Trường THCS Eayông Sáng kiến kinh nghiệm
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI: BỒI DƯỠNG HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ VỀ CHUN
ĐỀ TÌM CỰC TRỊ CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
I) LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi ở các lớp THCS thì bộ mơn Tốn
có nhiều chun đề cần bồi dưỡng. Về việc này, người giáo viên khơng những
đưa ra những kiến thức mở rộng mà đòi hỏi những kiến thức đó phải có hệ
thống, phù hợp với kiến thức đã học và phù hợp với tiến độ chương trình
SGK. Như vậy nhằm giúp cho các em học sinh đựơc bồi dưỡng phát huy đựơc
khả năng của mình mà khơng bị nhồi nhét, đồng thời người giáo viên thể hiện
mình là một tấm gương cho học sinh về tính nghiên cứu có hệ thống để học
sinh noi theo.
II) ĐỐI TƯỢNG, CƠ SỞ VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.
1. Đối tượng nghiên cứu .
Ap dụng cho học sinh giỏi lớp 9 là chủ yếu.
2. Cơ sở nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu.
- Dựa trên cơ sở có học sinh giỏi có đủ khả năng tiếp thu kiến thức mở rộng
hơn sách giáo khoa.
- Tìm tòi và nghiên cứu ở các sách tham khảo, chọn lọc và soạn thành hệ
thống cho phù hợp với học sinh.
- Học hỏi và tiếp thu ý kiến, kiến thức và phưong pháp giảng dạy của bạn bè,
đồng nghiệp.
- Khơng ngừng tự học để nâng cao kiến thức và rèn luyện tay nghề.
III) NỘI DUNG VÀ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU.
1. Nội dung.
A. Hệ thống kiến thức, gồm các phần:
i/ Định nghĩa:
- Định nghĩa.
- Các bước giải một bài tốn cực trị.
Giáo viên: Nguyễn Thành Luân Trang

- Với mọi x, y … thuộc D thì f(x,y…)
≤
M với M là hằng số.
- Tồn tại x
0
, y
0
, … Thuộc D sao cho f(x
0
,y
0
…) = M
+ ĐN 2: Cho biểu thức f(x,y…) xác định trên miền D. Ta nói m là giá trị
nhỏ nhất của f(x,y…) trên D nếu hai điều kiện sau thỏa mãn.
- Với mọi x, y … thuộc D thì f(x,y…)
≥
m với m là hằng số.
- Tồn tại x
0
, y
0
… thuộc D sao cho f(x
0
,y
0
…) = m
2. Như vậy để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A ta cần:
- Chứng minh rằng A
≤
M với M là hằng số.

1 1 9 1 9 9
2 2 2
4 16 8 4 8 8
x x x
   
− − × + + = − − + ≤
 ÷  ÷
   
Vậy maxB =
9
8

1
4
x⇔ =
+ Bài tốn tổng qt: Cho tam thức bậc hai C = ax
2
+ bx + c (a
≠
0)
Tìm maxC; nếu a < 0
Tìm min C; nếu a > 0
Giải: C = ax
2
+ bx + c =
2 2
2 2
2
2
2 2 4 2 4

- Nếu a < 0 thì
2
0
2
b
a x
a
 
+ ≤
 ÷
 
, do đó C
≤
k
maxC = k
2
b
x
a
⇔ = −
Giáo viên: Nguyễn Thành Luân Trang
4
Trường THCS Eayông Sáng kiến kinh nghiệm
- Nếu a > 0 thì
2
0
2
b
a x
a

⇔

5 7x≤ ≤
.
+ Cách 2: Sử dụng tính chất
A B A B+ ≤ +
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi AB
≥
0.
Ta có E =
5 7x x− + +
=
5 7 5 7 2x x x x− + − ≥ − + − ≥

2E⇔ ≥
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
( 5)(7 ) 0 5 7x x x− − ≥ ⇔ ≤ ≤
Vậy minE = 2
5 7x
⇔ ≤ ≤
Ví Dụ khác: Cho
a) (0,5x
2
+ x)
2

2
3 0,5x x− +
b)
2 2

2
+ y
2
– 2xy + x
2
– 2x + 1 + 2 = (x – y)
2
+ (x – 1)
2
+ 2
≥
2
MinB = 2
⇔
x = y = 1
Ví dụ khác: Tìm GTNN của các biểu thức sau:
a) M = x
2
– 2xy + 2y
2
+ 2x – 10y +17
b) P = x
2
– xy + y
2
– 2x – 2y
c) F = x
2
+ xy + y
2

≤

ta có:
2 2
1 1 2 2 1
(3 1) 4 4 (3 1) 4 4 2x x
− − −
≤ ⇒ ≥ =
− + − +

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 3x – 1 = 0
⇔
x =
1
3
. Vậy min A =
1
2
−

⇔
x =
1
3
.
5. Phân thức có mẫu là bình phương của một nhị thức.
Ví dụ: Tìm GTNN của A =
2
2
2 8 6

⇔

1
1x −
= 1
⇔
x = 2.
+ Cách 2: Viết A dưới dạng tổng của 2 với một biểu thức khơng âm.
A = 2 +
2
2
( 2)
2
( 1)
x
x
−
≥
−
Vậy min A = 2
⇔
x = 2.
6. Các dạng phân thức khác.
Giáo viên: Nguyễn Thành Luân Trang
6
Trường THCS Eayông Sáng kiến kinh nghiệm
Ví dụ: Tìm GTNN và GTLN của A =
2
3 4
1

1
2
x
−
⇔ =
7. Tìm GTLN, GTNN của một biểu thức biết quan hệ giữa các biến.
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x
3
+ y
3
+ xy biết x + y = 1
Giải: Sử dụng điều kiện đã cho để rút gọn biểu thức A.
A = (x + y) (x
2
– xy + y
2
) + xy = x
2
+ y
2
+ Cách 1: Thay y = -x + 1 đưa về tam thức bậc 2 biến x.
+ Cách 2: Sử dụng điều kiện đã cho làm xuất hiện biểu thức A = x
2
+ y
2
Ta có: x + y = 1
⇒
x
2
+2xy+ y

1
2
Dấu “=” xảy ra
⇔
x = y =
1
2
. Vậy min A =
1
2

⇔
x = y =
1
2
.
8. Vận dụng bất đẳng thức đã biết.
Ví dụ: Tìm GTLN của A =
1 2x y− + −
với x + y = 4
Giải: Đ/k:
1, 2.x y≥ ≥
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki
2 2 2 2 2
( ) ( )( )ax by a b x y+ ≤ + +
Ta có: A =
1 2x y− + −
= 1.
1x −
+ 1.

Giáo viên: Nguyễn Thành Luân Trang
7
Trường THCS Eayông Sáng kiến kinh nghiệm
Ta có: C =
2
5 6 6
5
x x
x
x x
+ +
 
= + +
 ÷
 
Theo BĐT Cơsi ta có:
6
2 6x
x
+ ≥
Do đó: C
2 6≥
+ 5
Dấu “=” xảy ra
6
6x x
x
⇔ = ⇔ =
. Vậy minC =
2 6

1
A
nhỏ nhất
A nhỏ nhất
⇔

1
A
lớn nhất
Xét biểu thức
1
A
=
2 2
4
( 1)
1
x
x
+
+
=
4 2
4
2 1
1
x x
x
+ +
+

≥
1. Nên Min
1
A
= 1
⇔
x = 0
Do đó: Max A = 1
⇔
x = 0
+ Ta có: (x
2
-1)
2

≥
0
⇔
x
4
+ 1
≥
2x
2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x
2
= 1
Mà x
4

⇔
x =
±
1.
10. Sử dụng tính chất.
Giáo viên: Nguyễn Thành Luân Trang
8
Trường THCS Eayông Sáng kiến kinh nghiệm
- Nếu hai số có tổng khơng đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai
số đó bằng nhau.
- Nếu hai số dương có tích khơng đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ
khi hai số đó bằng nhau.
Ví dụ: Tìm GTLN của A = (x
2
– 3x+1)(-x
2
+3x + 21)
Ta có: x
2
– 3x + 1 + 21 + 3x – x
2
= 22 = Const
Nên A lớn nhất
⇔
x
2
– 3x + 1 = 21 + 3x – x
2

⇔

2
3 4
1
x
x
−
+
(1) có nghiệm.
(1)
⇔
ax
2
+ a = 3 – 4x
⇔
ax
2
+ 4x + a - 3 = 0 (2)
* Nếu a = 0 thì (2) có nghiệm x =
3
4
.
* Nếu a
≠
0 thì (2) có nghiệm khi và chỉ khi
0
′
∆ ≥
nghĩa là:
4 – a(a – 3)
≥

4
−

Giáo viên: Nguyễn Thành Luân Trang
9
Trường THCS Eayông Sáng kiến kinh nghiệm
Suy ra max B =
1
4
−

⇔
x = 0.
Điều này sai Ví dụ: x = 3 ta có: B =
1
5
>
1
4
−
Sai ở chỗ dùng phép biến đổi bất đẳng thức sai.
Ví dụ 2: Tìm GTNN của A = x
2
+ y
2
biết x + y = 4.
+ Lời giải sai: A = x
2
+ y
2

≥
0
⇔
x
2
- 2xy + y
2

≥
0 (2)
Cộng (1) và (2) theo vế ta được: 2(x
2
+ y
2
)
≥
16
⇔
x
2
+ y
2

≥
8
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y mà x + y = 4 suy ra x = y = 2 .
Vậy min A = 8
⇔
x = y = 2.
2. Sai lầm trong chứng minh điều kiện 2.

0 (2)
Nên B = (x – 1)
2
+ (x – 3)
2

≥
0 (3) Vậy min B = 0.
Sai dấu bằng ở (1) xảy ra khi x = 1
Giáo viên: Nguyễn Thành Luân Trang
10
Trường THCS Eayông Sáng kiến kinh nghiệm
Dấu bằng ở (2) xảy ra khi x = 3
Nên khơng có giá trị x thỏa dấu bằng ở (3).
IV/ PHẦN KẾT LUẬN CHUNG.
Trên đây là kinh nghiệm mà tơi đã thực hiện và đã rút ra được trong thực
tế giảng dạy. Cụ thể: phương pháp này đã thực hiện trên 15 học sinh lớp 9 có
học lực khá trở lên vào năm 2006 thì 13 em nắm tốt phương pháp này( Đạt
87%). Tơi mong rằng kinh nghiệm này góp phần vào việc tìm cực trị của mơn
Đaị số được nhanh chóng và khơng bị mắc phải sai lầm khi giải một bài tốn
cực trị. Rất mong được sự góp ý của q thầy cơ và đồng nghiệp.
Giáo viên: Nguyễn Thành Luân Trang
11