TRUNG TÂM BDKT VÀ LTĐH 36/73 NGUY
ỄN HOÀNG
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH
CAO CH
ẤT LƯỢNG
SĐT: 01234332133-0978421673
CHUYÊN Đ
Ề HÀM SỐ 12
LUY
ỆN THI
T
ỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG, ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG
Hueá, thaùng 7/2012
* GTLN Và GTNN của hàm số
* Ti
ệm cận của đồ thị hàm số
* KSHS hàm b
ậc ba, trùng phương, hửu tỉ
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673
-TP HU
Ế
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn:
Tr
ần Đình Cư
1
ột số bài toán liên quan đến tiệm cận. Tìm m thỏa điều kiện K
cho trư
ớc
Chủ đề: Tiệm cận xiên (Thảo luận)
- D
ạng 3:
Các bài toán liên quan đ
ến tiệm cận hàm phân thức
Bài 5. Kh
ảo sát hàm số
V
ấn
đề 1:
Hàm trùng phương
- D
ạng 1:
Kh
ảo sát và vẽ đồ thị hàm số
- D
ạng 2:
M
ột số bài toán liên quan đên hàm trùng phương
V
ấn đề 2:
Hàm b
ậc ba
- D
ạng 1:
Kh
ảo sát và vẽ đồ thị hàm số
ần Đình Cư
2
BÀI 3. GIÁ TR
Ị LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
A. KI
ẾN THỨC CẦN NẮM
1. Đ
ịnh nghĩa:
Gi
ả s
ử hàm số
f
xác đ
ịnh trên miền D (D
R).
a)
0 0
( ) ,
max ( )
: ( )
D
f x M x D
.
b) N
ếu hàm số f nghịch biến trên [a;
b] thì
[ ; ]
[ ; ]
max ( ) ( ), min ( ) ( )
a b
a b
f x f a f x f b
.
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673
-TP HU
Ế
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn:
Tr
ần Đình Cư
3
B. PHƯƠNG PHÁP GI
ẢI BÀI TẬP
Cách 1: Thư
ờng dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.
Tính f
, …, x
n
trên [a; b] (n
ếu
có).
Tính f(a), f(b), f(x
1
), f(x
2
), …, f(x
n
).
So sánh các giá tr
ị vừa tính và kết luận.
1 2
[ ; ]
max ( ) max ( ), ( ), ( ), ( ), , ( )
n
a b
M f x f a f b f x f x f x
1 2
[ ; ]
min ( ) min ( ), ( ), ( ), ( ), , ( )
n
www.VNMATH.com
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673
-TP HU
Ế
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn:
Tr
ần Đình Cư
4
Hư
ớng dẫn:
b) B
ảng biến thiên
x
0 2
'y
- 0 + 0 +
y
3
11
3
D
ựa vào bảng biến thiên, học sinh có thể dễ dàng xác đinh GTLL,GTNN
Bài 2. Tìm GTLL và GTNN (n
D
ựa vào bảng biến thiên:
Hàm đ
ạt gía trị nhỏ nhất tại
1x
,
1Min y
. Hàm không có giá tr
ị lớn nhất
Bài 3. Tìm giá tr
ị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
1
3
-1
-1
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673
-TP HU
Ế
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn:
Tr
ần Đình Cư
5
Bảng biến thiên
x
0 2
'y
- +
y
8
D
ựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm đạt giá trị nhỏ nhất tại
0;
2, 8x Min y
Hàm không có giá tr
ị lớn nhất
Bài 4. Tìm giá tr
ị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
2
5 6y x x
trên đo
ạn [
-1;6]
Hư
ớng dẫn:
2;2D
;
www.VNMATH.com
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673
-TP HU
Ế
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn:
Tr
ần Đình Cư
6
2
2
1 ; 0 4
4
x
y y x x
x
2 sin cos 2 2sin 2;2 2
4
y u u u
;
max 2 2 ; min 2y y
Bài 7. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
2
1
1
x
y
x
trên đoạn [-1;2]
Hư
ớng dẫn:
Hàm đ
ạt giá trị nhỏ nhất tại x=
-1 và đ
ạt giá
tr
0
'( ) 0
2 2;1
x
g x
x
Do đó:
2;1 2;1
( ) 1; ( ) 19Max g x Min g x
Ta có:
2;1 ( ) 19;1 ( ) 0;19x g x g x
1 1
(0). ( 1) 0 0;1 : ( ) 0g g x g x
. V
ậy
3
1
( 0)
x x
y x
x x
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673
-TP HU
Ế
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn:
Tr
ần Đình Cư
7
d)
2
2y x x
e)
2
1
2 2
x
c)
4 2
2 3y x x
trên [–3; 2] d)
4 2
2 5y x x
trên [–2; 2]
e)
3 1
3
x
y
x
trên [0; 2] f)
1
1
x
y
x
trên [0; 4]
g)
2
2y x x
Bài 4. Tìm giá tr
ị lớn nhất và gí trị nhỏ nhất của hàm số
3 2
72 90y x x x
trên
đo
ạn [
-5;5]
Hư
ớng d
ẫn:
Hàm s
ố đã cho xác định trên
5;5
Đặt
3 2
( ) 72 90, 5;5g x x x x x
Ta có :
ƯỢNG. SĐT:0978421673
-TP HU
Ế
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn:
Tr
ần Đình Cư
8
Bài 6. Tìm giá tr
ị lớn nhất,
nh
ỏ nhất của hàm số
sin2y x x
trên đo
ạn
;
2
Hư
ớng dẫn:
5
9
Khi đ
ặt ẩn phụ, cần chú ý một số điều sau:
N
ếu
đ
ặt
2
t x
thì
0t
và gi
ả sử
1;1 0;1x t
N
ếu
sin
1;1
cos
t x
t
t x
N
ếu
ặt
2
0;1u x
. Ta có
3
3 3 2
4 1 3 12 12 4y u u u u u
2
2
3
9 24 12 0
2 0;1
u
y u u
u
( ) 3
4 4
f t t t t
liên t
ục trên
đoạn [0;1]
D
ẠNG 2: SỬ
D
ỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TÌM
GTLL VÀ GTNN
www.VNMATH.com
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673
-TP HU
Ế
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn:
Tr
ần Đình Cư
10
Bài 3. Tìm giá tr
ị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
4 2
sin os 2y x c x
Hư
ớng
d
ẫn:
Hàm đ
ã cho xác định trên
4 2 4 2
sin os 2 sin sin 3y x c x x x
Đ
ặt
2
sin , 0;1t x t
. Xét hàm
2
1
( ) 1;1
1
t
f t
t t
,
( )f t
liên t
ục trên
1;1
,
'( ) 0 0f t t
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn:
Tr
ần Đình Cư
11
2 2 2 2 2
2
sin os sin 1 sin sin
sin
4
4 4 4 4 4
4
x c x x x x
x
y
Đ
ặt
2
sin
4 , 0;4
x
t t
, xét hàm s
Đ
ẳng thức xảy ra khi
2 2
sin os
4 4 ,
2 2
x c x
k
x k
2
2 2 2 2
2
sin
sin os sin os
os
4 1
4 1 4 1 0 4 4 5
4 1
x
2
1
cos cos 1
y
x x
c)
2
2sin cos 1y x x
d)
cos2 2sin 1y x x
Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a)
2
4 2
1
1
x
y
x x
b)
2 2
4 4 3y x x x x
g)
( )f x
x D
có nghi
ệm
m
M.
2) H
ệ bất phương trình
( )f x
x D
có nghi
ệm
M
.
M
.
BÀI T
ẬP ÁP DỤNG:
Bài 1. Tìm m
để phương trình sau có nghiệm x
0; 1 3
:
2
2 2 1 (2 ) 0 (2)m x x x x
Hư
ớng dẫn:
Đ
ặt
2
t x 2x 2
. (2)
2
t 2
m (1 t 2),dox [0;1 3]
t 1
t
m g t g
1;2
2
max ( ) (2)
3
Bài 2. Tìm m
để phương trình sau có 2 nghiệm phân b
i
ệt:
2 2
10 8 4 (2 1). 1x x m x x
Hư
ớng dẫn:
D
ẠNG 3: ỨNG DỤNG VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG
TRÌNH, H
Ệ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH:
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673
-TP HU
Ế
Chun đ
ề LTĐH
Biên so
ạn:
Tr
t
x
Đi
ều kiện :
–2< t
5
.
Rút m ta có: m=
2
2 2t
t
. L
ập bảng biên thiên
12
4
5
m
ho
ặc
–5 <
4 m
Bài 3.
2 2
Tìm tham số m để bất phương trình 2 24 2 (1) có nghiệm
trên 4;6
Ta có: '( ) 0, 0;5 ( ) liên tục và đồng biến trên 0;5
Vậy bpt có nghiệm thực trên đoạn 0;5 khi ax ( ) (5) 6
f t t f t
m f t m f m m
Bài 4. Tìm m để hệ BPT:
2
3 2
3 0
2 2 4 0
x x
x x x m m
(1) có nghiệm.
Gi
ải.
(1)
2
3
x
. Hàm khơng có đ
ạo hàm tại
2x
Nhìn BBTsuy ra:
0;3
Max 3 21
x
f x f
Đ
ể (2) có nghiệm
thì
2
0;3
Max 4
x
f x m m
2 2
x
Gi
ải.
Do
,
2 2
x
,
2 4 4
x
nên đ
ặt
tg 1,1
2
x
t
2 2
2 2
2
2
2 2
2 1 1
2 1 2 1 2
1 1
t t t
m f t t t m
t t
(2)
Ta có:
2
2 2 1 2 2 0 1; 1 2f t t t t t t
Đ
ể (2) có nghiệm
1,1t
@ Chú ý:
ở bài trên ta đã sử dụng công thức đặt
tg
2
x
t
thì
2
2
1
cos
1
t
x
t
;
2
2
sin
1
t
x
t
. Công th
ức này trong SGK không có. Tuy nhiên, ta nên biết
3 3
4 4
1 1 1
0 3
4
2 4
f x x
x x
Nhìn BBT suy ra:
3 2 2,4f x f x
Phương tr
ình
4 4
2 4 2f x x x
có nghi
ệm duy nhất
x 3
Bài 5. Gi
ải phương trình:
3 5 6 2
2 2
3 ln3 5 ln5 0
x x
f x
x
(x) đ
ồng biến
M
ặt khác
(x) liên t
ục và
0 ln3 ln5 6 0f
,
1 3ln3 5ln5 6 0f
Phương tr
ình
(x) 0 có đúng 1 nghi
ệm
x
0
Nhìn b
ảng biến thiên suy ra:
Phương tr
ình
x x
x x x mx m
m
x
x
2;1
Bài toán yêu c
ầu
1 2
(1) 2 (2)
4 3
f m f m
Bài 3. Tìm m
đ
ể các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x
R:
a)
2
2 1x x m
c)
4
4 0mx x m
Bài 4. Cho b
ất phương trình:
3 2
2 1 0x x x m
.
www.VNMATH.com
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673
-TP HU
[0; 1].
Bài 6. Tìm m đ
ể BPT:
2
2 9m x x m
có nghi
ệm
đúng
x
Hư
ớng dẫn:
2
2 9m x x m
2
2 9 1m x x
2
2 9 1
x
m f x
x
Ta có:
x
x
;
2
1 1
lim lim
9 2
1
2
x x
f x
x
x
Nhìn BBT ta có
f x m
,
x
3 3
ƯỢNG. SĐT:0978421673
-TP HU
Ế
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn:
Tr
ần Đình Cư
17
(Ph
ần nâng cao
-b
ồi d
ưỡng học sinh giỏi
-Trích tài li
ệu của Trần Ph
ương và tham
kh
ảo phần
tài li
ệu Sĩ Tùng)
Phương Pháp:
1. Cách này d
ựa trực tiếp vào định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số.
Ch
ứng minh một bất đẳng thức.
Tìm m
đổi) có dạng:
m
y
0
M (3)
Vì y
0
là m
ột giá trị bất kì của f(x) nên từ (3) ta suy ra được:
min ( ) ; max ( )
D
D
f x m f x M
BÀI T
ẬP MẪU:
Bài 1
.
Tìm giá tr
ị nhỏ nhất của hàm số
2
4 2 1f x x x x
Gi
ải.
G
ọi
y
0
=
2 2 2
0 0 0 0
(1 ) 3(1 ) 2(2 1)y y y y
=
0 0
2( 1)(2 1) 0y y
D
ẠNG 4
: Ch
ứng minh bất
đẳng thức, tìm GTLL và GTNN của hàm số
trên m
ột miền
www.VNMATH.com
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673
-TP HU
Ế
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn:
Tr
ần Đình Cư
18
Tìm các giá tr
ị của
m sao cho
Min 1y
Gi
ải.
Ta có
2
1
2
2
5 4 ; x 1 4 :
5 4 ; 1 4 :
x m x x P
f x
x m x x P
G
5
2
C
m
x
.
Nhìn vào đồ thị ta xét các khả năng sau:
N
ếu
x
C
[x
A
, x
B
] m[ 3, 3] thì Minf(x) = Minf(1), f(4).
Khi đó Minf(x) > 1
3 3
(1) 1
(4) 4 1
m m
A
B
C
P
2
P
1
A
B
C
P
2
P
1
A
B
C
P
1
P
2
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673
-TP HU
Ế
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
, 0
1
x y
x y
Tìm giá tr
ị nhỏ nhất của
S =
1 1
x y
x y
Gi
ải:
2
x y
S y x x y x y x y x y
y x
M
ặt khác,
S =
xy x y
2S
MinS =
2
.
Bài 4. (Đ
ề 33 III.2, Bộ đề thi TSĐH 1987
– 1995)
Cho
2 2
1x y
. Tìm Max, Min c
ủa
A
1 1x y y x
.
Gi
ải.
1. Tìm MaxA: S
ử dụn
g b
ất đẳng thức
BunhiaCôpski ta có
A
ếu
x 0, y 0 thì
A
2 2
( ) (1 ) (1 ) 2x y x y x y
=
2 2
2 2 1x y x y
T
ừ 2 khả năng đã xét suy ra với
0xy
thì Min A = 1
www.VNMATH.com
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673
-TP HU
Ế
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn:
Tr
ần Đình Cư
20
2 2 2
1 1 1
1 2 1
2 2 2
t t t
t t
2
1
1 2 2 1
2
t
t
2 3 2
1
1 2 2 1 2 2 2
2
A f t t t t
Ta có:
1 2
2 19 3 2
; 0
27
f t f t
.
Nhìn b
ảng biến thiên suy ra:
2
1 1
A f t A f t
suy ra
1
2 19 3 2
Min 1
27
A f t
x
ảy r
a
1
x y t
;
2 19 3 2
Min
27
A
Bài 5. Cho
a,b,c 0
th
ỏa mãn điều kiện
3
a b c
2
Tìm giá tr
ị nhỏ nhất của
2 2 2
2 2 2
1 1 1
S a b c
b c a
Gi
ải. Sai lầm thường gặp:
2 2 2 2 2 2
3
6
Biên so
ạn:
Tr
ần Đình Cư
21
6
2 2 2
6
2 2 2
1 1 1
3. 2 2 2 3. 8 3 2 Min 3 2a b c S
b c a
Nguyên nhân:
1 1 1 3
Min 3 2 1 3
2
S a b c a b c
a b c
mâu thu
ẫn với giả
thi
ết
Phân tích và tìm tòi l
ời giải :
a b c
a b c
1 4
4
16
Cách 1: Bi
ến
đổi và sử dụng bất đẳng thức
Côsi ta có
2 2 2
2 2 2 2 2 2
16 16 16
1 1 1 1 1 1
16 16 16 16 16 16
S a b c
b b c c a a
2 2 2
5 15
17
17
3 17 3 17 3 17
2
2 (2 2 2 )
2 2 2
2
3
a b c
a b c
. V
ới
1
2
a b c
thì
3 17
Min
2
S
Cách 2: Bi
ến đổi và sử dụng bất đẳng thức
BunhiaCôpski ta có
www.VNMATH.com
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
1 1 1 1 4
1 4
17 17
1 1 1 1 4
1 4
17 17
1 1 1 1 4
1 4
17 17
a a a
b
b b
b b b
c
c c
c c c
a
a a
6 3
3
1 1 1 1 15 1 1 1 1 45 1
6 3 3
4 4 4 4 4
17 17
abc
a b c a b c
abc
1 45 1 1 45 3 17
3 3 2
4 4 2
17 17
3
a b c
. V
ới
1
2
a b c
thì
2 2
2
1 1 1 1 15 1 1 1
16 16
a b c
a b c a b c
2
3
15
1 1 1 1 1 1 1
2 3
4
16
a b c
a b c a b c
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
1
2 16
3
a b c
9 135 18 135 153 3 17
4
2 16 4 4 4 2
. Với
1
2
a b c
thì
3 17
Min
2
S
Bài 6. a) L
ập bảng biến thiên và tìm giá trị lớn nhất của hàm số
2
3
1
x
y
2
2
2
3 / 3 /
lim lim lim lim
1
1
1
x x x x
x x x x
x
y
x
x
x
x
.
Suy ra
lim 1; lim 1
x x
y y
. Nhìn BBT
ta có
2
2
2
: 3 10. 1
: 3 10. 1
: 3 10. 1
x a a a
x b b b
x c c c
2 2 2
9 10. 1 1 1a b c a b c
2 2 2
10 1 1 1a b c
Cách 2. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy đặt
;1 ; ;1 ; ;1OA a AB b BC c
.
Khi đó
; 3OC OA AB BC a b c
.
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673
-TP HU
Ế
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn:
Tr
ần Đình Cư
24
Do
OA AB BC OA AB BC OC
T
ừ đó suy ra
2 2 2
1 1 1 10a b c
Copyright: Tài liệu đại học ©