bài toán tìm giá trị nhỏ nhất
"Cho . Tìm GTNN của "

Trước hết ta xem xét lời giải của bài toán trên:Cộng 2 BĐT trên ta có . Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

Tuy nhiên vấn đề đặt ra là tại sao nghĩ ra được số để thêm vào BĐT? Để giải quyết vấn đề
này, sử dụng ý tưởng dùng BĐT như trên, ta sẽ thêm vào 1 số nào đó:Cộng hai BĐT trên ta có:

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

Giả sử đã tồn tại để dấu "=" xảy ra, khi đó .
Thay vào F được GTNN của F là đạt được khi .
Như vậy việc đưa số vào áp dụng BĐT là hoàn toàn có cơ sở. Từ đó nâng bài toán lên với hệ
số các số hạng là các số dương:

"Cho . Tìm GTNN của "

Mục tiêu của chúng ta là dùng BĐT Cô-si sao cho khi cộng 2 BĐT vào, ta có vế trái là 2F cộng
với 1 số hạng nào đó, còn vế phải chứa biểu thức đã cho trong giả thiết. Rõ ràng việc đặt số
đơn lẻ sẽ không đưa đến kết quả mà phải biến đổi số hạng cộng vào mỗi BĐTCách đặt số hạng cộng vào này giúp ta triệt tiêu được c bên vế trái, nhân thêm được hệ số a vào
vế phải. Ta tiếp tục cộng 2 BĐT:



Bài toán 1: "Cho . Tìm GTNN của "

Áp dụng BĐT Cô-si:2
Cộng 3 BĐT vào:

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

. Khi đó . Giả sử tồn tại thỏa mãn dấu "=", khi đó:

. Khi đó đạt được khi Bài toán 2: "Cho . Tìm GTNN của "

Áp dụng BĐT Cô-si:Cộng 3 BĐT vào:

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

.

Tiếp tục làm tương tự như các bài trên, ta thu được kết quả: