TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Chuyên đề 2

Dạng 1. Bài toán cực trị hàm số chứa dấu trị tuyệt đối
Bài toán: Đồ thị hàm số y  f ( x) có bao nhiêu điểm cực trị
(Áp dụng định nghĩa). y  f ( x) 

f 2 ( x)  y 

2 f ( x). f ( x)
f 2 ( x)

 f ( x)  0 1
y  0  
 f ( x )  0  2 

Số nghiệm của 1 chính là số giao điểm của đồ thị y  f ( x) và trục hoành y  0 . Còn số nghiệm
của  2 là số cực trị của hàm số y  f ( x ) , dựa vào đồ thị suy ra  2 . Vậy tổng số nghiệm bội lẻ
của 1 và  2 chính là số cực trị cần tìm.
Dạng toán này mình làm tựa theo đề tham khảo 2018, vẫn xuất hiện ở dạng toán hàm hợp, các
bạn học chú ý nhé!
Câu 1.

(Chuyên Vinh – Lần 2). Đồ thị  C  có hình vẽ bên.

Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y  f  x   m có ba điểm cực trị là:
A. m  1 hoặc m  3 . B. m  3 hoặc m  1. C. m  1 hoặc m  3 . D. 1  m  3.
Giải

1

 2
 f  x    m
Dựa vào đồ thị, suy ra hàm số có 2 điểm cực trị x1 , x2 trái dấu.
Suy ra (1) có hai nghiệm x1 , x2 trái dấu.
Vậy để đồ thị hàm số có 3 cực trị thì (2) có một nghiệm khác x1 , x2 .
Số nghiệm của (2) chính là số giao điểm của đồ thị  C  và đường thẳng y   m .
 m  1
 m  1
Do đó để (2) có một nghiệm thì dựa vào đồ thị ta có điều kiện: 

 m  3  m  3
 Đáp án. A.
Chú ý:
Nếu x  x0 là cực trị của hàm số y  f  x  thì f '  x0   0 hoặc không tồn tại f   x0  .
Câu 2.

(Đề Tham Khảo 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m
4

3

2

y  3 x  4 x  12 x  m có 7 điểm cực trị?

A. 5

B. 6


B. 6

C. 3
Lời giải

D. 1

Chọn C
y  f  x  3  1 , Đặt t | x  3 |, t  0 Thì (1) trở thành: y  f (t )(t  0)

Có t  ( x  3) 2  t ' 

x 3
( x  3) 2

Có y x  t x f  (t )

x  3
x  3
t x  0

y  0  t f (t )  0   
 t  2( L)   x  7
 f (t )  0
t  4
 x  1
Lấy x=8 có t '(8) f '(5)  0 , đạo hàm đổi dấu qua các nghiệm đơn nên ta có bảng biến thiên:

x


m 2  2m 2  m 12  0



x 4  2mx 2  2m 2  m 12  0 có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 
2m  0



2m 2  m 12  0








4m3


1  97


m3
 m  0

4


 Hàm số y  3x 4  4 x3  12 x 2  m2 có 5 điểm cực trị khi đồ thị hàm số y  f ( x) cắt trục hoành
tại 2 điểm phân biệt  3 x 4  4 x 3  12 x 2  m2  0 có 2 nghiệm phân biệt.
Phương trình 3 x 4  4 x3  12 x 2  m2  0  3x 4  4 x3  12 x 2  m2 (1).
Xét hàm số g( x)  3x4  4 x3  12 x2 ; g( x)  12 x3  12 x 2  24 x .
Bảng biến thiên:

m2  0
Phương trình (1) cớ 2 nghiệm phân biệt  
 5  m  32 .
2
5

m

32


Vậy m  3; 4;5; 3; 4; 5 .
Câu 6.

(Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số
y  3 x 4  4 x 3  12 x 2  m có 5 điểm cực trị.

A. 16

B. 44

C. 26

D. 27

A. 2

B. 4

C. 3
Lời giải

D. 1

Chọn B
x  0
Đặt f  x   x 4  2mx 2  2m  1 , f   x   4 x3  4mx , f   x   0   2
x  m

+ Trường hợp 1: hàm số có một cực trị  m   2;0 .
Đồ thị hàm số y  f  x  có một điểm cực trị là A  0; 2m  1 .
Do m   2;0  yA  2m  1  0 nên đồ thị hàm số y  f  x  cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt
nên hàm số y  f  x  có 3 cực trị  có 3 giá trị nguyên của m thỏa ycbt.
+ Trường hợp 2: hàm số có ba cực trị  m   0;2 .
Khi đó đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là



A  0; 2m  1 ,

B





Chọn D
Xét hàm số f ( x)  3 x 4  4 x 3  12 x 2  m  1 ,
Có lim f  x    , lim f  x   
x  



x  

3

2



f ( x )  12 x  12 x  24 x  12 x x 2  x  2



x  0
f ( x)  0   x  1 .
 x  2
Bảng biến thiên:


Từ bảng biến thiên, ta có hàm số y  f ( x) có 7 điểm cực trị  đồ thị hàm số y  f ( x ) cắt Ox
tại 4 điểm phân biệt  m  6  0  m  1  1  m  6 .
Câu 9.

(THPT Kinh Môn - 2018) Cho hàm số y  f ( x)  x 3  (2m  1) x 2  (2  m) x  2 . Tìm tất cả các

  0


5
1
 2  2m  1


 m2
0
 m 
 S  0  
4
2
3
P  0



m  2
2  m
 3  0
Câu 10. (Chuyên Đh Vinh - 2018) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x    x 3  2 x 2  x 3  2 x  với
mọi x   . Hàm số f 1  2018 x  có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?
A. 9 .

B. 2018 .

C. 2022 .


TH4:

0  m  3 . Đồ thị hàm số có 7 điểm cực trị. Loại.
m  3 . Đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị. Nhận.
3  m  6 . Đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị. Nhận.
m  6 . Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị. Loại.

Vậy 3  m  6 . Do m * nên m  3; 4;5 .
Facebook Nguyễn Vương 7


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Vậy tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng 12 .
Câu 12.

(THPT Quảng Yên - Quảng Ninh - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm
m
số y  3x 4  4 x3  12 x 2 
có 7 điểm cực trị?
2
A. 3 .
B. 9 .
C. 6 .
D. 4 .
Lời giải
Ta có y  3 x 4  4 x 3  12 x 2 

12 x
 y 

.
3 x  4 x 3  12 x 2  m  0  2 

2

x  0
Từ 1   x  1 .
 x  2
Vậy để hàm số có 7 điểm cực trị thì (2) phải có bốn nghiệm phân biệt khác 0;1; 2 .

x  0
m
3
2
Xét hàm số f  x   3x  4 x  12 x   f '  x   12 x  12 x  24 x  f '  x   0   x  1
2
 x  2
x 
0
2
1

f  x
0
0
0





m

5  2  0
m  10


 0  m  10 .
m
m

0

 0
 2
Vậy có 9 giá trị nguyên của tham số m để hàm số y  3x 4  4 x3  12 x 2 
Câu 13.

m
có 7 điểm cực trị.
2

(THPT Nguyễn Tất Thành - Yên Bái - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để
hàm số y  x3  3x 2  m có 5 điểm cực trị?
A. 5 .

B. 3 .

C. 6 .
Lời giải


5

3

y  3x  25 x  60 x  m
 y  15 x 4  75 x 2  60
 x  2  y  m  16
 x  1  y  m  38
x  1

y 0 2

 x  1  y  m  38
x

4


 x  2  y  m  16
2

Suy ra y  3x5  25 x3  60 x  m có 7 điểm cực trị
 m  17,37
 m  38  0  m  16
16  m  38



 m  16  0  m  38
 38  m  16


11 
.
 2

 4  2m 11  2m   0  m   2;
Câu 16.

(THPT Nguyễn Huệ - Tt Huế - 2018) Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y  f  x  . Gọi S là tập
hợp các giá trị nguyên dương của tham số m để đồ thị hàm số y  f  x  2   m có 5 điểm cực
trị. Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng
A. 15 .
B. 18 .
C. 9 .
Lời giải

D. 12 .

Cách 1: dùng đồ thị.
Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

- Nhận thấy: số giao điểm của  C  : y  f  x  với Ox bằng số giao điểm của  C1  : y  f  x  2 
với Ox .
Vì m  0 nên  C2  : y  f  x  2   m có được bằng cách tịnh tiến  C1  : y  f  x  2  lên trên m
đơn vị.
- Đồ thị hàm số y  f  x  2   m có được bằng cách lấy đối xứng qua trục hoành Ox phần đồ
thị  C2  nằm phía dưới trục Ox và giữ nguyên phần phía trên trục Ox .
- Ta xét các trường hợp sau:

+ Nếu  m  3  m  3 thì  2  có 3 nghiệm phân biệt (trong đó có 2 nghiệm đơn khác 3
nghiệm của 1 và 1 nghiệm kép trùng với 1 nghiệm của 1 )
Tóm lại : với 3  m  6 thì hai phương trình 1 và  2  có tất cả 5 nghiệm bội lẻ phân biệt và y
đổi dấu khi x đi qua các nghiệm đó, hay đồ thị hàm số y  f  x  2   m có 5 điểm cực trị.
- Lại do m   nên m  3; 4;5 hay S  3; 4;5 .
Vậy tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng 12 .
Facebook Nguyễn Vương 11


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 17.

(Sở Hưng Yên - 2018) Cho hàm số f ( x)  x3  3x 2  m với m   5;5 là tham số. Có bao
nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số f ( x) có đúng ba điểm cực trị.
A. 3 .

B. 0 .

C. 8 .

D. 6 .

Lời giải
x  0
Xét hàm số g ( x )  x 3  3 x 2  m có g '( x)  0  3 x 2  6 x  0  
.
x  2
Bảng biến thiên


của hàm số y  f  x  2017   2018

Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Từ bảng biến thiên, suy ra hàm số có 3 cực trị.
Câu 19. (Chuyên Ngữ - Hà Nội - 2018) Hàm số f  x  có đạo hàm f   x  trên  . Hình vẽ bên là đồ thị
của hàm số f   x  trên  .

Hỏi hàm số y  f  x   2018 có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 5 .

C. 2 .
Lời giải

B. 3 .

D. 4 .

Cách 1: Từ đồ thị hàm số của f   x  ta thấy f  x  có hai cực trị dương nên hàm số y  f  x 
lấy đối xứng phần đồ thị hàm số bên phải trục tung qua trục tung ta được bốn cực trị, cộng thêm
giao điểm của đồ thị hàm số y  f  x   2018 với trục tung nữa ta được tổng cộng là 5 cực trị.

 x   2018 .

Cách 2: Ta có: y  f  x   2018  f
Đạo hàm: y  f 

 x  x  


3

x
x

2

f   x  cùng dấu với  x  x2  x  x3  .

x
x2

.

Vậy hàm số y  f  x   2018 có 5 cực trị.
Câu 20.

(Sở- Nam Định - 2018) Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình vẽ

Đồ thị hàm số y  f  x   2m có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi

Facebook Nguyễn Vương 13


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

 11 
B. m   2;  .
 2

Câu 1.

(Đề Tham Khảo 2020 Lần 1) Cho hàm số bậc bốn y  f  x  có đồ thị như hình bên. Số điểm
cực trị của hàm số g  x   f  x3  3x 2  là

A. 5 .

B. 3 .

C. 7 .

D. 11 .

Lời giải
Chọn C
Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm số y  f  x  như sau

x
f  x
f  x

a




0

c


 3

f
x

3
x

0

 
 x  3 x 2  b; 0  b  4
 3
2
 x  3 x  c; c  4
x  0
Xét hàm số h  x   x 3  3 x 2  h  x   3 x 2  6 x . Cho h  x   0  
 x  2
Bảng biến thiên

Ta có đồ thị của hàm h  x   x 3  3 x 2 như sau
Từ đồ thị ta thấy:
Đường thẳng y  a cắt đồ thị hàm số y  h  x  tại 1 điểm.
Đường thẳng y  b cắt đồ thị hàm số y  h  x  tại 3 điểm.
Đường thẳng y  c cắt đồ thị hàm số y  h  x  tại 1 điểm.
Như vậy phương trình g   x   0 có tất cả 7 nghiệm đơn phân biệt.
Vậy hàm số g  x   f  x3  3x 2  có 7 cực trị.
Câu 2.

(Mã 101 - 2019) Cho hàm số y  f  x  , bảng biến thiên của hàm số f '  x  như sau:


 x 2  2 x  d  1;   
 x 2  2 x  d  0, d  1;   



(1)
(2) .
(3)
(4)

Facebook Nguyễn Vương 15


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Phương trình (1) vô nghiệm, các phương trình (2), (3), (4) đều có hai nghiệm phân biệt khác 1 và
do b, c, d đôi một khác nhau nên các nghiệm của phương trình (2), (3), (4) cũng đôi một khác
nhau. Do đó f   x 2  2 x   0 có 6 nghiệm phân biệt.
Vậy y   0 có 7 nghiệm phân biệt, do đó số điểm cực trị của hàm số y  f  x 2  2 x  là 7.
Câu 3.

(Mã 104 - 2019) Cho hàm số f  x  , bảng biến thiên của hàm số f   x  như sau:

Số điểm cực trị của hàm số y  f  4 x 2  4 x  là
A. 5.

B. 9.

C. 7.

.
0
2

f
4
x

4
x

0






 4 x 2  4 x  a1   ; 1
 2
 4 x  4 x  a2   1;0 
Từ bảng biến thiên trên ta có f  4 x 2  4 x  0   2
. (1)
 4 x  4 x  a3   0;1
 4 x 2  4 x  a  1; 


4




(Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An -2020) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  . Đồ thị





hàm số y  f   x  như hình vẽ bên. Hàm số y  f x 2  4 x  x2  4 x có bao nhiêu điểm cực trị
thuộc khoảng  5;1 ?

B. 4 .

A. 5 .

C. 6 .
Lời giải

D. 3 .

Chọn A




 g  x    2 x  4 f   x

Đặt g  x   f x 2  4 x  x 2  4 x
2

 4 x    2 x  4    2 x  4   f   x 2  4 x   1 .

 2 x 2  3x đạt cực tiểu tại điểm nào trong các điểm sau?
3
B. x  0 .
C. x  3 .
D. x  1 .
Lời giải

Chọn A
g   x    f  1  x   x 2  4 x  3 .
1  x  2
x  3
 f  1  x   0  f  1  x   0  

0  1  x  4
 3  x  1
Bảng xét dấu g   x  :

Từ bảng xét dấu g   x  ta suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x  3 .
Câu 6.

(Chuyên KHTN - 2020) Cho hàm số y  f  x  xác định trên  , có đồ thị f  x  như hình vẽ.
y
3

O
2
-1

x
y=f(x)


(Chuyên KHTN - 2020) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  , có đồ thị f   x  như hình vẽ.
y
y=f'(x)

2

O

x

Số điểm cực tiểu của hàm số g  x   f   x 2  x  là
A. 1 .

B. 4 .

C. 3 .
Lời giải

D. 2 .

Chọn A
Ta có g  x   f   x 2  x   g   x    2 x  1 f    x 2  x  .
1

1

x  2
x  2
 2 x  1  0

1

1
 x  2
 x  2

 
2


 x  x  2
 x  1
x  0
  2


    x  x  0     x  0   1
.
  x 1


2
1
  x  1
 x 
2
2


 0   x 2  x  2

1


g  x

Vậy hàm số có 1 điểm cực tiểu.
Câu 8.

(Chuyên Lam Sơn - 2020) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  , bảng biến thiên
của hàm số f '  x  như sau:





Số điểm cực trị của hàm số y  f x 2  2 x là
A. 4.

B. 5.

C. 1.
Lời giải

D. 7.

Chọn B
 x  1
Ta có y '   2 x  2  f ' x 2  2 x  0  
2
 f ' x  2 x  0

(4) đều có 2 nghiệm phân biệt.





Do đó y '  0 có 5 nghiệm đơn phân biệt. Vậy hàm số y  f x 2  2 x có 5 điểm cực trị.
Câu 9.

(Sở Bắc Giang - 2018) Cho hàm số y  f  x  có đúng ba điểm cực trị là 2; 1;0 và có đạo hàm
liên tục trên  . Khi đó hàm số y  f  x 2  2 x  có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 3 .

B. 8 .

C. 10 .
D. 7 .
Lời giải
Vì hàm số y  f  x  có đúng ba điểm cực trị là 2; 1;0 và có đạo hàm liên tục trên  nên
f   x   0 có ba nghiệm là 2; 1;0 (ba nghiệm bội lẻ).

Xét hàm số y  f  x 2  2 x  có y   2 x  2  . f   x 2  2 x  ; y  0   2 x  2  . f   x 2  2 x   0
x  1
x 1
 2
x  2 x  2

 x  0 .
 2


 2
 x  2 x  a, a  1
2
Ta có y '   2 x  2  f '  x  2 x   0   x 2  2 x  b, 1  b  0

 x 2  2 x  c,0  c  1
 2
 x  2x  d , d  1

Dựa vào đồ thị ta được y '  0 có 7 nghiệm đơn nên nó có 7 cực trị
Câu 11.

(Mã 103 - 2019) Cho hàm số f  x  , bảng biến thiên của hàm số f   x  như sau:

Số cực trị của hàm số y  f  4 x 2  4 x  là
A. 3 .

B. 9 .

C. 5 .
Lời giải

D. 7 .

Chọn D
Từ bảng biến thiên

 x  a   ; 1

x  b   1;0 

0

 
 4 x 2  4 x  c   0;1  3
 2
 4 x  4 x  d  1;    4 

Xét hàm số g  x   4 x 2  4 x , ta có g   x   8 x  4  0  x 

1
2

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên của g  x  ta có:
Vì

a   ; 1

nên

1

vô nghiệm.

Vì b   1;0  nên  2  có 2 nghiệm phân biệt.
Vì c   0;1 nên  3 có 2 nghiệm phân biệt.
Vì d  1;   nên  4  có 2 nghiệm phân biệt.
Vậy hàm số y  f  4 x 2  4 x  có 7 điểm cực trị
Cách khác:

A. 4 .

B. 3 .

C. 5 .
Lời giải
 x  2
x  0


Từ đồ thị y  f  x  ta có f  x   0  
;
x  1

x  3

D. 2 .

x  3
 x  2
f  x  0  
; f  x  0  
.
 2  x  1
1  x  3
x  0
x  0
 2
x



x  3
x  3

 x   3

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có hàm số g  x   f  x 2  có 5 điểm cực trị.
Câu 13. (THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y  f  x xác định trên  và hàm số
y  f   x  có đồ thị như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số y  f  x 2  3 .

Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

A. 4

B. 2

C. 5
Lời giải

D. 3

Chọn D
Quan sát đồ thị ta có y  f  x  đổi dấu từ âm sang dương qua x  2 nên hàm số y  f x  có
một điểm cực trị là x   2 .
x  0
x  0

A. 2 .

B. 4 .

C. 3 .
Lời giải

D. 5 .

Xét hàm số g  x   f  x 2   g   x   2 xf   x 2  .
x  0
x  0
x  0

g  x  0  
.
  x2  0  
2
x


2
 f   x   0

 x2  2


Ta có bảng xét dấu:

Từ đó suy ra hàm số y  f  x 2  có 3 điểm cực trị.