BA PHƯƠNG PHÁP C
Ơ BẢN
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,GI
Á TR
Ị NHỎ NHẤT
CỦA HÀM
SỐ,BIỂU THỨC.
Do LAISAC Biên soạn. A.BÀI TOÁN MỞ ĐẦU :
Tìm gi
á trị nhỏ nhất (GTNN)
c
ủa hàm số: y= (x + 1)
2
+ (x – 3)
2
.
Giải . Hàm số viết l
ại: y = (x
2
+ 2x + 1) + (x
2
– 6x + 9) = 2x
2
– 4x + 10 .
Cách 1.(Dùng Bất đẳng thức )(BĐT).
Ta có y = 2x
2

1=
⇔
x
.
Ta có bảng biến thiên : x 1
y’
-
0 +
y -
∞ +
∞

8
Dựa vào bảng biến thiên ta có GTNN y = 8 khi và chỉ khi x = 1 .
B.NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP .
Nội dung bài viết này chỉ nêu lên ba phương pháp cơ bản nhất mà ta thường sử dung để tìm
giá trị l
ớn nhất, gi
á trị nhỏ nhất của một hàm số hay biểu thức nào đó. Tuỳ theo bài toán cụ
thể mà ta có thể sử dụng một trong ba phương pháp trên một cách tối ưu hơn.( Đôi lúc có
nhiều bài sử dụng vectơ, phương pháp tọa độ, lượng giác hóa…)
Lưu ý
: Khi tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất ta luôn chỉ ra trường hợp đẳng thức xảy
ra.
Ta hay nhầm lẫn trong trường hợp đánh giá không đúng cho một bất đẳng thức.
Ví dụ trên, nếu không thận trọng ta nói : y= (x + 1)
2
+ (x – 3)
2
… thì hỏng rồi!

+
=
xx
x
x
S
trong khoảng
( );
π
π
−
.
HD.cách 1.(PT). Để tồn tại giá trị S thì phương trình
4sincos2
3sin2cos
+−
+
+
=
xx
x
x
S
phải có nghiệm
x
S
x
SS cos)21(sin)2(34 −++=−⇔
có nghiệm
2

−
=
+
=⇒= .Biến đổi S thành hàm số hữu tỉ ẩn
t.Dùng phương pháp đạo hàm hoặc điều kiện phương trình bậc hai có nghiệm ,suy ra kết quả.
Ví dụ 3. Tì
m gíá trị
lớn nhất của biểu thức :
22
2.2 xxxxf −+−+= .
HD.cách 1(ĐH).Dùng đạo hàm trực ti
ếp ,chú ý hàm số liên tục trong đoạn
[
]
2;2−
.
Cách 2.Đặt
tkieänñieàuxxt ⇒−+=
2
2 .Dùng phương pháp đạo hàm, hoặc PT
Cách 3.( Vevtơ). Đặt
);2;1(),2;1;(
22
xxvxxu −=−=
22
2.2. xxxxvu −+−+=⇒
và
33.3 )2(1.)2(1.
2222
==+−+−++= xxxxvu

Ví dụ 4. Cho hai số thực x , y thay
đổi và thỏa mãn điều kiện:
2
4.)1.( xyyx −=− .
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất của tỉ số
y
x
.
HD.Điều kiện .Để tồn tại giá tr
ị lớn nhất và nhỏ nhất của
22 ≤≤− x
y
x
thì
0;0
≠
≠ yx

Biến đổi
(
)
22
44.)1.( xx
y
x
xyyx −+=⇔−=−
Đặt
h
y

.
HD. Lí luận
0≠
x
chia tử và mẫu cho x
2
.Đặt

x
y
t
=
.Khảo sát hàm số S ẩn t,hoặc đkpt.
Ví dụ 6. C
ho các số thực x,y thoả m
ãn điều kiện: x
2
+ y
2
= 1 .
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức :
322
124
2
2
+−
−+
=
yxy

Tính giá trị lớn nhất , giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
yx
S
12
+= .
HD.Đặ y = tx, thế vào điều kiện và biểu thức S ,khảo sát hàm số S ẩn t .
Ví dụ 8. Cho hai số thực dương x,y thoả điều ki
ện :x+y = 1.
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
.
11 y
y
x
x
f
−
+
−
=

HD.Đặt ,
αα
22
cossin =⇒= yx
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣

2009;2009−=D .Nhận thấy f(x) là hàm số lẻ nên ta
xét hàm số trong
[
]
2009;0'=D
.Áp dụng bất đẳng thức BCS ta có
222
20092007.2010.)2009.1.2007.2007()20092007()( xxxxxxxf −+≤−+=−+=
2008.2008
2
20092007
.2008
22
=
−++
≤
xx
.
Vậy GTLN =
2008.2008 khi và chỉ khi 2008=x
GTNN=
2008.2008− khi và chỉ khi 2008−=x .
Ví dụ 10.Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức :Q = sin
2
A + sin
2
B – sin
2
C

⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
3
cos
3
cos
3
cos
πππ
CBAS
.
HD.Chú ý
.Dùng phương pháp giải như báo Toán học ,Tuổi trẻ (tháng 3-20007).
Giải bài 12.Các

+
≥
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝

Tương tự
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
≥
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+

⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
CBA

2
3
3

CBAS
.
Cách 2.Giả sử
{}
CBAMaxA ;;=
0
32
cos
3
<
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
⇒≥⇒
ππ
BA
A
,ta có:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+

⎛
+
32
cos2
2
cos
32
cos2
3
cos
3
cos
ππππ
BABABA
BA
.
Có dạng
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
≥+
2
2)()(
BA
fBfAf
.

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
ππππ
CBA
fCfBfAfCBA
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ
khi tam giác ABC đều.
Cách 3.Đưa về tổng bì
nh phương ,hoặc tam thức bậc hai.
Ví dụ 13. Cho a,
b,c là ba số không âm thoảđiều kiện : a + b + c = 3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của (
a
3
+ b
3
+ c
3

).
www.VNMATH.com

HD: …
aa 311

x
z
≥
+
+
+

Ví dụ 15
. Cho các số thực dương x,y,z thỏa điều kiện :
6≥
+
+
zyx
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu th
ức :
yx
z
zx
y
zy
x
S
+
+
+
+
+
=
333

+
+
=
1
1
1
1
1
1
.
HD :Áp dụng
5
2
25
1
1
1
≥
+
+
+
ab
ab
(1) .Đẳng thức xảy ra khi ab = 4
Tương tự
5
2
25
1
1

1
25
1
25
1
≥
++
++⇔≥
+
+
+
+
+
+
cabcab
P
cabcab
P5
3
5
6
25
12
25
3
5
6

…
Ví dụ 18. Cho x,y,z là ba số thỏa x + y + z = 0 .
Chứng minh rằng :
6434343 ≥+++++
zyx

HD:Cách 1.Ta có
8
4
424.1.1.1443
xxx
=≥+
…
Cách 2 Dùng phương pháp vectơ.
Thí dụ 19.
Cho x,y,z các số dương thỏa mãn
4
111
=++
zyx
.
Tìm giá trị lớn nhất c
ủa biểu thưcù:S=
zyxzyxzyx ++
+
++
+
++ 2
1
2

1(
)(
27
4)
333
1(
y
yyyyy
≥+⇒≥+++
.
www.VNMATH.com
4
3
3
29
4
333
11
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
≥+++=+ ; 1+x = .
3

+=⇒
x
xx
S
.
+Ta sử dụng khảo sát hàm số.
+Hoặc
5
5
25
45
1
4
16
45
14
=≥
−
+=
−
+=
xxxx
S
.
Cách 2 : Bất đẳng t
hức Côsi :
5
)(4
25
4

b
ac
a
cb
c
ba
a
c
c
b
b
a
A
a
c
c
b
b
a
A 222
222
2
+++++=⇒++=
Aùp dụng bất đẳng t
hức Co-si cho bốn số dương ta được
ac
c
ba
c
ba

2
= 1 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
c
ab
b
ac
a
bc
S
++=
.
HD.
)(2)()()(
2222222
cba
c
ab
b
ac
a
bc
S
+++++=
.Ta có
222
)()( c
b
ac
a

⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=++=
z
xy
y
zx
z
xy
x
yz
y
zx
x
yz
z
xy
y
zx

1
1
333
≥
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
cba
.
trong đó a,b,c là các số thực dương t
hỏa mãn a + b + c = 6.
HD .Nhân vế trái ,áp dụng bất đẳng thức cho ba biểu thức , áp d

Bài 4 Trong mặt phẳng Oxy xét đường thẳng (d) :
0212 =−++ myx
và hai đường tròn :
(C
1
) : x
2
+ y
2
-2x +4y -4 = 0 . và (C
2
) : x
2
+ y
2
+ 4x - 4y -56 = 0.
Gọi I là tâm
đường tròn (
C
1
). Tìm m sao cho (d) cắt (C
1
) tại hai điểm phân biệt A và B . Với
giá trị nào của m thì diện tích tam giác IAB lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó?
Bài 5.Cho các số thực x,y thỏa m
ãn điều kiện :
.024
222
≤+−++ zxzyx
Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = 2x + 3y – 2z

Tìm tọa độ điểm M thu
ộc đường thẳng CD sao cho tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất
Bài 8.Trong mặt phẳng Oxy cho đường t
h
ẳng (d): x – 2y – 2 = 0 và hai điểm A (0 ; 1 )B (3 ;
4).
Tìm tọa độï điểm M trên (d) sao cho 2MA
2
+ MB
2
có giá trị nhỏ nhất .
Bài 9.Trong mặt phẳng v
ới hệ trục toạ độ Oxy,cho các điểm A(
1;2); B(2;-3) ;C(-1;4).
Tìm trên đường thẳng x+y+3 = 0 các điểm M
sao cho
MCMBMA 543 ++
là nhỏ nhất.
Bài 10.Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (
P
) x – 2y + 2z + 2 = 0 và hai điểm
A(4;1;3);B(2;-3;-1).Hãy tìm điểm M thuộc (P) sao cho MA
2
+MB
2
có giá trị nhỏ nhất.
Bài 11 .
Cho
hàm số
x

một điểm có hoành độ lớn hơn 1 sao cho
tại điểm này tiếp tuyến của ( C ) tạo với hai đường tiệm cận của ( C ) tạo thành một tam
giác có chu vi nhỏ nhất .
Bài 14.Cho đường cong (C) có hàm số
.
2
144
2
+
+++
=
x
xx
y
Tìm điểm M thu
ộc đường cong (
C) sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm hai đường
tiệm cận của
(C
) là nhỏ nhất.
Bài 15.Cho đường cong (C) có hàm số :
1
12
−
+
=
x
x
y
và điểm A(-2;1) thuộc (C).Tìm trên (C)

1
) ; (x
2
;y
2
) sao cho biểu
thức
A = (x
1
– x
2
)
2
+(y
1
– y
2
)
2
đạt giá trị lớn nhất.
Bài 18. Gọi
x,y là nghiệm của hệ phương trình
⎩
⎨
⎧
+=+
−=−
13
42
mymx

zxyzxy
zyx
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của x,y,z. www.VNMATH.com