Thư viện sách trực tuyến
SỬ DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

A). Phương Pháp:


Với phương trình có dạng : )()( mgxf
=

Chúng ta thực hiện các bước sau ñây:
Bước 1: Xem ñó là phương trình hoành ñộ giao ñiểm của )(xf và )(mg .Do ñó số nghiệm của
phương trình là số giao ñiểm của 2 hàm số
Bước 2: Xét hàm số )(xfy
=

• Tìm tập xác ñịnh
D

• Tính ñạo hàm '
y , rồi giải phương trình 0'
=
y
• Lập bảng biến thiên của hàm số
Bước 3: Kết luận:
• Phương trình có nghiệm )(max)()(min xfmgxf
≤
≤
⇔

• Phương trình có k nghiệm phân biệt
⇔

⇔

• Bất phương trình nghiệm ñúng
Dx
∈
∀
)(max
mgy
≤
⇔

Chú ý : Nếu )()(
mgxf
≥
thì:
•
Bất phương trình có nghiệm
D
∈
)(min
mgy
≥
⇔

•
Bất phương trình nghiệm ñúng
Dx
∈
∀
)(max


b)
)45(12 xxmxxx −+−=++

c)
mxxxx ++−=−+ 99
2

d)
mxx =−+
4
2
1

Thư viện sách trực tuyến
e)
0113
4
4
=−++− xmxx

f)
4
2
4
2
422)422( −=+−−+− xxxxm

g)
03)cot(tancottan

=
xx
x
xx
x
y

1)12(1)12(0'
22
+−+=++−⇔= xxxxxxy


+−+=++−
>+−
⇔
)1()12()1()12(
0)12)(12(
2222
xxxxxx
xx⇔
vô nghiệm
Mà
01)0('
>

x
y
xx

• Bảng biến thiên : Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
11
<
<
−
mb)
)45(12
xxmxxx −+−=++

ðiều kiện :
40
04
05
012
0
≤≤⇔



∞
−

∞
+

'
y

+
y

1

-1

Thư viện sách trực tuyến
• Nhận xét rằng :
- Hàm
)12()(
++=
xxxxh
là hàm ñồng biến trên
D

- Hàm
xxxg
−−−=
45)(

≤≤−⇔
mc)
mxxxx ++−=−+ 99
2

ðiều kiện :

90
09
0
≤≤⇔



≥−
≥
x
x
x

Biến ñổi phương trình :
mxxxx ++−=−+ 9)9(29
2mxxxx =+−+−−⇔ 9299
22

1)92(0'
2
=






+−
+−⇔=
xx
xy2
9
=⇔ x

• Bảng biến thiên :

Vậy phương trình có nghiệm khi :
9
4

9

9

'y

– 0 +
y

9 94
9
−

Thư viện sách trực tuyến
• ðạo hàm :

x
x
x
y
2
1
)1(2
'
4
32
−

Do ñó Dxxy ∈∀< 0)('
⇔
hàm số ñồng biến
• Giới hạn:
0
)1)(1(
1
lim)1(limlim
2
4
2
4
2
=
++++
=−+=
+∞→+∞→+∞→
xxxx
xxy
xxx

• Bảng biến thiên: Vậy phương trình có nghiệm khi :
10
≤

=+−−
≤
⇔
mxxx
x
13)1(
1
44

Xét hàm số
xxxy 13)1(
44
+−−=
• Miền xác ñịnh :
(
]
1,∞−=D

• ðạo hàm :

91212134)1(4'
233
++−=+−−−= xxxxy

0912120'
2
=++−⇔= xxy





'y
–
y

1
0
Thư viện sách trực tuyến

Vậy ñể phương trình có nghiệm khi :
2
3
−≥mf)
4
2
4
2
422)422( −=+−−+− xxxxm
ðiều kiện :
2
≥

2
44
=
−
+
−








+
+
−
x
x
x
x
m
(*)
ðặt
4
2
2
−
+
=

4
1
2
2
)('
4
3
2
4
3
'
<






−
+
−
−
=






−

2
>
x .
Mà
4
2
2
−
+
=
x
x
t
2
2
4
−
+
=⇔
x
x
t1
)1(2
2)2(
4
4
4

1
1
01
0
1
4
2
1
)1(2
2
2
4
44
4
t
t
t
t
t
tt
t

x

∞
−

2
1
−

2
tfmg
t
tt
mt
t
m =⇔
+
+
=⇔=−






+⇒

Xét hàm số
1
2
2
)(
2
+
+
=
t
tt
tf
Vậy ñể phương trình có nghiệm :
11)(
>
⇔
>
mmg

g)
03)cot(tancottan
22
=++++ xxmxx
ðặt
x
x
t
cot
tan
+
=
2cottan
222
++=⇒ xxt
Tìm ñiều kiện cho t :
2cot.tan2cottancottan
≥⇔≥+=+= txxxxxxt

∨
−
−∞
=
D
• ðạo hàm :
Dx
t
t
tf ∈∀>
−
=
0
1
)('
2
2

• Giới hạn :
±∞=
+
=
±∞→±∞→
t
t
tf
tt
1
lim)(lim
2


2
−

2

∞
+

'
y
+ +
y2
5
−
∞
+∞
−

2
5

Thư viện sách trực tuyến
Vậy ñể phương trình có nghiệm:

626222
44
(1)
ðiều kiện :
60
06
02
≤≤⇔



≥−
≥
x
x
x

Xét hàm số
xxxxy −+−++=
626222
44

• Miền xác ñịnh:
[
]
6,0=D

• ðạo hàm
x
x

0'
4
3
4
3
=
−
−+
−
−⇔=
xx
xx
y0
6
1
2
1
)6(2
1
6
1
2
1
2
1
6
1







−
−⇔
xxxxxxxx
44
6
1
2
1
xx −
=⇔

xx
−
=
⇔
62

2
=
⇔
x

• Bảng biến thiên:


+)66(2
4
+
1212
4
+ Thư viện sách trực tuyến

b)
6164164
4
3434
=++−+++− mxxxmxxx

ðặt
)0(164
4
34
≥++−= tmxxxt
Lúc ñó :
066
22
=−+⇔=+ tttt



+−= xxxf

016840)('
23
=+−⇔= xxxf




=
−=
⇔
2
1
x
x

• Giới hạn

+∞=+−=
+∞→+∞→
)164(lim)(lim
34
xxxxf
xx+∞=+−=
−∞→−∞→
)164(lim)(lim

Bài làm:
Biến ñổi phương trình:
1cos
2
−= xmx (1)
Nhận xét: (1) có nghiệm khi
0
≤
m
( vì
0
>
m lúc ñó
0,0 <> VPVT
)
Lúc ñó (1)
m
x
x
x
x
m −=






⇔
−

16
-11

Thư viện sách trực tuyến
m
x
x
2
2
2
sin
2
2
−=






⇔
(2)
ðặt
2
x
t =
. Vì




2
2
−=






⇔−=⇔

Xét hàm số:
t
t
tf
sin
)( =

• Miền xác ñịnh






=
4
,0
π
D

sin
lim)(lim
00
=






=
→→
t
t
tf
tt

• Bảng biến thiên:

Vậy ñể phương trình có ñúng một nghiệm :
22
2
2
4

212
2
−+
=⇔
x
x
m
(vì
22
2
≥+x
)
Xét hàm số
12
)(
2
−+
=
x
x
xf

• Miền xác ñịnh :
R
D
=


x
xf220)('
2
=+⇔= xxf2±=⇔ x

• Giới hạn

1
1
)12(
lim
12
lim)(lim
2
2
2
=








2
2
−=








+
++
=








−+
=
−∞→−∞→−∞→
x
xx
x
x
xf

≥+− mxxm

Bài làm :
a) Xét hàm số :
mxxxxfy 256)(
2
++−==




<<−++−=
≥∨≤+−+=
=
)51(5)3(2)(
)51(5)3(2)(
)(
2
2
2
1
xxmxxf
xxxmxxf
xf

ðể bất phương trình nghiệm ñúng với mọi
x











<+−
>
>
⇔
>−
>
>
⇔ m
mm
m
m
mf
f
f

Vậy với
51
<
<
m

1

Thư viện sách trực tuyến
b) ðặt
)0(3 >= tt
x

Lúc ñó :
)()(
1
101.
2
22
tfmg
t
t
mtmtttm ≥⇔
−
≥⇔−≥⇔≥+−

Xét hàm số
2
1
)(
t
t
tf
−
=


• Giới hạn :
0
2
lim)(lim
4
2
=








−
=
+∞→+∞→
t
tt
tf
xx

• Bảng biến thiên:

Xét hàm số
1
4
)(
4
+
=
x
x
xf

• Miền xác ñịnh
R
D
=

• ðạo hàm
( )
2
4
4
1
124
)('
+
−
=
x
x
xf


∞
−
0
x

∞
−

4
3
1
−

4
3
1

∞
+

'y

— 0 + 0 —
Thư viện sách trực tuyến
3
≥
x

ðặt
)0(3 ≥−= txt

Lúc ñó :
1)3(
2
+≤−+ mttm
2
1
1)2(
2
2
+
+
≤⇔+≤+⇔
t
t
mttm)()( tfmg
≤
⇔

Xét hàm số:
2


310)(' ±−=⇔= xtf

• Giới hạn :
0
2
1
lim)(lim
2
=
+
+
=
+∞→+∞→
t
t
tf
tt

• Bảng biến thiên : ðể bất phương trình có nghiệm:
4


+ 0 —
y4
13 +2
1
0
Thư viện sách trực tuyến
b)
xxx
m
222
sincossin
3.32 ≥+
(*)
Chia 2 vế của (*) cho
x
2
sin
3
ta có:

)1(
9
1





⇔≥+






−

Xét hàm số
xx
y
22
sinsin
9
1
.3
3
2






+





+






≤






+






≤





2
>−++− mxxx
(*)
Xét hàm số
6234)(
2
−++−= mxxxxf




≤≤−++−=
≥∪≤+−+=
=⇔
)31(9)2(2)(
)31(5)3(2)(
)(
2
2
2
1
xxmxxf
xxxmxxf
xf

Vậy (*) có nghiệm
0)(max

056
062
0)2(
0)3(
0)1(
2
2
2
2
m
mm
m
m
mf
f
fBài 3: Tìm tất cả m ñể bất phương trình
3
3
1
23
x
mxx −≤−+− thoả mãn với 1
≥
x
Bài làm:
Biến ñổi bất phương trình về dạng:
3

+∞= ,1D

• ðạo hàm :
Dx
x
xx
x
xx
xf ∈∀>
+−
=
+−
= 0
4)1(2422
)('
5
33
5
36

• Giới hạn : +∞=
+−
=
+∞→+∞→
5
36
422
lim)(lim
x
xx


Bài 4: Tìm tất cả m ñể bất phương trình m
x
x
≥
−1log
log
2
2
2
2
nghiệm ñúng với mọi 0
>
x
Bài làm:
ðặt
xt
2
2
log=
Tìm ñiều kiện cho
t
: Vì 10
>
⇔
>
tx
Lúc ñó :
)()(
1

t
t
tf

20)('
=
⇔
=
ttf
• Giới hạn :
( )
=
−
−
=
+∞→+∞→
3
2
12
2
lim)(lim
t
t
tf
tt
∞
+

( )
+∞=

⇔
≥
⇔
1)()(min
Bài 5: Tìm m ñể bất phương trình
m
xx
<






+−−
)32(log
2
4
4
3
nghiệm ñúng với mọi
(
)
0,2−∈x

y∞
+

Nhận xét : ñề bài yêu cầu thoả mãn
(
)
0,2−∈x

Do ñó ta xét giao của hai tập hợp trên :
(
)
0,2−∈x

Xét hàm số :
)32(log)(
2
4
+−−= xxxf
• Miền xác ñịnh
(
)
0,2−=D

• ðạo hàm
)32.(2ln2
22
4ln
)32ln(
)('
2
'
2
+−−

)0,2(
−
∈
x mmxf <






⇔<⇔
3log
4
4
3
)(max

Loại 3: Bài toán tìm m ñối với hệ phương trình
Bài 1: Tìm m ñể hệ phương trình có nghiệm:






=+
=+−
)2(2
)1(0
xyy

y
yy
=⇔
−
=⇔=+−
+−

Xét hàm số
y
y
yf
44
)(
−
=
• Miền xác ñịnh
(
]
{
}
0\2,∞−=D

• ðạo hàm
0
4
)('
2
>=
y
yf .Hàm số ñồng biến trên

→
−∞→
)(lim
)(lim
4)(lim
0
0
yf
yf
yf
y
y
y

• Bảng biến thiên : Vậy ñể hệ có nghiệm :
),4(]2,(
+∞
∪
−∞
∈
m

Bài 2: Xác ñịnh m ñể hệ phương trình có hai cặp nghiệm phân biệt


1
log
3
3
<<⇔>
−
+
⇔>
−
+
x
x
x
x
x

ðặt
)52(log
2
2
+−= xxt
Tìm ñiều kiện của t:
• Xét hàm số
)3,1()52(log)(
2
2
∈∀+−= xxxxf

• ðạo hàm:
)3,1(

tt
xxx

Suy ra ứng với mỗi giá trị
)3,2(
∈
t
thì ta luôn có một giá trị
)3,1(
∈
x

Lúc ñó (2) suy ra:
mtt
t
m
t =−⇔=− 55
2

Xét hàm số
)3,2(5)(
2
∈∀−= ttttf

• ðạo hàm :
2
5
052)(' =⇔=−= tttf

• Bảng biến thiên :

3

Thư viện sách trực tuyến ðể hệ có 2 cặp nghiệm phân biệt
6
4
25
4
25
6 <<⇔−>−>−⇔ mmBài 3: Tìm m ñể hệ có nghiệm
),( yx
thoả mãn ñiều kiện
4
≥
x


32
≤
≤
t

Khi ñó (2)
mttt ≤+−++⇔ 1265
22

Xét hàm số
1265)(
22
+−++= ttttf

• Miền xác ñịnh
[
]
3,2=D

• ðạo hàm :
126
3
5
)('
22
+−
−
+
+
=

+−+−=+−⇔ ttttttt045302
2
=+−⇔ tt
vô nghiệm với
Dx
∈

Mà
)(0)3(' tff
⇒
>
ñồng biến trên
D

Do ñó:
5)2(min
=
f

ðể hệ có nghiệm
),( yx
thoả mãn
4
≥
x
⇔
(2) có nghiệm thoả (1) và

6
−
4
25
− Thư viện sách trực tuyến






−=−
=+−+
)2(sinsin
)1(052
2
yxyx
mxxyx

Bài làm:
Biến ñổi (2) về dạng:
yyxx sinsin −=−
≥
tf
⇔
≠
∀
0t
hàm số ñồng biến
Từ (*)
y
x
=
⇔
.Thay vào (1):
053
2
=+− mxx
(**)
ðể hệ có hai nghiệm với tung ñộ trái dấu
⇔
phương trình (**) có 2 nghiệm
trái dấu
00
<
⇔
<
⇔
mPBài 5: Tìm m ñể hệ có nghiệm:

33 yx
yx
+=+⇔)()( yfxf
=
⇔

Xét hàm số
3
3)( ttf
t
+=

• Miền xác ñịnh
R
D
=

• ðạo hàm
033.3ln)('
2
>+= txf
t
.Hàm số ñồng biến
Do ñó
y
x
=

x
thoả ñiều
kiện
2
1
≥x

Bài 3: Tìm m ñể phương trình
0)1(2 =++− mxx
có ba nghiệm phân biệt
Thư viện sách trực tuyến
Bài 4: Tìm m ñể phương trình
1
3
1
2
2
2
++=






−
mm
xx
có bốn nghiệm phân biệt
Bài 5: Tìm m ñể phương trình

2
2
54
2
xmxx
x
x

Bài 8: Tìm m ñể hệ phương trình có ba cặp nghiệm phân biệt




=+
=−++
1
0)1(3
2
xyx
myx

Bài 9: Tìm m ñể hệ có nghiệm



≥−−−
≤−−
0153
043
23

1212
mxmx
x
xxx