Sáng kiến kinh nghiệm: Giải quyết các bài toán xác định tính đồng biến, nghịch
biến của hàm số
***************************************************************************
*
Phần I. Mở đầu
I. Lí do chọn đề tài.
Bài toán xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số là một bài toán
rất quen thuộc đối với học sinh lớp 12, nó có mặt trong hầu hết các kì thi: Tốt
nghiệp, cao đẳng, đại học, trung học chuyên nghiệp. Vì vậy nó có một vị trí rất
quan trọng trong chương trình toán phổ thông. Mặt khác do đối tượng học sinh
đại trà nên việc dạy và học phần này cũng gặp nhiều khó khăn. Bài tập trong
sách giáo khoa còn ít và chưa đa dạng. Để việc dạy và học phần này chủ động
hơn và có hiệu quả hơn tôI viết đề tài này áp dụng cho học sinh đại trà.
Việc giảI quyết bài toán xác định hàm số có tác dụng to lớn đối với học
sinh:
- Thứ nhất: Thông qua bài toán xác định tính đồng biến và nghịch biến của
hàm số giúp học sinh chủ động hơn trong cách phân tích, tìm lời giảI cho bài,
học sinh thấy được mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn, qua đó giúp học sinh
có hứng thú học tập hơn, hiệu quả giờ dạy cao hơn.
- Thứ hai: Việc giảI bài oán xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm
số giúp học sinh củng cố, đào sâu kiến thức rèn luyện tính linh hoạt, khả năng
sáng tạo. Khi giảI bài toán này học sinh phảI thường xuyên phảI sử dụng kiến
thức liên quan như: GiảI phương trình, biến đổi tương đương, các kiến thức về
đạo hàm, tam thức bậc hai, xét chiều biến thiên, kĩ năng biến đổi…
- Thứ ba: Thông qua việc giảI bài toán xác địng tính đồng biến, nghịch
biến của hàm số giúp học sinh rèn luyện các thao tác tư duy như: Phân tích, tổng
hợp, có khả năng đặc biệt hoá, kháI quát hoá bài toán. Mặt khác còn rèn luyện
cho học sih các phẩm chất trí tuệ như: Tính cẩn thận, chặt chẽ, linh hoạt, nâng
cao khả năng sáng tạomoix khi gặp một bài toán có thể suy nghĩ tìm tòi những
lời giảI khác nhau, chọn ra cách giảI hay nhất.
Tuy nhiên vấn đề xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số xen kẽ

∈
(a;b) mà
)()(
2121
xfxfxx <⇒<
- Hàm số y=f(x) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;b) nếu
∀

21
; xx
∈
(a;b)
mà
)()(
2121
xfxfxx >⇒<
Hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng gọi chung là hàm số đơn điệu
trên khoảng đó.
2. Điều kiện tương đương với định nghĩa.
Giả sử
21
; xx
∈
(a;b),
21
xx ≠
12
12
12
12

2
Sáng kiến kinh nghiệm: Giải quyết các bài toán xác định tính đồng biến, nghịch
biến của hàm số
***************************************************************************
*
Từ đó suy ra:
- Hàm số y=f(x) đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b)
⇒
f’(x)=
0lim
0
≥
∆
∆
→∆
x
y
x

trên khoảng (a;b).
- Hàm số y=f(x) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;b)
⇒
f’(x)=
0lim
0
≤
∆
∆
→∆
x

x

∈
(a;b). Điểm
0
x

được gọi là một điểm tới hạn của hàm số nếu tại đó f’(x) không sác định hoặc
bằng 0.
4. Quy tắc tìm tính đơn điệu của hàm số:
- Tìm khoảng đơn điệu của hàm số được thông qua bảng biến thiên.
a, Tìm các khoảng giới hạn.
b, Xác định dấu của đạo hàm trong các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn.
c, Suy ra chiều biến thiên của hàm số trong mỗi khoảng.
III. Sự đồng biến, nghịch biến của một số hàm thông dụng.
1. Hàm số bậc nhất:
y= ax+b (a
≠
0)
- Tập xác định: R
y’ = a.
a>0
⇔
y’ > 0
⇒
Hàm số luôn đồng biến.
a<0
⇔
y’ < 0
⇒


∞+
y’ - 0 +
y
∞+

∞+

a4
∆
−
Hàm số đồng biến trên (
a
b
2
−
;
∞+
) và nghịch biến trên (
∞−
;
a
b
2
−
).
+ Nếu a<0
x
∞−


- Vẽ đồ thị:
a>0
4
Sáng kiến kinh nghiệm: Giải quyết các bài toán xác định tính đồng biến, nghịch
biến của hàm số
***************************************************************************
*
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10
-5
5
10
-
4a
-
b
2a
a<0
8
6
4
2
-2

0)
=
a
acb
a
b
xa
3
3
3
3
2
2
−
−






+
=
aa
b
xa
33
3
2
∆


a<0
x
∞−

∞+

y’ - -
y
∞+

6
Sáng kiến kinh nghiệm: Giải quyết các bài toán xác định tính đồng biến, nghịch
biến của hàm số
***************************************************************************
*

∞−* Đồ thị:
a>0
8
6
4
2
-2
-4
-6
-10

x
3
−≠∀
.
Nếu a> 0 hàm số bậc ba luôn đồng biến trên khoảng






−∞−
a
b
3
;
và tiếp tục
đồng biến trên khoảng






+∞− ;
3a
b
.
Nếu a< 0 hàm số bậc ba luôn nghịch biến


6
4
2
-2
-4
-6
-10
-5
5
10
a< 0

8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10
-5
5
10
+ c,
acb 3
2
−=∆
> 0
⇒

x
)
∞−
f(
2
x
)

a<0
x
∞−

1
x

2
x

∞+

y’ - 0 + 0 -
y
∞+
f(
2
x
)
f(
1
x

4
2
-2
-4
-6
-10
-5
5
10
4. Hàm số trùng phương: y =
cbxax
++
24
(a
≠
0)
- Tập xác định: R
y’ =
bxax 24
3
+
=
( )
baxx +
2
22
- Nếu b > 0
⇒
y’ = 0 có một nghiệm x = 0
a< 0 : Hàm số đồng biến trên khoảng (

f(0)

a<0
x
∞−
0
∞+

y’ - 0 +
y
f(0)

∞−

∞−* Đồ thị :
a>0
12
Sáng kiến kinh nghiệm: Giải quyết các bài toán xác định tính đồng biến, nghịch
biến của hàm số
***************************************************************************
*
10
8
6
4
2
-2

∞−

a
b
2
−
0
a
b
2

∞+

y’ - 0 + 0 - 0 +
y
∞+
f(0)
∞+
13
Sáng kiến kinh nghiệm: Giải quyết các bài toán xác định tính đồng biến, nghịch
biến của hàm số
***************************************************************************
*

f(
a
b
2
−
) f(

) f(0)
∞−

∞−

* Đồ thị:
a>0

8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10
-5
5
10
a<0
14
Sáng kiến kinh nghiệm: Giải quyết các bài toán xác định tính đồng biến, nghịch
biến của hàm số
***************************************************************************
*


−+ xx
.
c, y =
32
24
−− xx
.
d, y =
x
xx 23
2
++
.
e, y =
13
2
−
+
x
x
.
Giải:
b, y =
43
3
−+ xx
.
- TXĐ: R
- y’ =
33




=
−=
=
⇔
1
1
0
x
x
x
Bảng biến thiên:
x
∞−
-1 0 1
∞+

y’ - 0 + 0 - 0 +
y

∞+

∞+
⇒
Hàm số nghịch biến trên khoảng (

x > 0.
y’ < 0
⇔
x < 0.
⇒
Hàm số nghịch biến trên khoảng (
0;∞−
)
Hàm số đồng biến trên khoảng (0;
∞+
)
b, y = x. lnx.
TXĐ:
*
+
R
y’ = lnx + x.
x
1
= lnx + 1
y’ > 0
⇔
lnx > 1 =
1
ln
−
e

⇔
x >

Sáng kiến kinh nghiệm: Giải quyết các bài toán xác định tính đồng biến, nghịch
biến của hàm số
***************************************************************************
*
Hàm số đồng biến trên khoảng (
+∞;
1
e
)
BÀI TOÁN 2:
Cho hàm số y = f(x). Có tập xác định R. Tìm điều kiện để hàm số luôn
luôn đồng biến.
* Phương pháp giải:
- Tính y’.
- Hàm số luôn đồng biến
⇔
y’
≥
0,
Rx ∈∀
Bài toán trở thành “ Tìm điều kiện để y’
≥
0,
Rx ∈∀
”.
+) Giả sử y’ = f’(x) =
cbxax ++
2
(a
≠

Giải:
TXĐ: R
y’ = 1 – sinx
≥
0,
Rx
∈∀
. Vì
1sin ≤x

⇒
Hàm số luôn đồng biến trên R.
* Ví dụ 2:
Cho hàm số y =
( ) ( )
2512123
23
++++−
xmxmx
. Tìm m để hàm số luôn
đồng biến.
Giải:
y’ =
( ) ( )
5121263
2
+++−
mxmx
.
∆

1
6
1
016
2
≤≤−⇔≤−
mm
.
17
Sáng kiến kinh nghiệm: Giải quyết các bài toán xác định tính đồng biến, nghịch
biến của hàm số
***************************************************************************
*
Vậy các giá trị của m cần tìm là
6
1
6
1
≤≤−
m
* Ví dụ 3:
Cho hàm số y =(m – 3)x – (2m + 1 )cosx. Tìm m để hàm số luôn nghịch
biến.
Giải:
y’ = (m – 3) + (2m + 1)sinx
Để hàm số luôn đồng biến thì ta phải có:
y’
≤
0,
Rx ∈∀

g

( ) ( )
( ) ( )



≤++−
≤+−−
⇔
0123
0123
mm
mm




≤−
≤−−
⇔
023
04
m
m






( )
2321223
22
+−−+−
mmxmx
.
∆
’ =
( )
( )
23231
2
2
+−++
mmm
=
69612
22
+−+++
mmmm
=
( )
17
2
+−
mm
Vì
( )
mmmm
∀>∆⇒∀>+−

cbxax ++
2
(a
≠
0). Hoặc y’ luôn cùng dấu với g(x).
Hàm số đồng biến trên khoảng (
+∞;
α
).



≤∆
>
⇔
0
0a
hoặc
( )









>
>

0
α
g
a
* CHÚ Ý: Tương tự cho hàm số nghịch biến trên khoảng (
+∞
;
α
).
* Ví dụ 1: Xác định m để hàm số:
y =
( )
1122
3
2
223
+−−+− xmmmxx
đồng biến trong khoảng
( )
+∞
;1
.
Giải:
y’ =
( )
1242
22
−−+−
mmmxx


+∞
;1
. Do đó, giá trị m = -1 là thích hợp.
-) Nếu m
≠
-1
0'
>∆⇒
, y’ có hai nghiệm phân biệt
21
; xx
. Giả sử
21
xx <
.
Ta có, y’
( )
21
;,0 xxx ∉∀≥
.
Điều kiện để hàm số đồng biến trong khoảng
( )
+∞−
;1
là:
( )





−≤⇔
m
và m
≠
-1
Vậy:
223
−≤
m
19
Sáng kiến kinh nghiệm: Giải quyết các bài toán xác định tính đồng biến, nghịch
biến của hàm số
***************************************************************************
*
* Ví dụ 2: Xác định m để hàm số:
y =
( )
6316)2(32
23
+−+++−
mxmxmx
đồng biến trong khoảng
( )
+∞
;5
.
Giải:
y’ =
( )
16)2(66

.
Điều kiện để hàm số đồng biến trong khoảng
( )
+∞;5
là:
y’
5,0 >∀≥ x

5
21
≤<⇔ xx
451
≤⇔≤+⇔
mm
Vậy
4≤m
thoả mãn yêu cầu bài toán.
* Ví dụ 3: Xác định m để hàm số:
y =
2
26
2
+
−+
x
xmx
nghịch biến trong khoảng
( )
+∞
;1

⇔
1
2
2
0)145(
0
S
mm
m

⇔







<−
−≤
<
12
5
14
0
m
m
m
5
14

Sáng kiến kinh nghiệm: Giải quyết các bài toán xác định tính đồng biến, nghịch
biến của hàm số
***************************************************************************
*



≤∆
>
⇔
0
0a
hoặc
( )









<
>
>∆
>
⇔
2
0

;∞−
).
* Ví dụ 1: Xác định m để hàm số:
y =
( ) ( )
2512123
23
++++−
xmxmx
đồng biến trong khoảng
( )
1;
−∞−
.
Giải:
y’ =
( )
512)12(63
2
+++−
mxmx

∆
’ =
( )
5123)12(9
2
+−+
mm
=


−>
>−
>∆
≤∆
1
2
01'
0
0'
S
y

( )
( )












−>+
>+
>
















−>
−>






>
−<
≤≤−
⇔
4
3
12













>
−<<−
≤≤−
⇔
6
1
6
1
12
7
6
1
6
1
m
m
m


−
Để hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
1;−∞−
, thì y’ giảm trên khoảng
( )
1;
−∞−
( )



−∞−∉−
<−
⇔
1;
04
2
m
m




−≥−
<<−
⇔
1
22
m

hoặc
( )







<
>
>∆
2
0
0
S
g
β
β
hoặc
( )







<
>

*
+) Giả sử y’ = g(x) =
bax +
(a
≠
0). Hoặc y’ luôn cùng dấu với g(x).
Ta cần có y’
( )
βα
;,0 ∈∀≥ x
( )
( )





≥
≥
>
⇔
0
0
0
β
α
g
g
a
hoặc

α
g
g
* CHÚ Ý: Tương tự cho hàm số nghịch biến trên khoảng (
βα
;
).
* Ví dụ 1: Xác định m để hàm số:
y =
mmxx −+−
23
đồng biến trong khoảng
( )
2;1
.
Giải:
y’ =
mxx 23
2
+−
y’ = 0




=
=
⇔=−⇔
3
2



≤−
<−
⇔
023
013
g
g
với g(x) =
mxx 23
2
+−



≥+−
>+−
⇔
0412
023
m
m






≥

312
2
++−+−
axax
aaa ∀>+−=∆ ,04'
2
⇒
y’ có hai nghiệm phân biệt
21
; xx
. Giả sử
21
xx <
. Ta có, y’
( )
21
;,0 xxx ∈∀>
.
Hàm số đồng biến trong khoảng
( )
3;0
( )
3;0,0' ∈∀>⇔ xy
. Điều kiện phải có là:
23
Sáng kiến kinh nghiệm: Giải quyết các bài toán xác định tính đồng biến, nghịch
biến của hàm số
***************************************************************************
*
21

g
g

( )



≥++−+−
≥+
⇔
03169
03
aa
a






≥
−≥
⇔
7
12
3
a
a

7