MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là một dạng toán rất phổ biến,
thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10, tốt nghiệp THPT, tuyển sinh
đại học và cao đẳng, các đề thi học sinh giỏi, nhưng học sinh thường gặp không ít khó
khăn khi giải loại toán này. Vì vậy để giúp các em học sinh tự tin và làm được tốt loại
toán này, riêng đối với Thầy cô giáo đồng nghiệp thì đây cũng có thể xem là một tài
liệu tham khảo bổ ích, tôi mạnh dạng đưa ra một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của hàm số mà tôi đã và đang áp dụng trong việc giảng dạy cho học
sinh trong nhiều năm qua đạt được kết quả tốt.
2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
- Đối tượng nghiên cứu:
+ Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số (hoặc biểu thức).
+ Một số bất đẳng thức quen thuộc, các tính chất của bất đẳng thức.
+ Một số phương pháp cơ bản thường sử dụng để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của hàm số (hoặc biểu thức).
+ Ứng dụng các phương pháp vào việc giải một số bài tập cụ thể.
- Phạm vi nghiên cứu: toàn bộ kiến thức có liên quan ở lớp 10, lớp 11, lớp 12, bồi
dưỡng học sinh giỏi cấp 2, cấp 3, ôn thi đại học, cao đẳng, THCN .
3. Phương pháp nghiên cứu:
Trên cơ sở định nghĩa của khái niệm và mối liên hệ của khái niệm với các khái
niệm khác có liên quan, đề tài phân tích, tổng hợp để đưa ra một số phương pháp cơ
bản nhất để giải quyết vấn đề.


NỘI DUNG
Chương I. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
1.1. Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D ⊂ R .
1. Giá trị M được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số f(x) trên tập D nếu:


1.2. Bất đẳng thức Côsi và Bunhiacôpski:
1.2.1. Bất đẳng thức Côsi:
Cho a, b là hai số không âm, ta có bất đẳng thức:
xãy ra khi a= b.

-2-

a+b
≥ 2 ab . Dấu bằng
2


Tổng quát: với n số không âm, ta có bất đẳng thức
a1 + a2 + ... + an n
≥ a1a2 ...an . Dấu bằng xãy ra khi: a1 = a2 = ... = an
n

1.2.2. Bất đẳng thức Bunhiacôpski: Với bốn số thực bất kỳ ta luôn có:
ac + bd ≤ a 2 + b 2 c 2 + d 2 . Dấu bằng xãy ra khi:

a c
=
b d

Tổng quát: Với hai bộ số thực bất kỳ (a1; a2;…; an) và (b1; b2;…; bn). Ta có:

(a1b1 + a2b2 + ... + anbn ) 2 ≤ (a12 + a22 + ... + an2 )(b12 + b22 + ... + bn2 )
Dấu bằng xãy ra khi

a1 a2


b 

+ Nếu a>0 thì f ( x) ≥ f  − ÷∀x ∈ R .
 2a 

-3-




b 

+ Nếu a
Chú ý: Trong không gian các phép toán giữa các véctơ tương tự như trong mặt phẳng.
1.5.3. Bất đẳng thức véctơ:

r ur

Cho hai véctơ a, b (Trong mặt phẳng hoặc không gian). Khi đó ta có

r r r ur
| a + b |≤| a | +| b | (1)
r
r
r
r
Dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi a cùng phương với b ⇔ ∃k ∈ ¡ *+ : a = kb hoặc một trong
r
hai véctơ bằng 0 .
n u
n u
r
r
| ∑ ai |≤ ∑ | ai | ( n ∈ ¢ *+ )
Tổng quát:
r r i =r1 ur i =1
| a − b |≤| a | +| b | (2)
r
r
r
r
Dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi a cùng phương với b ⇔ ∃k ∈ ¡ *+ : a = kb hoặc một trong
r

r
r
: a = kb hoặc

r
r
: a = kb hoặc một

trong hai véctơ bằng 0 .

Chương 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ
NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
2.1. Phương pháp nhóm - so sánh:
2.1.1. Phương pháp:
- Nhóm các số hạng thích hợp (có dạng hằng đẳng thức), áp dụng hằng đẳng
thức để đưa về tổng bình phương.
- Áp dụng tính chất: A2 + B 2 + k ≥ k (k > 0) , dấu bằng xãy ra khi A=B=0.
2.1.2. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức P ( x, y ) = x 2 + y 2 − 2 x + 2 y + 7
Phân tích:
+ Ta thấy: P ( x, y ) = x 2 − 2 x + y 2 + 2 y + 7 = ( x 2 − 2 x + 1) + ( y 2 + 2 y + 1) + 5
+ Nên: P ( x, y ) = ( x − 1) 2 + ( y + 1) 2 + 5 ≥ 5 ∀x, y ∈ R

x −1 = 0
x = 1
⇔
. Vậy: min P = 5.
 y + 1 = 0  y = −1

+ Dấu “ =” sảy ra khi 



+ Vì x > 0 nên M =

x
1
→ min
2 > 0 do đó M → max ⇔
( x + 2000)
M

1
x 2 + 2 x.2000 + 20002 x 2 − 2.2000 x + 20002 + 4.2000 x
2 1
+
= ( x + 2000) . =
=
M
x
x
x
=

( x − 2000) 2
+ 8000 ≥ 8000
x

+ Dấu “=” sảy ra khi x = 2000 nên min
+ Vậy maxM =



2
2
2
2
+ Ta có : ( y − z ) ≥ 0 ⇒ 2( x + y + z ) ≥ 2( xy + yz + zx)
( z − x ) 2 ≥ 0

+ Suy ra T ≤ 1 . Dấu bằng sảy ra khi x = y = z = ±
Vậy: maxT = 1 khi x = y = z = ±

3
.
3

3
.
3

2.2. Phương pháp đưa về việc khảo sát tam thức bậc hai:
2.2.1. Phương pháp:
- Biến đổi biểu thức đưa về phương trình bậc hai : ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
- Áp dụng tính chất của tam thức bậc hai:
+ Nếu phương trình có nghiệm thì ∆ = b 2 − 4ac ≥ 0
+ Nếu ∆ ≤ 0 thì af ( x ) ≥ 0 ∀x
-6-


- Kết hợp với định nghĩa, đưa ra kết quả.
- Xét bài toán tìm GTLN và GTNN của hàm số y =

x2 + 3
⇔ ( y − 1) x 2 − yx + 2 y − 3 = 0 (*)
2
x −x+2

+ Xét trường hợp: y -1 = 0 ⇔ y = 1 ta có x = -1
+ Xét trường hợp: y -1 ≠ 0 ⇔ y ≠ 1. Phương trình (*) có nghiệm x nên ∆ ≥ 0 hay

y 2 − 4( y − 1)(2 y − 3) ≥ 0 ⇔ −7 y 2 + 20 y − 12 ≥ 0 ⇔

6
≤ y≤2
7

+ So sánh hai trường hợp ta có: Maxy = 2 khi x =1 và Miny =

6
khi x=-3.
7

Ví dụ 6: Tìm GTLN và GTNN của hàm số: y = sin 2 x − sin x + 4
+ Đặt t = sinx. Điều kiện t ∈ [ −1;1] , ta được y = t2 – t + 4, tung độ đỉnh t =
.

-7-

1
∈ [ −1;1]
2


2
2

(

)

9
1 < 3 ≤ 3 2 nên Minf =Ming= g 3 2 = 3 2 − ; Maxf =Maxg=g(3)=3.
2
Ví dụ 8: Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = ( x − 1)( x − 2)( x − 3)( x − 4)
+ Ta có y = ( x 2 − 5 x + 4)( x 2 − 5 x + 6)

5
2

+ Đặt t = x 2 − 5 x + 4 = ( x − ) 2 −

9
9
. Ta có: t ≥ −
4
4

9
4
Miny=y(-1)=-1 và khi x → +∞ thì y → +∞ nên không tồn tại giá trị lớn nhất .
+ Xét hàm số y = f (t ) = t 2 + 2t với t ≥ − . Dựa vào bảng biến thiên ta được

2.3. Phương pháp tọa độ vectơ:


A=

ab c − 2 + bc a − 3 + ca b − 4
Với a ≥ 3; b ≥ 4; c ≥ 2.
abc

+ Thu gọn, ta có: A =
+ Phân tích:

c−2 =

c−2
a −3
b−4
+
+
c
a
b
(c − 2).2
1
=
(c − 2).2
2
2

+ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm c-2 và 2 ta có:

c−2 ≤

2 4 4

+ Vậy MaxA =

1
2 2

+

1
2 3

+

1
khi a=6; b=8; c=4.
4

Ví dụ 11: Tìm GTNN của hàm số y = 2 x +

1
với x >0.
x2

-9-


+ Phân tích: y = 2 x +

x=

9
(a + b + c)( + + ) ≥ 9 ⇔ + + ≥
a b c
a b c a +b+c
+ Biến đổi Q =

≤ 3−

x +1−1 y +1−1 z +1−1
1
1
1
+
+
= 3−(
+
+
)
x +1
y +1
z +1
x +1 y +1 z +1

9
9 3
1
= 3 − = . Dấu “=” xãy ra khi x = y = z = .
3
x +1+ y +1+ z +1
4 4

2

T = tga.tgb + 1 + tgb.tgc + 1 + tgatgc + 1
- 10 -


+ Ta có a + b =

π
− c ⇒ tan(a + b) = cot c hay tana.tanb+tanb.tanc+tana.tanc= 1.
2

+ Khi đó: T = 1 tan a.tan b + 1 + 1 tan b.tan c + 1 + 1 tan a.tan c + 1

≤ 3 tan a.tan b + tan b.tan c + tan a.tan c + 3 = 3. 1 + 3 = 2 3
Dấu “=” xãy ra khi a = b = c =

π
. Vậy MaxT= 2 3
6

2.5. Phương pháp đạo hàm:
2.5.1. Phương pháp:
- Lập bảng biến thiên của hàm số
- Dựa vào bảng biến thiên để kết luận
2.5.2. Các ví dụ:
Ví dụ 15: Tìm GTNN của hàm số f ( x ) =

2
1


+ Vậy Minf ( x ) = 3 + 2 .
0< x
0


+ Vậy Maxy= − 4 27 khi x =

1
1
; Miny= 4 27 khi x = − 4
3
3

4

Ví dụ 17: Tìm GTLN và GTNN của hàm số y =

1
sin x + cos x

+ Xét hàm số g ( x ) = sin x + cos x có TXĐ là [ 0; π2 ]
+ g '( x ) =

cos x
sin x
cos x cos x − sin x sin x
−
=
2 sin x 2 cos x
2 sin x.cos x

g '( x) = 0 ⇔ cos x = sin x ⇒ x =

+ Ta có: y (1) = −5 5 ; y (0) = −12 ; y (2) = −8 2 ; y (3) = −3 13
+ So sánh các giá trị trên: Maxy = −3 13 ; Miny = −12 .

- 12 -


KẾT LUẬN
Trên đây là một số dạng toán và cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
hàm số hoặc biểu thức mà tôi đã áp dụng giảng dạy cho học sinh trong các năm qua và
hiện tại.
Với sáng kiến kinh nghiệm trên, tôi đã áp dụng trong các năm qua bước đầu đạt
được những kết quả thiết thực. Cụ thể:
- Đối với chất lượng đại trà, chất lượng các bài kiểm tra học kỳ hàng năm: đạt từ
80% trung bình trở lên.
- Đối với kỳ thi TN THPT: đạt từ 85% trung bình trở lên.
- Đối với bồi dưỡng học sinh giỏi bộ môn và giải toán bằng MTBT: hàng năm
đều có học sinh đạt HSG cấp Huyện và cấp TP. Đặc biệt có học sinh 01 HS dự thi cấp
quốc gia môn giải toán bằng MTBT và 01 HS đạt giải khuyến khích Tin học trẻ không
chuyên toàn quốc, 01 học sinh giỏi bộ môn tin học dự thi HSG cấp quốc gia.
Tôi tin tưởng rằng sáng kiến kinh nghiệm này là một tài liệu tham khảo không
chỉ có ích cho học sinh mà còn là tư liệu tham khảo cần thiết cho các đồng nghiệp
giảng dạy môn toán.
Mặc dù có rất nhiều cố gắng và làm việc nghiêm túc trong quá trình nghiên cứu,
nhưng chắc chắn không sao tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được các đồng
nghiệp góp ý, xây dựng để đề tài được hoàn thiện hơn nhằm góp phần vào việc nâng
cao chất lượng giảng dạy bộ môn toán.

- 13 -