A. đặt vấn đề

Trong chơng trình toán bậc trung học cơ sở, dạng toán Tìm giá trị nhỏ
nhất hoặc giá trị lớn nhất của một biểu thức là một dạng toán thờng đợc đa
ra trong các đề thi học kỳ, kiểm tra cuối chơng, nhằm dành cho các học sinh
phấn đấu đạt điểm giỏi. Tuy nhiên, sách giáo khoa không dành tiết học nào cho
riêng dạng bài này mà đa ra nh những bài tập nâng cao yêu cầu học sinh tự
tìm tòi giải quyết theo gợi ý của giáo viên. Chính vì vậy học sinh thờng gặp
khó khăn khi giải các bài tập dạng này nên khả năng giải quyết và trình bày
không đợc tốt.
Để giúp các em học sinh khá toán trong lớp có thể làm tốt dạng toán này,
tôi đã dành thời gian nghiên cứu tài liệu và biên soạn hệ thống phơng pháp
cùng bài tập để đa ra đề tài Phơng pháp tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn
nhất của một biểu thức với mục đích giúp học sinh tiếp thu đợc dễ dàng hơn
một dạng toán khó, đồng thời có dịp rèn luyện t duy và phát huy đợc tính tích
cực trong học tập cho học sinh. Khi học sinh có kiến thức tốt về dạng toán này,
các em sẽ đợc củng cố tốt hơn cả các bài toán nâng cao khác trong chơng
trình toán THCS nh Chứng minh một biểu thức luôn nhận giá trị dơng hoặc
âm , Chứng minh bất đẳng thức ,
Vì hiểu đợc vai trò quan trọng của dạng toán này và cũng thấy rõ các
khó khăn của học sinh học tập cũng nh giáo viên giảng dạy, tôi đã mạnh dạn
viết tài liệu Phơng pháp tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu
thức để trớc hết phục vụ cho công tác giảng dạy của chính mình, sau đó tạo
điều kiện để bản thân có dịp trao đổi chuyên môn với các đồng nghiệp, nâng cao
nghiệp vụ s phạm và năng lực nghiên cứu khoa học của cá nhân.

a) Bớc 1: Chứng tỏ rằng A(x)

k (k là một hằng số)

x

(a, b).
b) Bớc 2: Tìm giá trị x = a để A(x) = k, tức là chỉ ra trờng hợp để xảy ra dấu
đẳng thức.
c) Kết luận: Giá trị lớn nhất của A(x) = k khi x = a.
Ta thờng dùng kí hiệu: max A(x) = k

x = a.
3. Chú ý.
a) Với biểu thức chứa nhiều biến số cũng giải tơng tự nh trên.
b) Học sinh hay mắc phải sai lầm khi chỉ thực hiện bớc 1 đã kết luận bài toán,
dẫn đến kết quả sai. Vì vậy cần yêu cầu học sinh trình bày đầy đủ cả hai bớc
hết sức cẩn thận, không đợc thiếu bất cứ bớc nào.
Ví dụ 1. Cho biểu thức: A = x
2
+ (x 2)
2
.
Một học sinh đã tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A nh sau:
Ta có:

x

R, x
2

4x + 4
= 2(x
2
2x + 1) + 2 = 2(x 1)
2
+ 2 2 ,


x

R.
+) Mà: A = 2

x 1 = 0

x = 1.
+) Vậy: min A = 2
x = 1.

c) Khi giải các bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức,
ta cần nhớ các hằng bất đẳng thức sau:
1) a
2
0 (Tổng quát: a

2k


0 với k nguyên dơng).
Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0.

8)
ab
2
ba

+
với a, b 0 (Bất đẳng thức Côsi).

Xảy ra dấu đẳng thức khi a = b.
9) a

b, ab > 0

b
1
a
1

. Xảy ra dấu đẳng thức khi a = b.
10)
2
a
b
b
a
+
với ab > 0. Xảy ra dấu đẳng thức khi a = b.
d) Khi tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của một biểu thức, nhiều khi ta
cần phải đổi biến.
e) Khi tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của một biểu thức A với A > 0,

X = 0.

* Nếu a < 0 thì P có giá trị lớn nhất. Ta cũng biến đổi biểu thức P về dạng
k
aX
2
+
và có kết quả: max P = k

X = 0.
Ví dụ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:
a)
1x4xA
2
+
= ;
b)
;
1x8x2B
2
+=
c)
.
1x6x3C
2
+=
Giải.
a)
.
33)2x(3)4x4x(1x4xA

+=
b)
;
1x8x2B
2
+=
c)
.
5x6x3C
2
+=
Giải.
a)
.
55)2x(5)4x4x(1x4xA
222
++=+++=+=
A = 5 x + 2 = 0 x = -2 .

Vậy: max A = 5
x = -2.

b)
.
77)2x(27)4x4x(21x8x2B
222
+=++=+=
B = 7
x - 2 = 0 x = 2 .


.
1x3x2D
2
++=
Bài tập 2. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:
a)
1xxA
2
+
+= ;
b)
1xxB
2
+
= ;
c)
;
53x20x2C
2
+=
d)
;
1x3x2D
2
++=
e)
.
1x4x5B
2
+=

4
3
4
3
)
2
1
x(
4
3
)
4
1
xx(1xx
222
++=+++=++
.
Do đó:
.
min
2
min
)1xx(A ++
Vậy:
2
1
x
16
9
)




=
=
=
2x
2x
0x
0B

Do đó: min B = 0
x = 2.

c)
)6x)(3x)(2x)(1x(C
+
++=
=
)]3x)(2x)].[(6x)(1x[(
+
++
=
.
3636)]5x(x[36)x5x()6x5x)(6x5x(
22222
+=+=+++




234
+
+=
;
d)
.
)2x3x)(xx(Q
22
++=

Dạng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức có dạng đa thức
có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Phơng pháp giải.
Dùng một trong các tính chất sau:
3)
a 0. Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0.

4)
a a. Xảy ra dấu đẳng thức khi a 0.

5) -
a a

a . Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0.
6)
ba +

a + b . Xảy ra dấu đẳng thức khi ab 0.

Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:

2
5
x
.
b) áp dụng tính chất 6, ta có:

3x1xB

+= 2x31xx31x
=

+



+
= .

3x10)x3)(1x(2B



= .
Vậy: min B = 2
.

3x1
c) áp dụng tính chất 6 và tính chất 3, ta có:
+)
3x1x


x = 2.

* Bài tập tự giải Bài tập 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:
a)
1xxA += ;
b)
61x26x4x4B
2
+++=
;
c)
5x2xC += .

Dạng4. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức dạng phân thức
có tử là hằng số và mẫu là tam thức bậc hai .
Phơng pháp giải. Sử dụng tính chất 9:
b
1
a
1

a
b, ab > 0



. Xảy ra dấu đẳng thức khi a = b.
Ví dụ 6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
5x4x4

44)1x2(
2
+
4
3
4)1x2(
3
M
2

+
= .
+)
2
1
x
4
3
M ==
.
Vậy: max
2
1
x
4
3
M ==
.
* Chú ý. Với biểu thức dạng này, cần lu ý học sinh tránh sai lầm sau: Lập luận
rằng M có tử là hằng số nên M lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất. Ta sẽ thấy rõ sai lầm

A =

= .
Nhng ta dễ dàng nhận thấykết quả này sai, vì với x = 2 thì A = 1 >
3
1
.
Sai lầm ở chỗ: Từ -3 < 1, không thể suy ra
1
1
3
1
>

, vì -3 và 1 không cùng dấu.
Tổng quát: Từ a < b, chỉ suy ra đợc
b
1
a
1
>
khi a và b là hai số cùng dấu.
* Bài tập tự giải Bài tập 5. Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của các biểu
thức:
a)
7x6x9
1
A
2
+

e)
1x
1x
E
2
2
+

=
.

Dạng 5. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức dạng phân thức
có mẫu là bình phơng của một nhị thức bậc nhất.
Phơng pháp giải: Để tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của biểu thức A
có dạng
2
)bax(
)x(M
+
, ta viết tử thức M(x) dới dạng luỹ thừa của ax + b, sau đó
chia tử thức cho mẫu thức để viết A dới dạng tổng các phân thức mới có tử
thức là hằng số còn mẫu thức là luỹ thừa của nhị thức ax + b:

2
)bax(
p
bax
n
)x(mA
+

=
ta có:

2
2
)1x(
1)1x()1x2x(
A
+
++++
=
=
2
)1x(
1
1x
1
1
+
+
+


=
4
3
4
3
)
2

+
=
;
c)
1x2x
3x3x
C
2
2
+

+
=
;
d)
1x2x
5x6x2
D
2
2
+
+
=
.

Bài tập 7: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2
)1x(
x
A

+++
=
+
+
=
+
+
=

=
2
1
2
1
)2x(2
)2x(
2
2

+
+
.
Vậy:
2x
2
1
Amin ==

+) Để tìm giá trị lớn nhất của A, ta viết A dới dạng:


+


.
Vậy:
1x1Amax =

= .
Ví dụ 9. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức:

1x
3x4
B
2
+
+
=
.
Giải.
+) Để tìm giá trị nhỏ nhất của B, ta viết B dới dạng:

1x
)1x()4x4x(
1x
3x4
B
2
22
2
+

=
+
+
=
=
1x
)1x2()1x(4
2
22
+
+

=
4
1x
)1x2(
4
2
2

+


.
Vậy:
2
1
x4Bmax ==
.
* Bài tập tự giải.

2
+ y
2
- 2x + 2y
= (x
2
- 2x +1) + (y
2
+ 2y + 1) 2
= (x 1)
2
+ (y + 1)
2
2

2.
Vậy: min A = 2
.



=
=

1y
1x
Ví dụ 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
x
y
y

=
22
xy
)yx(
2
+

(vì x > 0, y > 0).
Vậy: min B = 2

x = y.
Ví dụ 12: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

biết .
66
yxC += 1yx
22
=+
Giải.
Ta có:
= .
323266
)y()x(yxC +=+= )yyxx)(yx(
422422
++
Vì
nên =
1yx
22
=+



=
=
1x
0y
1y
0x
* Bài tập tự giải.
Bài tập 10. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:
a) A = x
2
- 2x + y
2
+ 4y + 5 ;
b) B = xy(x 2)(y + 6) + 12x
2
24x + 3y
2
+ 18y + 36 ;
c) C = (x ay)
2
+ 6(x ay) + x
2
+ 16y
2
8xy + 2x 8y + 10.

Bài tập 11. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
A = 4x + 6y - x

với )x2)(x1(C =
1x
2
1
<<
.

Bài tập 14.
Chứng minh rằng nếu hai số dơng có tích không đổi thì tổng của chúng
nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.
áp dụng mệnh đề trên tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau (với
x > 0) :
a)
x
1x2
A
2
+
=
;
b)
x
1x4
B
2
+
=
;
c)
x2

C. Kết luận

Trên đây là những nội dung tôi đã nghiên cứu và biên soạn trớc hết
nhằm củng cố và sắp xếp có hệ thống các kiến thức cơ bản về dạng toán Tìm
giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của một biểu thức với một số dạng biểu
thức thờng gặp trong chơng trình đại số lớp 8 cho chính bản thân, sau đó tôi
đã dùng làm tài liệu để giảng dạy cho các em học sinh lớp 8 với mục đích bồi
dỡng thêm kiến thức cho các em học sinh khá giỏi về một dạng toán nâng cao
thờng gặp trong các đề thi và kiểm tra. Tôi rất mừng vì nhờ sự sắp xếp rõ ràng,
đa kiến thức từ đơn giản đến phức tạp dần trong tài liệu nên các em học sinh từ
lúc cảm giác sợ và nghĩ đây là dạng toán khó, đến khi tham gia học lại đều cảm
thấy hào hứng và làm bài tập rất tốt. Tôi mạnh dạn trình bày tài liệu này nh
một sáng kiến kinh nghiệm nhỏ nhng rất cần cho các giáo viên trực tiếp giảng
dạy toán THCS nh chúng tôi và rất mong đợc sự giúp đỡ, đóng góp ý kiến của
các Thầy Cô giáo giàu kinh nghiệm, chuyên môn giỏi trong Tổ Tự nhiên I
Trờng THCS Nguyễn Trờng Tộ để tôi có điều kiện học tập nâng cao năng lực
s phạm và trình độ chuyên môn giúp cho công tác giảng dạy đợc ngày càng
tốt hơn. Tôi xin trân trọng cám ơn! Hà Nội, tháng 4 năm 2009

Ngời viết Nguyễn Thuý Hằng



Mục lục



3

4

5

6

7

8

10

12
13


Họ và tên: Nguyễn Thuý Hằng
Chức vụ : Giáo viên
Tổ : Tự nhiên I
Trờng : THCS Nguyễn Trờng Tộ

Hà Nội, tháng 4 - 2009