Phần I. Mở đầu
I. Lí do chọn đề tài.
Bài toán xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số là một bài toán rất quen
thuộc đối với học sinh lớp 12, nó có mặt trong hầu hết các kì thi: tốt nghiệp, cao đẳng, đại
học, trung học chuyên nghiệp. Vì vậy nó có một vị trí rất quan trọng trong chơng trình
toán phổ thông. Mặt khác do đối tợng học sinh đại trà nên việc dạy và học phần này cũng
gặp nhiều khó khăn. Bài tập trong sách giáo khoa còn ít và cha đa dạng. Để việc dạy và
học phần này chủ động hơn và có hiệu quả hơn tôi viết đề tài này áp dụng cho học sinh đại
trà.
Việc giải quyết bài toán xác định tính đồng biến và nghịch biến hàm số có tác dụng
to lớn đối với học sinh:
- Thứ nhất: Thông qua bài toán xác định tính đồng biến và nghịch biến của hàm số
giúp học sinh chủ động hơn trong cách phân tích, tìm lời giải cho bài, học sinh thấy đợc
mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn, qua đó giúp học sinh có hứng thú học tập hơn,
hiệu quả giờ dạy cao hơn.
- Thứ hai: Việc giải bài toán xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số giúp
học sinh củng cố, đào sâu kiến thức rèn luyện tính linh hoạt, khả năng sáng tạo. Khi giải
bài toán này học sinh thờng xuyên phải sử dụng kiến thức liên quan nh: Giải phơng trình,
biến đổi tơng đơng, các kiến thức về đạo hàm, tam thức bậc hai, xét chiều biến thiên, kĩ
năng biến đổi ...
- Thứ ba: Thông qua việc giải bài toán xác định tính đồng biến, nghịch biến của
hàm số giúp học sinh rèn luyện các thao tác t duy nh: Phân tích, tổng hợp, có khả năng
đặc biệt hoá, khái quát hoá bài toán. Mặt khác còn rèn luyện cho học sinh các phẩm chất
trí tuệ nh: Tính cẩn thận, chặt chẽ, linh hoạt, nâng cao khả năng sáng tạo mỗi khi gặp một
bài toán có thể suy nghĩ tìm tòi những lời giải khác nhau, chọn ra cách giải hay nhất.
Tuy nhiên vấn đề xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số xen kẽ các vấn
đề khác nên học sinh gặp khó khăn nh lúng túng khi tìm đờng lối giải có khi vận dụng
một cách máy móc dập khuôn.
Vì những lí do trên, tài liệu này "Hệ thống một số phơng pháp giải bài toán
xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số những sai lầm mà học sinh hay mắc
phảitrong quá trình giải bài toán".

21
; xx

(a;b) mà
)()(
2121
xfxfxx
><
- Hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng gọi chung là hàm số đơn điệu
trên khoảng đó.
2. Điều kiện t ơng đ ơng với định nghĩa.
Giả sử
21
; xx

(a;b),
21
xx

;
12
12
12
12
)()(
xx
xfxf
xx
yy




x
y
x
trên
khoảng (a;b).
- Hàm số y=f(x) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;b)

f(x)=
0lim
0




x
y
x
trên
khoảng (a;b).
II. Liên hệ giữa tính đơn điệu và đạo hàm của hàm số.
1. Định lí 1
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b).
a, Nếu f(x)>0


x

(a;b) thì y = f(x) đồng biến trên khoảng đó.

2
1. Hàm số bậc nhất y= ax+b (a

0)
- Tập xác định: R
y = a.
a>0

y > 0

Hàm số luôn đồng biến.
a<0

y < 0

Hàm số luôn nghịch biến.
2. Hàm số bậc hai y =
cbxax
++
2
(a

0)
- Tập xác định: R
y = 2ax + b.
y = 0


a
b

a4






Hàm số đồng biến trên (
a
b
2

;
+
)
và nghịch biến trên (

;
a
b
2

).
Hàm số nghịch biến trên (
a
b
2

;
+

-4
-6
-8
-10 -5 5 10
-
4a
-
b
2a
3. Hàm số bậc ba y =
dcxbxax
+++
23
(a

0)
- Tập xác định: R
y =
cbxax
++
23
2
(a

0)
=
a
acb
a
b



+
* a,
acb 3
2
=
< 0

y cùng dấu với a.
Nếu a> 0 hàm số bậc ba luôn đồng biến.
Nếu a< 0 hàm số bậc ba luôn nghịch biến.
* Bảng biến thiên:
a>0 a<0
x


+
x


+
y + y -
y

+


y
+

b
x
3

.
Nếu a> 0 hàm số bậc ba luôn đồng biến trên khoảng







a
b
3
;
và đồng biến trên
khoảng






+
;
3a
b
.

2
-2
-4
-6
-10 -5 5 10

8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10 -5 5 10
* c,
acb 3
2
=
> 0

y = 0 có hai nghiệm phân biệt
21
; xx
(
21
xx
<
).
a>0


2
x

+

y - 0 + 0 -
y
+
f(
2
x
)
f(
1
x
)

* Đồ thị:
a>0 a<0
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10 -5 5 10
10

;0) và nghịch biến trên khoảng ( 0 ;
+
).
a> 0 : Hàm số nghịch biến trên khoảng (

;0) và đồng biến trên khoảng ( 0 ;
+
)
* Bảng biến thiên:
5
a>0 a<0
x
∞−
0
∞+
x
∞−
0
∞+
y’ - 0 + y’ + 0 -
y

∞+
∞+

f(0)
y f(0)

−∞


a>0
x
∞−

a
b
2
−
0
a
b
2

∞+

y’ - 0 + 0 - 0 +
y
∞+
f(0)
∞+

f(
a
b
2
−
) f(
a
b
2

f(0)
∞−

∞−

* §å thÞ:
6