BA PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
CỦA HÀM SỐ,BIỂU THỨC.
Do LAISAC Biên soạn. A.BÀI TOÁN MỞ ĐẦU :
Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số: y= (x + 1)
2
+ (x – 3)
2
.
Giải . Hàm số viết lại: y = (x
2
+ 2x + 1) + (x
2
– 6x + 9) = 2x
2
– 4x + 10 .
Cách 1.(Dùng Bất đẳng thức )(BĐT).
Ta có y = 2x
2
– 4x + 10 = 2(x
2
– 2x + 1) + 8 = 2(x - 1)
2
+ 8 8
≥
.Rx
∈∀

Nội dung bài viết này chỉ nêu lên ba phương pháp cơ bản nhất mà ta thường sử dung để tìm
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số hay biểu thức nào đó. Tuỳ theo bài toán cụ
thể mà ta có thể sử dụng một trong ba phương pháp trên một cách tối ưu hơn.( Đôi lúc có
nhiều bài sử dụng vectơ, phương pháp tọa độ, lượng giác hóa…)
Lưu ý: Khi tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất ta luôn chỉ ra trường hợp đẳng thức xảy
ra.
Ta hay nhầm lẫn trong trường hợp đánh giá không đúng cho một bất đẳng thức.
Ví dụ trên, nếu không thận trọng ta nói : y= (x + 1)
2
+ (x – 3)
2
… thì hỏng rồi!
0≥BÀI TẬP MINH HOẠ.
Ví dụ 1.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất :
xxS cossin +=
.
HD.cách 1.( BDT). Ta có
≤+= xx
22
cossin1
1mincossin =⇒=+ SSxx
.
2222)
4
sin(22)cos)(sin11(cossin =⇒≤+=++≤+= MaxSxxxxxS
π
.

xSxSS cos)21(sin)2(34 −++=−⇔
có nghiệm
2
11
2
)34()21()2(
222
≤≤⇒−≥−++⇒ SSSS
.

Cách 2.( ĐH). Đặt
2
2
2
1
1
cos;
1
2
sin
2
t
t
x
t
t
x
x
tgt
+

Ta có :
vuvu .. ≤

32.2
22
≤−+−+⇔
xxxx
.
Đẳng thức xảy ra khi
1
2
21
2
2
=⇒
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=−
−=
=
x
kxx
xk
kx
.

.Biểu thức viết lại :
2
4 xxh
−+=
là một hàm số liên tục trong đoạn
[ ]
2;2−
.
Ví dụ 5.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
22
22
yxyx
yxyx
S
++
+−
=

( )
Ryx ∈,
.
HD. Lí luận
0
≠
x
chia tử và mẫu cho x
2
.Đặt

x

)2cos,2(sin
αα
S
.Dùng đkpt.
Ví dụ 7.Cho hai số thực x,y thay đổi và thỏa mãn điều kiện : x
0
≠
2
+ y
2
= 2x
2
y + y
2
x .
Tính giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức
yx
S
12
+=
.
HD.Đặ y = tx, thế vào điều kiện và biểu thức S ,khảo sát hàm số S ẩn t .
Ví dụ 8. Cho hai số thực dương x,y thoả điều kiện :x+y = 1.
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
.
11 y
y
x
x
f

HD.Dùng phương pháp đạo hàm.
Ví dụ 10.(1993 bảng A) .Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

)20092007()(
2
xxxf −+=
trong miền xác định của nó.
Lời giải :Miền xác định của hàm số
[ ]
2009;2009−=D
.Nhận thấy f(x) là hàm số lẻ nên ta
xét hàm số trong
[ ]
2009;0'=D
.Áp dụng bất đẳng thức BCS ta có
222
20092007.2010.)2009.1.2007.2007()20092007()( xxxxxxxf −+≤−+=−+=

2008.2008
2
20092007
.2008
22
=
−++
≤
xx
.
Vậy GTLN =
2008.2008

sin
1
222
CBA
S ++=
.
Ví dụ 12. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
3
cos

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
≥
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝

+
≥+
2
2)()(
BA
fBfAf
.
Tương tự
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
≥
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++

3
cos
ππππππ
≥
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝

⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
ππππ
CBAS
.
Cách 2.Giả sử
{}
CBAMaxA ;;=
0
32
cos
3
<
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
⇒≥⇒
ππ
BA
A
,ta có:

⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
32
cos2
2
cos
32
cos2
3
cos
3
cos
ππππ
BABABA
BA
.
Có dạng
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
ππππ
CBA
fCfBfAfCBA
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.
Cách 3.Đưa về tổng bình phương ,hoặc tam thức bậc hai.
Ví dụ 13. Cho a,b,c là ba số không âm thoảđiều kiện : a + b + c = 3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của (a
3
+ b
3
+ c
3

).


x
x
x
z
≥
+
+
+

Ví dụ 15. Cho các số thực dương x,y,z thỏa điều kiện :
6≥++ zyx
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
yx
z
zx
y
zy
x
S
+
+
+
+
+
=
333

HD: Cách 1. Áp dụng
x

=
1
1
1
1
1
1
.
HD :Áp dụng
5
2
25
1
1
1
≥
+
+
+
ab
ab
(1) .Đẳng thức xảy ra khi ab = 4
Tương tự
5
2
25
1
1
1
≥

1
25
1
≥
++
++⇔≥
+
+
+
+
+
+
cabcab
P
cabcab
P5
3
5
6
25
12
25
3
5
6
2525
3

Ví dụ 18. Cho x,y,z là ba số thỏa x + y + z = 0 .
Chứng minh rằng :
6434343
≥+++++
zyx

HD:Cách 1.Ta có
8
4
424.1.1.1443
xxx
=≥+
…
Cách 2 Dùng phương pháp vectơ.
Thí dụ 19. Cho x,y,z các số dương thỏa mãn
4
111
=++
zyx
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thưcù:S=
zyxzyxzyx ++
+
++
+
++ 2
1
2
1
2

)(
27
4)
333
1(
y
yyyyy
≥+⇒≥+++
.
4
3
3
29
4
333
11
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
≥+++=+
; 1+x =
.
3

45
14
<<
−
+=⇒
x
xx
S
.
+Ta sử dụng khảo sát hàm số.
+Hoặc
5
5
25
45
1
4
16
45
14
=≥
−
+=
−
+=
xxxx
S
.
Cách 2 : Bất đẳng thức Côsi :
5

trong đó các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện :a+b+c 3 .
≥
HD. Đặt
b
ac
a
cb
c
ba
a
c
c
b
b
a
A
a
c
c
b
b
a
A 222
222
2
+++++=⇒++=

Aùp dụng bất đẳng thức Co-si cho bốn số dương ta được
ac
c


Cộng từng vế suy ra .
3≥A
Ví dụ 23. Cho ba số thực dương a,b,c thoả mãn điều kiện: a
2
+ b
2
+ c
2
= 1 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
c
ab
b
ac
a
bc
S
++=
.
HD.
)(2)()()(
2222222
cba
c
ab
b
ac
a
bc

⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=++=
z
xy
y
zx
z
xy
x
yz

C.
HD.Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ,và bất đẳng thức thường dùng trong tam giác
Ví dụ 26. Chứng minh rằng
512
7291
1
1
1
1
1
333
≥
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜