Trường THPT Vinh Xuân

Tổ Toán - Tin

MỘT SỐ CÁCH GIẢI
TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
Lý Thuyết: Giả sử A là một biểu thức đại số ( một biến hoặc nhiều biến).
Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của A nếu :
i ) A ≥ m với mọi giá trị của biến thuộc tập xác định của A .
ii ) Tồn tại một giá trị của biến để A nhận giá trị m .
Kí hiệu: MinA = m .
Bài 1:(Trích bài tập 12 chủ đề tự chọn nâng cao SGV lớp10).
Cho các số dương x, y , z thảo mãn xyz = 1
3

1 + x + y3
1 + y3 + z3
1 + z 3 + x3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S =
+
+
xy
yz
zx
Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức cauchy cho ba số không âm.
a+b+c 3
≥ a.b.c
3
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Với a, b, c không âm ta có

xy

(1)

3
yz

(2)

3
xz

(3)

 1
1 + x3 + y 3
1 + y3 + z3
1 + z 3 + x3
1
1 
+
+
≥ 3
+
+
÷
 xy
xy
yz
xz

+
+
xy
yz
xz

Chuyên đề:“Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức” - Giáo viên thực hiện : Đỗ Văn Sơn

-1-


Trường THPT Vinh Xuân

=

Tổ Toán - Tin

1
x
y
+ 2+ 2 +
2
x y
y
x
2

1
y
z

+
+
Suy ra u + v + u =  + + ;
xy
yz
zy
y
z

Áp dụng bất đẳng thức (II) ta được:
1
x
y
1
y
z
S=
+ 2+ 2 +
+ 2+ 2 +
2 2
2 2
x y
y
x
y z
z
y

v  1
y z  uu

2
z y
x
z
2

2

2

2

y
 1
1 1  x
z  y
z
x
(1)
≥  + + ÷ +
+
+
+
+
+
÷
÷
 x
÷
z

xyz
 
 

Vậy MinS = 3 3 đạt được khi và chỉ khi (1) và (2) đồng thời xảy ra dấu bằng.
r r uu
r
x = y = z
u = v = w
⇔
⇔
⇔ x = y = z = 1.
 xyz = 1
 xyz = 1


1
≥  3. 3 2 2 2
x y z


Bài 2: Cho ba số dương x,y,z thỏa mãn: xy + yz + zx = xyz.
P=

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 x2 + y 2
2 y2 + z2
2 z 2 + x2
+

v  2 1  v  2 1  uu
v  2 1
; ÷
,
v
=
;
,
w
Chọn ba vectơ : u = 

÷
÷
 z y ÷ =  x ; z ÷
÷
y
x






v v v  2
2
2 1 1 1
+
+
; + + ÷
Suy ra u + v + u = 

y
x
z
2

 2
1 1 1
 yz + zx + xy 
2
2  1 1 1
≥ 
+
+
+  + + ÷ = 3  + + ÷ = 3. 
÷
÷= 3
÷
z
x  x y z
xyz
x y z


 y
vì xy + yz + zx = xyz.
r
r uu
r
u = kv = l w
(k > 0, l > 0)

2
2
2
2
2
Suy ra 3 ( a + b + c ) ≥ ( a + b + c ) + 2ab + 2bc + 2ca

1
2
( a + b + c)
3
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
⇔ a 2 + b2 + c 2 ≥

(III)

với x >, y > 0 .Áp dụng bất đẳng thức (III) .
2

2

2

2

2

2
1  1   1   1  1 1 1 1  1 2 1 
ta có 2 + 2 =  ÷ +  ÷  ÷ ≥  + + ÷ =  + ÷


Cộng vế theo vế ta được:
 xz + yz + xy 
2
1
2 1
2 1
3 3 3 3
P=
+ 2 + 2+ 2 + 2+ 2 ≥
 + + ÷ = 3. 
÷ = 3 (4)
2
y
x
z
y
x
z
3 y x z
xyz


Vậy MinP = 3 đạt được khi và chỉ khi (1),(2),(3) và (4) đồng thời xảy ra dấu bằng.
1 1 1
 = =
⇔ x y z
⇔ x= y= z=3 .
 xy + yz + zx = xyz


x
y  x
z
 + ÷+  +
2
2   2 2
x
y
z
= +
+ +
2
2 2
xyz
2

2

2

2

2

2

2

 y
z 


0

−
+∞

+∞
+

+∞

3
2

f (t )

Từ bảng biến thiên suy ra f (t ) ≥

1
0

3
∀t > 0 .
2

3 3 3 9
Do vai trò x, y , z như nhau nên ta được: T ≥ + + = .
2 2 2 2
9
Vậy MinT = đạt được ⇔ x = y = z = 1

y 2 xz
z 2 xy 3 3 3 9
3
3
≥ 3.
+ 3.
+ 3.
= + + = .
8 x 2 yz
8 xy 2 z
8 xyz 2 2 2 2 2
9
Vậy MinT = đạt được ⇔ x = y = z = 1
2
3

Bài 4: Cho x, y , z là ba số dương thỏa mãn x + y + z = 2 .
1
1
1
+
+
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =
x + 2 y + z y + 2z + x z + 2x + y
Cách1: Sử dụng bất đẳng thức được suy ra từ bất đẳng thức đã biết.
1 1 1
Với ba số dương a, b, c ta chứng minh được. ( a + b + c )  + + ÷ ≥ 9
a b c
Chuyên đề:“Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức” - Giáo viên thực hiện : Đỗ Văn Sơn



vì x + y + z = 2

x + y + z = 2
2
9
⇔x= y=z= .
đạt được ⇔ 
3
8
 x + 2 y + z = y + 2z + x = z + 2x + y

Bài 5: Cho hai số thực x ≠ 0, y ≠ 0 thỏa mãn và thỏa mãn hệ thức x 2 + y 2 = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B =

2 ( x 2 + 6 xy )

.
1 + 2 xy + 2 y 2
Cách 1: Sử dụng phương pháp tìm miền giá trị của hàm số.
2 ( x 2 + 6 xy )
2 ( x 2 + 6 xy )
Ta có: B =
vì x 2 + y 2 = 1.
=
2
2
2
1 + 2 xy + 2 y
x + 2 xy + 3 y

3
2

t = − 3
x
=
;
y
=
−

 2
13
13
2
Vậy MinB = −6 đạt được ⇔  x + y = 1 ⇔ 
−3
2

 y = tx
x=
;y=


13
13


Cách2: Sử dụng đạo hàm.
2 ( x 2 + 6 xy )

t = − 2

3
Bảng biến thiên:
2
1
t
−∞
−
+∞
3
3
− 0
−
B '(t )
+
0
3
0
0
B
−6
2


t = − 3
x =
 2
2
Vậy MinB = −6 đạt được ⇔  x + y = 1 ⇔ 

y +1 x +1
Bài tập3: Cho x, y , z là ba số dương thỏa mãn x + y + z ≤ 1 .
2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x +

1
1
1
+ y2 + 2 + z2 + 2
2
x
y
z

Bài tập4: Cho x, y , z là ba số dương thỏa mãn x + y + z = 2 − 2 .
1
1
1
+
+
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B =
x + 2 y + z y + 2z + x z + 2x + y
Bài tập5: Cho x, y , z là ba số thực thỏa mãn x + y + z = 0 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( MinQ = 6 )
Q = 3 + 4 x + 3 + 4 y + 3 + 4z
Kết luận:
Bài toán“tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức” là dạng toán khó trong chương trình phổ
thông.
Trên đây là một số cách giải nhằm giúp cho học sinh cuối cấp THPT có thêm một số cách giải để