Chuyên đề : Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số
A. ĐẶT VẤN ĐỀ:
Xuất phát từ yêu cầu của Bộ GD- ĐT, từ thực tiễn dạy học môn toán ở
trường THCS Hiệu trưởng trường THCS Đức Hòa, và nhóm toán trường chúng tôi
đã bàn bạc, thảo luận biên soạn chủ đề: “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của một biểu thức đại số”, nhằm dạy cho đối tượng học sinh khá giỏi và dạy tự
chọn cũng như phục vụ cho việc giảng dạy học tập hằng ngày. Đây là một trong
những mảng kiến thức khó của toán học phổ thông cơ sở mà các em thường gặp
một số ít trong sách giáo khoa. Khi gặp các bài tập dạng này, học sinh thường lúng
túng không biết bắt đầu phải giải như thế nào? Với mong muốn giúp các em làm
quen và nắm được cách giải toán dạng này, tôi biên soạn thành một chuyên đề để
các em tham khảo và có một kĩ năng nhất định khi giải toán dạng này.
B. CƠ SỞ KHOA HỌC:
- Các kiến thức thường sử dụng là:
+ Bất đẳng thức Côsi: “Cho hai số không âm a, b; ta có bất đẳng thức:
2
a b
ab
+
≥
;
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b”.
+ Bất đẳng thức:
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2
ac bd a b c d+ ≤ + +
(BĐT: Bunhiacopxki);
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
a b

b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6)
c)
2 2
2 4 7C x x y y= − + − +
Giải:
a)
( )
2
2 2
4 4 11 4 4 1 10 2 1 10 10A x x x x x= + + = + + + = + + ≥
⇒
Min A = 10 khi
1
2
x = −
.
b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = (x-1)(x+6)(x+2)(x+3)
= (x
2
+ 5x – 6)(x
2
+ 5x + 6) = (x
2
+ 5x)
2
– 36
≥
-36
⇒
Min B = -36 khi x = 0 hoặc x = -5.

2
+ 21
≤
21
⇒
Max A = 21 khi x = -4.
b) B = 5 – x
2
+ 2x – 4y
2
– 4y
= -(x
2
– 2x + 1) – (4y
2
+ 4y + 1) + 7
= -(x – 1)
2
– (2y + 1)
2
+ 7
≤
7
GV:Huỳnh Trung Kiên Trường THCS Đức Hoà
2
Chuyên đề : Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số
⇒
Max B = 7 khi x = 1,
1
2

2 1 3 2 1 2 2 1 3 2 1 2N x x x x= − − − + = − − − +
Đặt
2 1t x= −
thì t
≥
0
Do đó N = t
2
– 3t + 2 =
2
3
2
1
( )
4
t − −

1
4
N⇒ ≥ −
.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
3 3
0
2 2
t t− = ⇔ =
Do đó
1
4
N = −

.
Bài toán 4: Cho x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức M = x
3
+ y
3
.
Giải:
M = x
3
+ y
3
= (x + y)(x
2
– xy + y
2
) = x
2
- xy + y
2

2
2 2 2 2
2 2
1
( )
2 2 2 2 2
2 2
x y x y x y
xy x y
 

) ≥ 1
Do đó
2 2
1
2
x y+ ≥
và
2 2
1 1
2 2
x y x y+ = ⇔ = =
Ta có:
2 2
1
( )
2
M x y≥ +
và
2 2
1 1 1 1
( ) .
2 2 2 4
x y M+ ≥ ⇒ ≥ =

Do đó
1
4
M ≥
và dấu “=” xảy ra
1

– y
2
+ 1)
2
+ 4x
2
y
2
– x
2
– y
2
= 0
⇔
[(x
2
+ 1) – y
2
]
2
+ 4x
2
y
2
– x
2
– y
2
= 0
⇔

– 3y
2
+ 1 = 0
⇔
x
4
+ y
4
+ 2x
2
y
2
- 3x
2
– 3y
2
+ 1 = -4x
2
⇔
(x
2
+y
2
)
2
-3(x
2
+y
2
)+1=-4x

 ÷
 
⇔ − ≤ − ≤
− +
⇔ ≤ ≤
Vì t = x
2
+ y
2
nên :
GTLN của x
2
+ y
2
=
3 5
2
+
GV:Huỳnh Trung Kiên Trường THCS Đức Hoà
4
Chuyên đề : Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số
GTNN của x
2
+ y
2
=
3 5
2
−
Bài toán 6: Cho 0 ≤ a, b, c ≤ 1. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:

2
= 1.
Tìm GTLN và GTNN của x + y.
Giải:
Ta có: (x + y)
2
+ (x – y)
2

≥
(x + y)
2

⇔
2(x
2
+ y
2
)
≥
(x + y)
2
Mà x
2
+ y
2
= 1
⇒
(x + y)
2


−

⇔ ⇔ = =

+ = −


Vậy x + y đạt GTNN là
2−

2
2
x y
−
⇔ = =
.
GV:Huỳnh Trung Kiên Trường THCS Đức Hoà
5
Chuyên đề : Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số
Bài toán 8: Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện: x
2
+ y
2
+ z
2

≤
27.
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: x + y + z + xy + yz + zx.

+2(xy + yz + zx)
≤
3(x
2
+ y
2
+ z
2
)
≤
81
⇒
x + y + z
≤
9 (1)
Mà xy + yz + zx
≤
x
2
+ y
2
+ z
2

≤
27 (2)
Từ (1) và (2) => x + y + z + xy + yz + zx
≤
36.
Vậy max P = 36 khi x = y = z = 3.

2 2 2
1
27
x y z
x y z
+ + = −


+ + =

Hay
13; 13; 1x y z= − = = −
.
Bài toán 9:
Giả sử x, y là các số dương thỏa mãn đẳng thức: x + y =
10
. Tìm giá trị của x và
y để biểu thức: P = (x
4
+ 1)(y
4
+ 1) đạt GTNN. Tìm GTNN ấy.
Giải:
Ta có: P = (x
4
+ 1)(y
4
+ 1) = (x
4
+ y

= 2t
2
– 40t + 100
Do đó: P = 2t
2
– 40t + 100 + t
4
+ 1 = t
4
+ 2t
2
– 40t + 101
= (t
4
– 8t
2
+ 16) + 10(t
2
– 4t + 4) + 45 = (t
2
– 4)
2
+ 10(t – 2)
2

+ 45
45P
⇒ ≥
và dấu “=” xảy ra
⇔

2
+ 4 – 4x + x
2
= 2x
2
– 4x + 4
= 2( x
2
– 2x) + 4
= 2(x – 1)
2
+ 2
≥
2
Vậy GTNN của A là 2 tại x = y = 1.
• Dạng 2 : CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT PHÂN THỨC
Bài toán 1:
Tìm GTLN và GTNN của:
2
4 3
1
x
y
x
+
=
+
.
Giải:
* Cách 1:

4 3 x 4 4 ( 2)
1 1
1 1 1
x x x
y
x x x
+ + + +
= = − + = − +
+ + +
1.y⇒ ≥ −
Dấu “=” xảy ra khi x = -2.
Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2.
- Với a = 4 ta có:
2 2
2 2
4 3 -4x 4 1 (2 1)
4 4 4
1 1 1
x x x
y
x x x
+ + − −
= = + = − ≤
+ + +
Dấu “=” xảy ra khi x =
1
2
.
GV:Huỳnh Trung Kiên Trường THCS Đức Hoà
7

- Nếu y
≠
0 thì (1) có nghiệm
⇔
' 4 ( 3) 0y y∆ = − − ≥

( 1)( 4) 0y y⇔ + − ≤
1 0
4 0
y
y
+ ≥

⇔

− ≤

hoặc
1 0
4 0
y
y
+ ≤


− ≥

1 4y⇔ − ≤ ≤
Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2.
Vậy GTLN của y = 4 khi x =

+ x + 1 = x
2
+ 2.
1
2
.x +
2
1 3 1 3
0
4 4 2 4
x
 
+ = + + ≠
 ÷
 
Nên (1)
⇔
ax
2
+ ax + a = x
2
– x + 1
⇔
(a – 1)x
2
+ (a + 1)x + (a – 1) = 0 (2)
• Trường hợp 1: Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0.
• Trường hợp 2: Nếu a
≠
1 thì để (2) có nghiệm, điều kiện cần và đủ là

thì x = 1
GV:Huỳnh Trung Kiên Trường THCS Đức Hoà
8
Chuyên đề : Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số
Với a = 3 thì x = -1
Kết luận: gộp cả 2 trường hợp 1 và 2, ta có:
GTNN của
1
3
A =
khi và chỉ khi x = 1
GTLN của A = 3 khi và chỉ khi x = -1
Bài toán 3:
a) Cho a, b là các số dương thỏa mãn ab = 1. Tìm GTNN của biểu thức:
2 2
4
( 1)( )A a b a b
a b
= + + + +
+
.
b) Cho m, n là các số nguyên thỏa
1 1 1
2 3m n
+ =
. Tìm GTLN của B = mn.
Giải:
a) Theo bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a
2
và b

b) Vì
1 1 1
2 3m n
+ =
nên trong hai số m, n phải có ít nhất một số dương. Nếu có một
trong hai số là âm thì B < 0. Vì ta tìm GTLN của B = mn nên ta chỉ xét trường hợp
cả hai số m, n cùng dương.
Ta có:
1 1 1
3(2 ) 2 (2 3)( 3) 9
2 3
m n mn m n
m n
+ = ⇔ + = ⇔ − − =
Vì m, n
∈
N
*
nên n – 3
≥
-2 và 2m – 3
≥
-1.
Ta có: 9 =1.9 = 3.3 = 9.1; Do đó xảy ra:
+
2 3 1 2
3 9 12
m m
n n
− = =

− = =
 
và B = mn = 6.4 = 24
Vậy GTLN của B = 24 khi
2
12
m
n
=


=

hay
6
4
m
n
=


=

Bài toán 4: Giả sử x và y là hai số thỏa mãn x > y và xy = 1. Tìm GTNN của biểu
thức:
2 2
x y
A
x y
+

x y
− −
≥ +
−
Dấu “=” xảy ra
2
2
( ) 4 ( ) 2
2
x y
x y x y
x y
−
⇔ = ⇔ − = ⇔ − =
−
(Do x – y > 0)
Từ đó:
2
2 3
2
A ≥ + =
Vậy GTNN của A là 3
2
1
x y
xy
− =

⇔


1
y
x x
=
+ +
.
Giải:
Ta có thể viết:
2
2
1 1
1
1 3
2 4
y
x x
x
= =
+ +
 
+ +
 ÷
 
Vì
2
1 3 3
2 4 4
x
 
+ + ≥

10
Chuyên đề : Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số
Giải:
Ta có thể viết:
2 2 2
1 4 1 (2 1) 4 (2 1)
( ) 1
4 4 4 4
t t t t
f t t
t t t t
+ − + −
= + = = = +
Vì t > 0 nên ta có:
( ) 1f t ≥
Dấu “=” xảy ra
1
2 1 0
2
t t⇔ − = ⇔ =
Vậy f(t) đạt GTNN là 1 tại
1
2
t =
.
Bài toán 7: Tìm GTNN của biểu thức:
2
2
1
( )

+ 1
≥
1
⇒
min (t
2
+ 1) = 1 tại t = 0
⇔
min g(t) = 1 – 2 = -1
Vậy GTNN của g(x) là -1 tại t = 0.
Bài toán 8: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện: xyz = 1. Tìm GTNN
của biểu thức:
3 3 3
1 1 1
( ) ( ) ( )
E
x y z y z x z x y
= + +
+ + +
.
Giải:
Đặt
1 1 1 1
; ; 1a b c abc
x y z xyz
= = = ⇒ = =
Do đó:
1 1
( ). ( )a b x y a b xy x y c a b
x y

11
Chuyên đề : Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số
Thật vậy: Đặt b + c = x; c + a = y; a + b = z
2
; ;
2 2 2
x y z
a b c
y z x z x y x y z
a b c
+ +
⇒ + + =
+ − + − + −
⇒ = = =
Khi đó,
2 2 2
a b c y z x z x y x y z
VT
b c c a a b x y z
+ − + − + −
= + + = + +
+ + +
1 1 1 3 3 3
1 1 1
2 2 2 2 2 2
y x z x z y
x y x z y z
   
 
= + + + + + − ≥ + + − =

2
+ y
2
= 1 (*).
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức:
2 3
2 2
x y
a
x y
+
=
+ +
.
Giải:
Từ
2 3
2 2
x y
a
x y
+
=
+ +
⇒
a(2x+y+z) = 2x+3y
⇔
2ax + ay + 2a – 2x +3y = 0
⇔
2(a – 1)x + (a – 3)y = -2a (1)

a
a a
a
+ ≥

⇔ − + ≤ ⇔

− ≤

(Vì a + 5 > a – 1)
1 5a
⇔ ≤ ≤
* Thay a = 1 vào (1) ta được: -2y = -2
⇒
y = 1
Thay y = 1 vào (*) ta có: x = 0
⇒
(x; y) = (0;1)
GV:Huỳnh Trung Kiên Trường THCS Đức Hoà
12
Chuyên đề : Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số
* Thay a = -5 vào (1) ta được: 2(-5 – 1)x + (-5 – 3)y = -2(-5)
6 5
12 8 10 6 4 5
4
x
x y x y y
− −
⇒ − − = ⇔ + = − ⇒ =
Thay vào (*) ta được:

;
10 5
x y= − = −
.
Bài toán 10:
Giả sử x, y là hai số dương thỏa mãn điều kiện: x + y = 1.
Hãy tìm gái trị nhỏ nhất cảu biểu thức:
M =
2
2
1 1
x y
x y
 
 
+ + +
 ÷
 ÷
 
 
Giải:
Ta có: M =
2
2
1 1
x y
x y
 
 
+ + +

 
Vì x, y > 0 nên ta có thể viết:
( )
2
0 2x y x y xy− ≥ <=> + ≥
Mà x + y = 1 nên 1
2 2
1 1
2 2 16xy
x y
xy
≥ <=> ≥ <=> ≥
(1)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1
2
x y= =
Ngoài ra ta cũng có:
2 2 2 2 2 2 2
( ) 0 2 2( ) 2x y x y xy x y xy x y− ≥ ⇔ + ≥ ⇔ + ≥ + +
2 2 2 2 2
2( ) ( ) 2( ) 1x y x y x y⇔ + ≥ + ⇔ + ≥
(vì x + y = 1)
2 2
1
2
x y⇔ + ≥
(2)
GV:Huỳnh Trung Kiên Trường THCS Đức Hoà
13

x y= =
.
* Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO CÓ CHỨA CĂN THỨC.
Bài toán 1: Tìm GTLN của hàm số:
2 4y x x= − + −
.
Giải:
* Cách 1:
Điều kiện:
2 0
2 4(*)
4 0
x
x
x
− ≥

⇔ ≤ ≤

− ≥

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: (ac + bd)
2

≤
(a
2
+ b
2
)(c

 
 
⇔ ≤ − + − 
 
⇔ ≤ ⇔ ≤
Vì y > 0 nên ta có:
0 2y< ≤
Dấu “=” xảy ra
2 4 2 4 3x x x x x⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ =
(Thỏa mãn (*))
Vậy GTLN của y là 2 tại x = 3.
* Cách 2:
Ta có:
2 4y x x= − + −
GV:Huỳnh Trung Kiên Trường THCS Đức Hoà
14
Chuyên đề : Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số
Điều kiện:
2 0
2 4
4 0
x
x
x
− ≥

⇔ ≤ ≤

− ≥


3 1 4 5 (1 5)y x x x= − + − ≤ ≤
.
Giải:
a) GTLN:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số:
(3; 4) và (
( 1; 5 )x x− −
ta có:
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
(3. 1 4. 5 ) (3 4 ). 1 5 100y x x x x
 
= − + − ≤ + − + − =
 
 
<=>
2
100y ≤
=> y
10
≤
Dấu “=” xảy ra <=
1 5
3 4
x x− −
−
hay
1 5
9 16

3 . 2 + 0 = 6
GV:Huỳnh Trung Kiên Trường THCS Đức Hoà
15
Chuyên đề : Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số
Dấu “=” xảy ra khi x = 5
Do đó GTNN của y là 6 khi x = 5
Bài toán 3: GTNN của y là 6 khi x = 5
Tìm GTNN của biểu thức: M =
( )
2
2
1994 ( 1995)x x− + +
Giải:
M =
( )
2
2
1994 ( 1995)x x− + +
=
1994 1995x x− + +
Áp dụng bất đẳng thức:
a b a b+ ≥ +
ta có:
M =
1994 1995 1994 1995x x x x− + + = − + +
=> M
1994 1995 1x x≥ − + − =
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 1994) . (1995 – x)
≥
0

3 16
5
25
5 5 1 5 5
5 25 2 2
a
a
a a
 
×
+ −
 ÷
 
× × + × − ≤ × + ×
=> B
2 2
9 25 41 25
5 5
2 25
a a
 
+ + −
≤ × =
 ÷
×
 
=> Do đó B
5≤
và dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi.
2

2 2 7x x+ − +
Giải:
Điều kiện:
( )
2 2
2 7 0 2 1 8 0x x x x− + ≥ <=> − − + + ≥
<=> -(x-1)
2
+ 8
0
≥

( )
2
1 8x<=> − ≤
2 2 1 2 2x<=> − ≤ − ≤
1 2 2 2 2 1x<=> − ≤ ≤ +
Với điều kiện này ta viết:
( )
2
2 2
2 7 1 8 8 2 7 8 2 2x x x x x− + = − − + ≤ => − + ≤ =
=> 2 +
( )
2
2 7 2 2 2 2 2 1x x− + ≤ + = +
Do đó:
( )
2
1 1 2 1

Giải:
Điều kiện: 1 – x
2
> 0 <=> x
2
< 1 <=> - 1 < x < 1
=> A > 0 => GTNN của A  A
2
đạt GTNN.
Ta có: A
2
=
( )
(
)
( )
2 2
2
2
2 2
2
5 3 3 5
25 30 9
16 16
1 1
1
x x
x x
x x
x

0≥
Ta có: x
2
+ 1 – x
2

( )
2 2 2
2 1 1 2 1x x x x≥ − => ≥ × × −
<=> 1
1
2
2
A A≥ × => ≤
Vậy GTLN của A =
1
2
khi x =
2
2
×
hay x =
2
2
−
Bài toán 8:
Tìm GTLN của biểu thức: y =
1996 1998x x− + −
Giải:
Biểu thức có nghĩa khi 1996

1
2
x× −
Vì 0
1x≤ ≤
nên 1 – x
0≥
GV:Huỳnh Trung Kiên Trường THCS Đức Hoà
18
Chuyên đề : Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số
Áp dụng bất đẳng thức Cô si đối với 2 số:
1
2
và (1 – x) cho ta:
( ) ( )
1 1 3
2 1 1
2 2 2
y x x x x= + × − ≤ + + − =
Dấu “=” xảy ra <=>
1 1
1
2 2
x x= − => =
Vậy GTLN của y là
3
2
tại x =
1
2

Và
( )
4 4 4x x x− = − − = −
=> M = 2 – x + 4 – x = 6 – 2x
6 2.2 2≥ − =
Vậy x < 2 thì M
2≥
2) Khi x
4≥
thì
2 2x x− = −
và x-4 =x-4
=> M =
2 4 2 6 2 4 6 2x x x− + − = − ≥ × − =
Vậy x > 4 thì M
2≥
3) Khi 2 < x < 4 thì
2 2x x− = −
và
4 4x x− = −

=> M = x – 2 + 4 – x = 2 (không phụ thuộc vào x)
Trong trường hợp này thì: 2
1 4a≤ − <
<=> 4
1 16a≤ − ≤
<=> 5
17a≤ ≤
GV:Huỳnh Trung Kiên Trường THCS Đức Hoà
19

luận được GTNN của A bằng – 7.
Bài 2:
Gọi x
1
; x
2
là các nghiệm của phương trình:
x
2
– (2m – 1) x + (m – 2) = 0
Tìm các giá trị của m để
2 2
1 2
x x+
có giá trị nhỏ nhất
Gợi ý:
∆
= 4(m - 1 )
2
+ 5 > 0. Phương trình đã cho có nghiệm với mọi m theo hệ thức Vi-
ét, ta có:
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
( ) 2 (2 1) 2( 2) 4 6 5x x x x x x m m m m+ = + − = − − − = − +
=
2
3 11 11
2
2 4 4
m

2
+ y
2
– xy = 4
Gợi ý:
Từ x
2
+ y
2
– xy = 4 <=> 2x
2
+ 2y
2
– 2xy = 8
<=> A + (x – y)
2
= 8
<=> Max A = 8 khi x = y
Mặt khác: 2x
2
+ 2y
2
= 8 + 2xy
<=> 3A = 8 + (x + y)
2

8≥
=> A
8
3

5 5
;
2 2 2
y =
Min M = -5
2
khi x = -
5
2
; y = -
5
2 2
Bài tóan 6:
Cho x, y là hai số dương thỏa mãn điều kiện: xy = 1. Tìm GTLN của biểu thức:
A =
4 2 2 4
x y
x y x y
+
+ +
Gợi ý:
GV:Huỳnh Trung Kiên Trường THCS Đức Hoà
21
Chuyên đề : Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số
Từ (x
2
– y)
2

4 2 2

= <=> = =


=

Bài tóan 7:
Tìm GTNN của biểu thức:
A =
( ) ( )
2 1 1 2 1 1x x x x+ + + + + − +
Gợi ý:
B =
1 1 1 1x x+ + + − + =>
Min B = 2 khi - 1
0x
≤ ≤
Bài toán 8: Tìm GTNN của biểu thức:
B = (x – a )
2
+ (x – b)
2
+ (x – c)
2
với a, b, c cho trước.
Gợi ý:
Biểu diễn B =
( )
( )
2
2

3y + 45
Gợi ý:
Biểu diễn P = (x – 6 – y)
2
+ 5(y – 1)
2
+ 4
Vậy Min P = 4 khi y = 1 ; x = 7
Bài toán 10: Tìm GTLN của biểu thức:
GV:Huỳnh Trung Kiên Trường THCS Đức Hoà
22
Chuyên đề : Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số
E = – x
2
+ 2xy – 4y
2
+ 2x + 10y – 3
Gợi ý:
Biểu diễn E = 10 – (x – y – 1)
2
– 3 (y – 2)
2
=> GTLN của E = 10  y = 2 ; x = 3
Bài toán 11: Tìm GTLN của biểu thức: P =
2 4 5x y z+ + ×
Biết x, y, z là các biến thỏa mãn : x
2
+ y
2
+ z

z
y
x
z
y
x
Bài toán 12:
Tìm GTNN của biểu thức sau:
a) A =
2
1
2
x
x
+
+

b) B =
2
8
3 2x
−
+
c) C =
2
2
1
1
x
x

1
x
x
− + ≥ − =>
+
Min C = - 1 khi x = 0
Bài toán 13:
Tìm GTNN của biểu thức A =
2
2
2 2000
;( 0)
x x
x
x
− +
≠
Gợi ý:
GV:Huỳnh Trung Kiên Trường THCS Đức Hoà
23
Với x
0≥
Với mọi x
Với mọi x
Chuyên đề : Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số
A =
2 2 2 2
2 2
2000 2 2000 2000 ( 2000) 1999
2000 2000

2
2
256
( 2 5) 64
2 5
x x
x x
× + + + ≥
+ +
(áp dụng BĐT Côsi)
=> Min P = 64 khi x = 1 hoặc x = -3
Bài toán 15:
Tìm GTNN của A =
2
4 4x x
x
+ +
với x > 0
B =
2
1
x
x −
với x > 1
C =
2
2
2
1
x x

4 4
4 2 4 8x
x x
+ ≥ × + =
(vì x > 0)
=> Min A = 8 khi x = 2
B =
2
1 1 1
2 ( 1) 2 2 4
1 1
x
x
x x
− +
= + − + ≥ + =
− −
(vì x > 1)
=> Min B = 4 <=> x = 2
C =
2 2
2 2
( 1) 1 2 1
2
1 1
x x x x
x x x x
+ + + × + +
≥ =
+ + + +

x x x
x x x
− + − −
+ = + + ≥ × +
− − −
=
1 3
2
2 2
+ =
=> Min F =
3
2
khi x = 3.
Bài 16: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:
P =
2
2 2
8 6x xy
x y
+
+

Gợi ý:
P = 9 -
2
2 2
( 3 )
1 1
y x

+
=
−

S có GTNN <=> x(10-x) có GTLN <=> x = 5.
=> GTNN của S =
2
5
khi x = y = 5.
Bài 18: Tìm GTNN của biểu thức:
E =
2 2
1 1x x x x+ + + − +
Gợi ý:
Ta có E > 0 với mọi x
Xét E
2
= 2 (x
2
+ 1 +
4 2
1) 4x x+ + ≥
=> Min E = 2 khi x = 0
GV:Huỳnh Trung Kiên Trường THCS Đức Hoà
25