hàm số:
a)
( ) ( )
3 2
2 3 1 6 2 1y x m x m x= + − + − −
có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường
thẳng y = − 4x + 1.
b)
( ) ( )
3 2
2 3 1 6 1 2y x k x k k x= + − + −
có các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị thuộc đường thẳng
4y x= −
.
c)
3 2
7 3y x mx x= + + +