Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.

MỤC LỤC

Nội dung

Trang

I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

2

2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài

2

3. Đối tượng nghiên cứu

3

4. Giới hạn của đề tài

3

5. Phương pháp nghiên cứu

3

a) Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận



c) Mối quan hệ giữa các giải pháp, biện pháp

27

d) Kết quả khảo nghiệm, giá trị khoa học của vấn đề nghiên cứu,
phạm vi và hiệu quả ứng dụng

27

III. PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
1. Kết luận

28

2. Kiến nghị

29

I. PHẦN MỞ ĐẦU
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk

1


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.

1. Lý do chọn đề tài:
Toán học là một bộ môn khoa học tự nhiên mang tính logíc, tính trừu
tượng cao. Trong chương trình Toán ở cấp THCS hiện nay thì phần lớn hệ

cực trị của một biểu thức đại số” giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn bản chất của
từng dạng bài toán tìm cực trị của một biểu thức, nắm vững phương pháp giải
của từng dạng, giúp cho học sinh biết phân loại và vận dụng phương pháp giải
một cách linh hoạt và có hiệu quả. Qua đó giúp học sinh phát huy được tính tích
cực và tinh thần sáng tạo trong học tập, phát triển năng lực tư duy toán học cho
học sinh, tạo động lực thúc đẩy giúp các em học sinh có được sự tự tin trong học
tập, hình thành phẩm chất sáng tạo khi giải toán và niềm đam mê bộ môn.
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk

2


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.

Thông qua đề tài này nhằm cung cấp những kiến thức cần thiết về phương
pháp giải toán, những kinh nghiệm cụ thể trong quá trình tìm tòi lời giải giúp
học sinh rèn luyện các thao tác tư duy lô-gic, phương pháp suy luận và khả năng
sáng tạo cho học sinh. Trong đề tài lời giải được chọn lọc với cách giải hợp lí,
chặt chẽ, dễ hiểu đảm bảo tính chính xác, tính sư phạm. Học sinh tự đọc có thể
giải được nhiều dạng toán cực trị, giúp học sinh có những kiến thức toán học
phong phú để học tốt môn toán và các môn khoa học khác.
3. Đối tượng nghiên cứu:
Một số kinh nghiệm trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi khi dạy
chuyên đề về tìm cực trị của một biểu thức đại số.
4. Giới hạn của đề tài:
Đề tài này được nghiên cứu trong khuôn khổ một số dạng toán tìm cực trị
của một biểu thức
Đối tượng khảo sát: học sinh giỏi khối lớp 8 và khối lớp 9 trường THCS
Lê Đình Chinh, xã Quảng Điền, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk.
Thời gian nghiên cứu: Qua các năm học: 2014 – 2015, 2015 – 2016 và

thông. Là giáo viên ai cũng mong muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hội kiến
thức dễ dàng, phát huy tư duy sáng tạo, rèn tính tự học, thì môn toán là môn học
đáp ứng đầy đủ những yêu cầu đó. Việc học toán không phải chỉ là học trong
sách giáo khoa, không chỉ làm những bài tập do thầy, cô ra mà phải nghiên cứu
đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng quát hoá vấn đề và rút ra được những điều
gì bổ ích. Dạng toán về tìm giá trị lớn nhất và tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu
thức đại số là dạng toán rất quan trọng trong chương trình môn đại số 8 và đại số
9 làm cơ sở để học sinh học tiếp các chương sau này. Có thể nói đây là những
bài toán khó thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi, các bài toán này rất
phong phú về thể loại và về cách giải, đòi hỏi học sinh phải vận dụng nhiều kiến
thức, linh hoạt trong biến đổi, sắc sảo trong lập luận và phát huy tối đa khả năng
phán đoán. Với mục đích nhằm nâng cao chất lượng dạy và học toán, tôi thiết
nghĩ cần phải trang bị cho học sinh kiến thức về tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của một biểu thức đại số. Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải
bài toán cực trị một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao. Để thực
hiện tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kĩ năng
như quan sát, phân tích, nhận dạng bài toán, lựa chọn phương pháp giải phù hợp.
Từ đó, hình thành cho học sinh tư duy tích cực, độc lập, kích thích tò mò ham
tìm hiểu và đem lại niềm vui cho các em, đồng thời khơi dậy cho các em sự tự
tin trong học tập và niềm đam mê bộ môn. Hơn nữa, các bài toán cực trị sẽ gắn
toán học với thực tiễn vì việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất chính là việc
tìm những cái tối ưu thường đặt ra trong đời sống và kỹ thuật.
2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu:
Trong những năm qua, tôi đã trực tiếp tham gia bồi dưỡng đội tuyển học
sinh giỏi khối 8 và khối 9 của trường THCS Lê Đình Chinh và cũng đã trải
nghiệm rất nhiều chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, trong đó có chuyên đề
“Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số” và tôi cũng đạt
được thành tích trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi. Tuy nhiên, khi áp dụng
chuyên đề trên còn nặng về phương pháp liệt kê các bài toán, chưa phát huy
được hiệu quả học tập của học sinh. Chính vì vậy, để học sinh nắm vững và giải

a > 0 và đạt giá trị lớn nhất nếu a < 0.
* Phương pháp giải:
Đặt A = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 )
Trường hợp a > 0: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, ta thực hiện
qua ba bước sau:
Bước 1: Thêm bớt hạng tử và sử dụng một trong hai hằng đẳng thức:
2
2
( a + b ) = a 2 + 2ab + b 2 hoặc ( a − b ) = a 2 − 2ab + b 2 để biến đổi biểu thức A sao cho
A ≥ k (với k là hằng số);
Bước 2: Tìm giá trị x0 để A = k
Bước 3: Kết luận AMin = k khi x = x0.
Trường hợp a < 0: Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A, ta thực hiện
qua ba bước sau:
Bước 1: Thêm bớt hạng tử và sử dụng một trong hai hằng đẳng thức:
2
2
( a + b ) = a 2 + 2ab + b 2 hoặc ( a − b ) = a 2 − 2ab + b 2 để biến đổi biểu thức A sao cho
A ≤ k (với k là hằng số);
Bước 2: Tìm giá trị x0 để A = k
Bước 3: Kết luận AMã = k khi x = x0.
* Thủ thuật tìm giá trị nhỏ nhất hoặc tìm giá trị lớn nhất của tam thức bậc
hai ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 ) trên máy tính cầm tay CASIO 570VN PLUS:
Ấn

Nhập giá trị của a, ấn phím
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk

5


+ − + 3 = x − ÷ +
2 4 4
2
4


2

1

Vì  x − ÷ ≥ 0 với mọi x ∈ R
2

2

1  11 11

nên  x − ÷ + ≥ với mọi x ∈ R
2
4 4

1
1
Dấu “=” xảy ra ⇔ x − = 0 ⇔ x =
2
2
1
11
Vậy AMin =
khi x =

Vậy CMax = 10 khi x = − 3
Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: D = - 2x2 + 5x +1
Giải:
2

5 
5 25  25
33
5



Ta có: D = −2  x 2 − x ÷+ 1 = −2  x 2 − 2x. + ÷+ + 1 = − 2  x − ÷
2 
4 16  8
8
4



2

2

5
33
5  33


− 2 x − ÷ ≤

2

≥ 0 với mọi x ∈ R

nên ( x − 1) + ( x − 3) ≥ 0 với mọi x ∈ R
2

2

x −1 = 0
x = 1
⇔
x − 3 = 0
x = 3
Vậy EMax = 0 khi x = 1 và x = 3

Dấu “=” xảy ra ⇔ 

Phân tích sai lầm trên như sau:
2
Vì ( x − 1) ≥ 0 (1) với mọi x ∈ R
và ( x − 3) ≥ 0 (2) với mọi x ∈ R
Nhưng không thể kết luận được giá trị nhỏ nhất của E bằng 0 vì không
đồng thời xảy ra dấu bất đẳng thức ở (1) và (2) .
Lời giải đúng như sau:
Ta có: E = x 2 − 2x + 1 + x 2 − 6x + 9 = 2x 2 − 8x + 10
2

= 2(x 2 − 4x + 4) + 2 = 2(x − 2) 2 + 2



Dạng 2: Biểu thức có dạng là phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam
thức bậc hai
b

* Chú ý: Cho biểu thức A = Q ( x ) trong đó b là hằng số, Q ( x ) là tam thức

bậc hai. Khi đó: Nếu b và Q ( x ) đều có giá trị dương thì biểu thức A đạt giá trị
lớn nhất ⇔ Q ( x ) đạt giá trị nhỏ nhất. Sẽ không chính xác nếu lập luận rằng
phân thức có tử là hằng số nên phân thức lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất. Lập luận
này có thể dẫn đến sai lầm, chẳng hạn: Xét bài toán: Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức A =

1
x −4
2

Với lập luận như trên: Vì tử thức có giá trị không đổi nên A đạt giá trị lớn
nhất khi x2 – 4 đạt giá trị nhỏ nhất, mà giá trị nhỏ nhất của biểu thức x 2 – 4 là -4
⇔ x = 0. Do đó giá trị lớn nhất của biểu thức A là −

1
khi x = 0 . Điều này
4

1
Không phải là giá trị lớn nhất của biểu thức A ,chẳng hạn với
4
1
1


Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk

8


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.

nên (x – 3 )2 + 8 ≥ 8 với mọi x ∈ R
⇒

2

( x − 3)

2

+8

≤

2 1
= với mọi x ∈ R
8 4

Dấu “=” xảy ra ⇔ x – 3 = 0 ⇔ x = 3
Vậy AMax =

1
khi x = 3

2
(x − 1) + 5 5
5
≥ −1 với mọi x ∈ R
⇔ −
(x − 1) 2 + 5
Dấu “=” xảy ra ⇔ x – 1 = 0 ⇔ x = 1
Vậy BMin -1 khi x = 1
⇒

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C =

2
6x − 5 − 9x 2
2

2
2
2
Giải: Ta có: C = 6x − 5 − 9x 2 = − 9x 2 − 6x + 5 = −
( 3x − 1) + 4

Vì ( 3x − 1) ≥ 0 với mọi x ∈ R
2

nên ( 3x − 1) + 4 ≥ 4 với mọi x ∈ R
2

⇒


Dấu “=” xảy ra ⇔ 3x – 1 = 0 ⇔ x =
Vậy CMin = −

1
3

1
1
khi x =
2
3
b

Dạng 3: Biểu thức đưa được về dạng a + Q ( x ) trong đó a, b là các
hằng số, Q ( x ) là tam thức bậc hai.

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk

9


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.
b

* Dấu hiệu nhận biết: Biểu thức A đưa được về dạng A = a + Q ( x ) trong

đó a, b là các hằng số, Q ( x ) là tam thức bậc hai thì A phải có dạng:
a1 b1
a1 x 2 + b1x + c1
a

Tìm b: Ấn  2
 a 2 x + b 2 x + c2

b
b. Khi đó ta có A = a + a x 2 + b x + c
2
2
2

Ấn máy tìm nhỏ nhất của biểu thức a 2 x 2 + b2 x + c 2 như ở dạng 1, sau đó
thay giá trị nhỏ nhất đó vào biểu thức A ta có kết quả cần tìm.
* Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =
Giải:

3x 2 + 6x + 11
x 2 + 2x + 3

3x 2 + 6x + 11
2
2
A
=
= 3+ 2
= 3+
Ta có:
2
2
x + 2x + 3
x + 2x + 3

x + 4x + 3
x + 4x + 3
( x + 2) −1
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk

10


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.

B đạt giá trị lớn nhất khi ( x + 2 ) − 1 đạt giá trị nhỏ nhất
2

( x + 2)

2

− 1 đạt đạt giá trị nhỏ nhất là -1 khi x = −2
4
Vậy BMax = 2 + = −2 khi x = −2
−1

Dạng 4: Biểu thức là phân thức có tử là tam thức bậc hai, mẫu là bình
phương của nhị thức bậc nhất.
* Phương pháp giải:
Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của phân thức có dạng

ax 2 + bx + c

( ux+v )


( x − 1)

2

Giải:
2
Ta có: x 2 − x + 1 = x 2 − 2x + 1 + x − 1 + 1 = ( x − 1) + ( x − 1) + 1
A=

( x − 1) + ( x − 1) + 1 = 1 + 1 + 1
=
2
2
x − 1 ( x − 1) 2
( x − 1)
( x − 1)
2

x2 − x +1
2

2

1
1 1
3  1
1 3
 1 
=

4
3x 2 + 14x + 15
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = 2
x + 4x + 4

Giải:

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk

11

2

,


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.

Ta có: 3x 2 + 14 x + 15 = 3( x 2 + 4 x + 4) + 2( x + 2) − 1 = 3( x + 2) 2 + 2( x + 2) − 1
2

3x 2 + 14x + 15 3(x + 2) 2 + 2(x + 2) − 1
1
 1 
B=
=
−
= 3 + 2.
2
2



− 1÷ ≥ 0 với mọi x ≠ −2
Vì 
x+2 
1

2

 1

− 1÷ + 4 ≤ 4 với mọi x ≠ −2
nên − 
x+2 
1
1
−1 = 0 ⇔
= 1 ⇔ x = −1 .
Dấu “=” xảy ra ⇔
x+2
x+2
Vậy BMax = 4 khi x = − 1

Cách khác:
Ta có: B =

3x 2 + 14x + 15 4(x 2 + 4x + 4) − (x 2 + 2x + 1)
=
x 2 + 4x + 4
(x + 2) 2


3x 2 − 8x + 6
x 2 − 2x + 1

)

2
3x 2 − 8x + 6 3 x − 2x + 1 − 2(x − 1) + 1
2
1
=
=3+
Ta có: C = 2
2
x − 2x + 1
x-1 ( x − 1) 2
( x − 1)
2

2

1
 1 
 1

=
+1+ 2 = 
− 1÷ + 2
÷ - 2.
x-1

Cách khác:

2
2
2
x − 2)
(
3x 2 − 8x + 6 ( 2x − 4x + 2 ) + (x − 4x + 4)
=
=2 +
Ta có: C = 2
2
x − 2x + 1
( x 2 − 2x + 1)
( x − 1)
2

 x−2
Vì 
÷ ≥ 0 với mọi x ≠ 1
 x −1 

( x − 2)
+
2
( x − 1)

2

nên 2


1
 1 
 1

.1 + 1 + 7 = 
− 1÷ + 7
= 
÷ − 2.
x −3
 x −3
 x −3 
2



− 1÷ ≥ 0 với mọi x ≠ 3
Vì 
 x −3 
1

2

 1

− 1÷ + 7 ≥ 7 với mọi x ≠ 3
nên 
 x −3 
1
1


y=

ax 2 + bx + c
⇔ y(dx 2 + ex + g) = ax 2 + bx + c
2
dx + ex + g

⇔ (yd − a)x 2 + (ye − b)x + yg − c = 0 ( 1)
a
d

Xét y = , thay vào (1) để tìm x
a
d

Xét y ≠ , phương trình (1) có nghiệm khi

V≥ 0

tức là:

(ye − b) 2 − 4(yd − a) ( yg − c ) ≥ 0

Giải bất phương trình trên ta được y1 ≤ y ≤ y 2
− ( y e − b)

− ( y e − b)

1

4x − 3
⇔ yx 2 − 4x + y + 3 = 0
x2 +1

3
4

Xét y ≠ 0, phương trình yx 2 − 4x + y + 3 = 0 có nghiệm khi

V' ≥ 0 tức là:

4 − y ( y + 3) ≥ 0 ⇔ y 2 + 3y − 4 ≤ 0 ⇔ ( y − 1) ( y + 4 ) ≤ 0 ⇔ −4 ≤ y ≤ 1

Với y = −4 thì x =

2
1
=−
−4
2

2
1

Với y = 1 thì x = = 2
1
2

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho là -4 khi x = − , giá trị lớn nhất
của biểu thức đã cho là 1 khi x = 2

V' ≥ 0 tức là:

16 − 4y ( y − 3) ≥ 0 ⇔ −4y 2 + 12y + 16 ≥ 0
⇔ y 2 − 3y − 4 ≤ 0 ⇔ ( y − 4 ) ( y + 1) ≤ 0 ⇔ −1 ≤ y ≤ 4
4

Với y = −1 thì x = 4. ( −1) = −1
Với y = 4 thì x =

4
1
=
4.4 4

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho là -1 khi x = −1 , giá trị lớn nhất
của biểu thức đã cho là 4 khi x =

1
4

2x 2 + 6x + 6
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2
x + 4x + 5
2
2x + 6x + 6
Giải: Đặt y = 2
x + 4x + 5

Vì hàm số xác định với mọi x nên ta có:
y=

(
)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho là 1 khi x = −1 , giá trị lớn nhất
của biểu thức đã cho là 3 khi x = −3
* Lưu ý: Tìm cực trị bằng phương pháp miền giá trị của hàm số rất hay
và giải quyết nhiều bài toán khó về cực trị.
* Bài tập tự rèn:
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a)

x2
x 2 − 5x + 7

b)

x2 − x +1
x2 + x +1

c)

x 2 − 8x + 7
x2 +1

d)

x 2 + 4 2x + 3
x2 +1

Dạng 6: Biểu thức là đa thức nhiều biến.
* Phương pháp giải:

= ( x − y ) + 2 ( x + 5x + 13 ) = ( x − y ) + 2  x + 2x. +  ÷ −  ÷ + 13
2 2 2


2
2

5  27 
5  27
2
2

= ( x − y ) + 2  x + ÷ +  = ( x − y ) + 2  x + ÷ +
2
4 
2
2


2
Vì ( x − y ) ≥ 0 với mọi x, y
2

2

2

2

5

2
 x + 2 = 0
 x = − 2
27
5
Vậy AMin =
khi x = y = −
2
2
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = 4x 2 + 3y 2 − 4x+30y + 78
77 
2
2
 2
2
2
Giải: B = ( 2x ) − 2.2x.1+1 +3y +30y + 77 = ( 2x − 1) + 3  y + 10y + ÷
3 

77 
2
2
2
2


= ( 2x − 1) + 3  y 2 + 2y.5 + 52 − 52 + ÷ = ( 2x − 1) + 3 ( y + 5 ) + 
3 
3


 y = −5

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = x2 – 2xy + 10y2 + 6y + 5
Giải:
A = (x2 – 2xy + y2) + (9y2 + 6y + 1) + 4 = (x – y )2 + (3y +1)2 + 4
2
Vì ( x − y ) ≥ 0 với mọi x, y

( 3y + 1)

2

≥ 0 với mọi y

nên (x – y )2 + (3y +1)2 + 4 ≥ 4 với mọi x, y
x − y = 0
1
⇔x=y=−
3
3y + 1 = 0
1
Vậy CMin = 4 khi x = y = −
3

Dấu “=” xảy ra ⇔ 

Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: D = 15 − 10x − 10x 2 + 24xy − 16y 2
Giải:
D = − ( x 2 + 10x + 25 ) − ( 9x 2 − 24xy + 16y 2 ) + 40 = 40 − ( x + 5 ) − ( 3x − 4y )
2

15
 y = − 4

Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: E = x 2 − 4xy + 5y 2 + 10x − 22y + 31
2
2
2
Giải: E = ( x - 4xy+4y ) + ( y -2y +1) +10 ( x – 2y ) + 25 + 5

= ( x – 2y ) + 2.5. ( x – 2y ) + 52 + ( y − 1) + 5 =
2

2

(x

– 2y + 5 ) + ( y − 1) + 5
2

2

Vì ( x − 2y + 5 ) ≥ 0 với mọi x, y
2

( y − 1) ≥ 0 với mọi y
2
2
nên ( x – 2y + 5 ) + ( y − 1) +
2


2 ( 3y − 2z ) ≥ 0 với mọi y, z
2

8 ( x − y ) ≥ 0 với mọi x, y
2

2x 2 ≥ 0 với mọi x

nên 9 ( x + 2y ) + 2 ( 3y − 2z ) + 8 ( x − y ) + 2x 2 + 5 ≥ 5 với mọi x, y, z
2

2

2

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk

18


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.
 x + 2y = 0
3y − 2z = 0

⇔
⇔x=y=z=0
Dấu “=” xảy ra

x
−

 x = 0
 x 2 − 5x = 0

⇔   x = 5 ⇔ x = 5
Dấu “=” xảy ra ⇔ 
x − 5 = 0
x = 5

Vậy AMin = 5 khi x = 5

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = ( x 2 + x + 2 )
Nhận xét: Ta thấy ngay B ≥ 0 nhưng giá trị nhỏ nhất của B không phải
bằng 0 vì x2 – x + 2 ≠ 0. Nếu ta khai triển đa thức trên theo hằng đẳng thức thì
ta được đa thức bậc 4, việc tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức bậc 4 rất phức tạp.
Do đó ta chỉ cần đi tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức x2 + x + 2 như ở dạng 1.
2

2

1
1 7
1 7

Giải: Ta có: x + x + 2 = x + 2. .x + + =  x + ÷ +
2
4 4
2 4

2


Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk

19


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.
2

49
7
Lúc đó B =  ÷ =
 4  16
1
49
Vậy BMin =
khi x = −
16
2

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = ( x − 1) ( x + 2 ) ( x + 3) ( x + 6 )

Giải: C = ( x − 1) ( x + 6 ) ( x + 2 ) ( x + 3) = ( x 2 + 5x − 6 ) ( x 2 + 5x + 6 ) = ( x 2 + 5x ) – 36
2

Vì ( x 2 + 5x ) ≥ 0 với mọi x
2

nên ( x 2 + 5x ) – 36 ≥ −36 với mọi x
2


≥ 0 với mọi x

nên ( x 2 – 3x

)

2

+

(x

– 3) + 10 ≥ 10 với mọi x
2

 x = 0
 x 2 − 3x = 0

⇔   x = 3 ⇔ x = 3
Dấu “=” xảy ra ⇔ 
x − 3 = 0
x = 3

Vậy DMin = 10 khi x = 3
Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: E = x 6 – 2x 3 + x 2 – 2x + 2

Giải:
E = x 6 – 2x 3 + x 2 – 2x + 2 = x 6 – 2x 3 + 1 + x 2 – 2x + 1
= ( x3 – 1


Dấu “=” xảy ra ⇔ 
x −1 = 0
Vậy EMin = 0 khi x = 1

Dạng 8: Biểu thức là đa thức có dấu giá trị tuyệt đối.
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk

20


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.

* Phương pháp giải:
Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của đa thức có dấu giá trị tuyệt
đối ta sử dụng một trong các bất đẳng thức sau đây:
a ≥ 0. Dấu “=” xảy ra ⇔ a = 0
a + b ≤ a + b . Dấu “=” xảy ra ⇔ ab ≥ 0 (a, b cùng dấu)
a −b ≥ a − b . Dấu “=” xảy ra ⇔ ab ≥ 0 (a, b cùng dấu)
a + b + c ≤ a + b + c . Dấu “=” xảy ra ⇔ ab ≥ 0; bc ≥ 0;ac ≥ 0 (a, b, c cùng
dấu).
* Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x − 2 + x − 5
Giải:
Với mọi x ∈ R, ta có: A = x − 2 + x − 5 = x − 2 + 5 − x ≥ x − 2 + 5 − x = 3
Do đó A ≥ 3. Dấu “=” xảy ra ⇔ (x - 2) (5 – x) ≥ 0
Lập bảng xét dấu:
x
2
5
x−2

( x + 1) ( 1 − x )
0
+
0
Từ bảng xét dấu ta thấy: (x + 1) (1 – x) ≥ 0 ⇔ -1 ≤ x ≤ 1
Vậy BMin = 2 khi -1 ≤ x ≤ 1
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: C = 3x + 5 − 3x − 7
Giải: Với mọi x ∈ R, ta có:
C = 3x + 5 − 3x − 7 ≤ ( 3x + 5 ) − ( 3x − 7 ) = 3x + 5 − 3x + 7 = 12
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk

21


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.

Do đó C ≤ 12.
Dấu “=” xảy ra ⇔ (3x + 5) (3x –7) ≥ 0
Lập bảng xét dấu:
−

x
3x + 5
3x − 7
( 3x + 5) ( 3x − 7 )

+

5
3

7
Vậy CMax = 12 khi x ≤ − hoặc x ≥
3
3
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: D = x + 1 + 2x + 5 + 3x − 18

Giải:
Với mọi x ∈ R, ta có: D = x + 1 + 2x + 5 + 18 − 3x ≥ x + 1 + 2x + 5 + 18 − 3x = 24
Do đó D ≥ 24.
Dấu “=” xảy ra ⇔ x +1; 2x + 5; 18 - 3x cùng dấu
Lập bảng xét dấu:
x

−

5
2

-1

6

x +1
2x + 5
18 − 3x

0
+
0
+


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.

Với mọi x ∈ R, ta có:
2

3
1 1
1


A = −x + x + = −  x 2 − 2x + ÷+1 = 1 −  x − ÷ ≤ 1 = 1
4
2 4
2


1
1
Dấu “=” xảy ra ⇔ x − = 0 ⇔ x =
2
2
1
Vậy AMin = 1 khi x =
2
2

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 4x 4 − 4x 2 (x + 1) + (x + 1) 2 + 9
Giải: Với mọi x ∈ R, ta có:
2

1
1
1
2

C = x − 4x + 4 + x − x + = ( x − 2 ) +  x − ÷ = x − 2 + x −
4
2
2

1
1 3
= 2−x + x − ≥ 2−x+x − =
2
2 2
1
1
3

Do đó C ≥ . Dấu “=” xảy ra ⇔ ( 2 − x )  x − ÷ ≥ 0 ⇔ ≤ x ≤ 2
2
2
2

3
1
Vậy CMin = khi ≤ x ≤ 2
2
2
2


 x = 25

⇔
Dấu ‘=’ xảy ra ⇔ 
 42 − x = 0
 x = 42
Vậy DMin = 17 khi x = 25 hoặc x = 42
Phương pháp 4: Nếu biểu thức có dạng

f (x) − g(x) mà biểu thức

f (x) − g(x) có giá trị là một hằng số thì ta áp dụng bất đẳng thức

a − b ≤ a − b (a ≥ b ≥ 0) để tìm giá trị lớn nhất. Dấu “=” xảy ra ⇔ b(a - b)
= 0 ⇔ b = 0 hoặc a = b
Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau
a) E = x + 1 − x − 8
b) F = 2x − 2006 − 2x − 2007
Giải:
x + 1 ≥ 0
⇔ x ≥8
x − 8 ≥ 0

a) Biểu thức E có nghĩa khi: 

Với x ≥ 8 , ta có: E = x + 1 − x − 8 ≤ (x + 1) − (x − 8) = 9 = 3
Dấu “=” xảy ra ⇔ x - 8 = 0 ⇔ x = 8
Vậy EMax = 3 khi x = 8
 2x − 2006 ≥ 0


24


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.
2 − x ≥ 0
⇔ −1 ≤ x ≤ 2
1 + x ≥ 0

Biểu thức G có nghĩa khi: 

( x + 1)(2 − x) = 3 + 2 ( x + 1)(2 − x)

G2 = x + 1 + 2 - x + 2

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm (x + 1) và (2 - x) ta có
2 ( x + 1)(2 − x) ≤ (x + 1) + (2 – x )
Dấu “=” xảy ra ⇔ x + 1 = 2 - x ⇔ x =
Do đó: G 2 ≤ 3 + (x + 1) + (2 – x ) = 6
⇒ G 2 Max = 6 khi x =

1
2

1
2

Vì G ≥ 0 nên suy ra GMax = 6 khi x =

1

2

1
2

Vì G ≥ 0 nên suy ra GMax = 6 khi x =

1
2

Phương pháp 6: Nếu biểu thức có dạng A =

f (x)
, bậc f(x) bằng bậc g(x)
g(x)

thì ta nhân và chia f(x) với cùng một số khác 0, sau đó áp dụng bất đẳng thức
Cô-si
Ví dụ 7: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức H =

x −9
5x

Giải:
x − 9 ≥ 0
⇔ x≥9
Biểu thức H có nghĩa khi: 
x ≠ 0

Ta có: H = x − 9 =