1

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN
Mã số: ……………………………
Kính gởi : Hội đồng chấm sáng kiến kinh ngiệm cấp tỉnh
Tác giả sáng kiến : Đỗ Thị Phương Trang
Đơn vị : Trường Tiểu học Phước Hiệp
Các đồng tác giả : không có
I. Đề nghị xét công nhận sáng kiến : Bồi dưỡng học sinh lớp 4 dạng toán Tìm số
trung bình cộng.
Lĩnh vực áp dụng: Giáo dục Tiểu học.
II. Mô tả giải pháp:
1. Tình trạng giải pháp đã biết:
Dạng toán Tìm số trung bình cộng được đưa vào chương trình sách giáo
khoa Toán 4 với thời lượng rất ít tiết nên phần lớn giáo viên chưa chú trọng nhiều
đến dạng toán này. Hầu hết giáo viên chỉ dạy dựa vào quy tắc ở sách giáo khoa. Vì
thế, nếu chỉ dừng lại ở đó thì sẽ kìm hãm sự sáng tạo của những học sinh khá giỏi.
Đặc biệt đối với những bài toán khó thì không thể dạy cho học sinh cách áp dụng
công thức là có thể tìm được kết quả mà phải có cách khác để giúp các em có thể
giải hàng loạt bài toán dạng này.
* Ưu điểm:
- Giáo viên có được một số kinh nghiệm trong giảng dạy. Lên lớp dạy theo
quy trình khá nhẹ nhàng.
- Học sinh có đủ sách giáo khoa, dụng cụ học tập.
- Một số học sinh khá thông minh, có thái độ học tập tốt, có kĩ năng tính toán
khá nhanh, yêu thích học toán, ham tìm tòi, khám phá.
* Hạn chế :
2


biết vận dụng công thức để tính. Vì thế đối với những bài toán nâng cao cho học
sinh khá giỏi đang còn gặp nhiều khó khăn. Trước sự bất cập trong quá trình bồi
dưỡng những học sinh có năng khiếu, bản thân tôi ngoài việc áp dụng công thức
tính, tôi đã tìm ra một hướng đi mới cho học sinh khá giỏi khi gặp dạng toán Tìm số
trung bình cộng đó là “giải bằng cách vẽ sơ đồ đoạn thẳng”.
 Kiểm tra khả năng nhận thức của học sinh về dạng toán Tìm số trung
bình cộng:
Bước này sẽ được tiến hành ngay sau khi học sinh đã được học kiến thức cơ
bản ở Sách giáo khoa. Tôi ra bài kiểm tra mang tính mở để nắm bắt được trình độ
nhận thức của học sinh và từ đó có phương pháp giảng dạy cho phù hợp.
Ví dụ : Hãy giải các bài toán sau bằng hai cách:
a) Tìm 5 số lẻ liên tiếp có tổng là 105.
b) Tìm 6 số chẵn liên tiếp có tổng là 90.
Do các em đang còn khó khăn khi vừa đọc đề toán nên tôi đã gợi ý giúp các
em tìm 2 cách:
Cách 1: Các em áp dụng công thức để tính.
Cách 2: Các em tự tìm.
Sau khi thu bài kiểm tra, tôi đã thu được kết quả như sau:
SỐ HỌC SINH GIẢI THEO
CÁCH 1 ( CÁCH ÁP DỤNG
CÔNG THỨC )
SỐ HỌC SINH GIẢI THEO
CÁCH 2 ( CÁCH KHÁC)
SỐ HỌC SINH KHÔNG GIẢI
ĐƯỢC
BÀI TOÁN
TỔNG SỐ HỌC
SINH
SL TL SL TL SL TL

Mà 8 = 4 x 2
 Cho một dãy số cách đều :
- Nếu số các số hạng của một dãy số là một số lẻ (dãy số có từ 3 số
trở lên) thì số trung bình cộng của dãy số đã cho chính là số ở vị trí chính giữa
của dãy số này.
Ví dụ : Cho 5 số : 5, 8, 11, 14, 17 thì :
Trung bình cộng của 5 số đó là : (5 + 8 + 11 + 14 + 17) : 5 = 11
5

Mà 11 chính là số ở giữa dãy số đã cho.
- Nếu số các số hạng của dãy số là một số chẵn (dãy số có từ 2 số trở
lên) thì số trung bình cộng của dãy số đã cho đúng bằng
1
2
tổng của hai số đầu
và cuối của dãy số này; hoặc đúng bằng nửa tổng của hai số cách đều hai đầu
dãy số đã cho.
Ví dụ : Cho 6 số : 3, 7, 11, 15, 19, 23 thì :
Trung bình cộng của 6 số đó là : (3 + 7 + 11 + 15 + 19 + 23) : 6 = 13
Mà 13 = (3 + 23) : 2 = (7 + 19) : 2 = (11 + 15) : 2
 Trong các số đã cho, nếu một số bằng trung bình cộng của các số
còn lại thì số đó chính bằng trung bình cộng của tất cả các số đã cho đó.
Ví dụ : Số thứ nhất là 86, số thứ hai là 36, số thứ ba bằng 40, số thứ tư bằng
trung bình cộng của ba số đầu. Tìm trung bình cộng của 4 số đó.
Số thứ tư : (86 + 36 + 40) : 3 = 54
Trung bình cộng của 4 số : (86 + 36 + 40 + 54) : 4 = 54
Mà 54 chính là số thứ tư.
 Cho 3 số a, b, c và số chưa biết là x. Nếu cho biết x lớn hơn (bé hơn)
số trung bình cộng của bốn số a, b, c, x là n đơn vị thì số trung bình cộng của 4
số được tìm như sau :

số là 9 đơn vị. Tìm số thứ tư.
Giải : Trung bình cộng của bốn số là : (32 + 38 + 35 – 9) : 3 = 32
Số thứ tư là : 32 – 9 = 23
Thử lại : (32 + 38 + 35 + 23) : 4 = 32
 Phân loại một số dạng bài toán Trung bình cộng và cách giải chúng.
Dạng 1: Dạng toán trung bình cộng của dãy số cách đều
Đối với những bài tập dạng này sẽ có những bài toán giống như ở ví dụ trên.
Chúng được chia thành 2 loại:
- Loại bài dành cho dãy số có số các số hạng lẻ (bài a);
- Loại bài dành cho dãy số có số các số hạng chẵn (bài b).
Với bài a thì dễ dàng làm theo cách 1 (Cách áp dụng công thức tính) vì có số
số hạng lẻ nên số chính giữa chính là trung bình cộng của các số, còn bài b thì để
nguyên ta không thể áp dụng công thức tính vì số số hạng chẵn nên không có số
chính giữa trong dãy số đó. Điều này là kiến thức nâng cao học sinh chưa được biết.
Còn giải theo cách 2 ta sẽ hướng học sinh cả hai bài toán đều đưa về cách vẽ sơ đồ
để giải. Với lí luận đó, giáo viên sẽ hướng dẫn học sinh giải 2 bài toán trên theo 2
cách sau:
Giải

Bài a : Cách 1: Vì dãy có 5 số lẻ liên tiếp nên số chính giữa chính là trung
bình cộng của 5 số.
Số chính giữa (số thứ 3) là: 105 : 5 = 21
Số thứ hai là: 21 - 2 = 19
Số thứ nhất là : 19 – 2 = 17
Số thứ tư là: 21 + 2 = 23
7

Số thứ năm là: 23 + 2 = 25
Đáp số: 17, 19, 21, 23, 25
Cách 2: Phân tích: Vì hai số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị nên nếu ta

2
Số thứ hai: 2 2

Số thứ ba:
2 2 2
Số thứ tư:
2 2 2 2
Số thứ năm: 8

5 x 2 = 10
Số đầu là: (30 – 10) : 2 = 10
Số cuối là: 30 – 10 = 20
Số chẵn thứ hai là: 10 + 2 = 12
Số chẵn thứ ba là: 12 + 2 = 14
Số chẵn thứ tư là: 14 + 2 = 16
Số chẵn thứ năm là : 16 + 2 = 18
Đáp số: 10, 12, 14, 16, 18, 20
Đây là cách giải nâng cao cho học sinh chứ không có ở trong Sách giáo khoa.
2 2 2
Số thứ tư:
2 2 2 2
Số thứ năm:
2 2 2 2 2
Số thứ sáu:

9

Số thứ năm là: 16 +2 = 18
Số thứ sáu là: 18 + 2 = 20
Đáp số: 10, 12, 14, 16, 18, 20
Qua việc đưa ra 2 cách giải đó thì ta thấy cách giải 1 sẽ khó khăn cho những
bài toán như dạng bài b. Còn cách giải thứ 2 thì sẽ thuận lợi và phù hợp cho cả
những dạng như bài toán a và b. Từ đó tôi rút ra cách giải dạng toán Tìm số trung
bình cộng bằng cách “vẽ sơ đồ đoạn thẳng”. Giải toán bằng cách vẽ sơ đồ đoạn

Đáp số: 60, 30, 15
Bài 2: Trung bình cộng của ba số là 75. Nếu thêm 0 vào bên phải số thứ hai
thì được số thứ nhất. Nếu ta gấp số thứ hai lên 4 lần thì được số thứ ba. Tìm 3 số
đó?
Giải
Phân tích: Đây là bài toán cho trung bình cộng nên ta sẽ tính được tổng của
chúng. Ta xem số thứ hai là một phần thì số thứ nhất là một đoạn thẳng gồm 10
phần như thế và số thứ ba sẽ là một đoạn thẳng gồm 4 phần như thế.
Tổng của 3 số đó là:
75 x 3 = 225
Ta có sơ đồ:

225

Số thứ hai là:
225: ( 10 + 1 + 4) x 1 = 15
Số thứ nhất là:
15 x 10 = 150
Số thứ ba là:
15 x 4 = 60 Số thứ ba:


những bài đơn giản.
Dạng 2: Dạng liên quan đến bản chất của số trung bình cộng trong một
dãy:
Khác với dạng trên, dạng này là tập hợp những bài toán khó hơn dạng 1
nhưng vẫn giải theo cách vẽ sơ đồ đoạn thẳng. Đối với dạng này, giáo viên cần cho
học sinh nắm chắc được bản chất sau: Nếu ta xem trung bình cộng của một dãy số
có n số là 1 đoạn thẳng thì tổng của n số đó chính là có n đoạn như thế gộp lại.
Hiểu được như thế ta sẽ hướng dẫn học sinh dựa vào những cái đã cho của từng bài
toán cụ thể rồi vẽ sơ đồ đoạn thẳng và đưa về dạng cơ bản để giải. Ta sẽ đi vào cụ
thể những bài toán sau:
Bài 1: Lân có 20 hòn bi. Long có số bi bằng một nửa số bi của Lân. Quý có số
bi nhiều hơn trung bình cộng của 3 bạn là 6 hòn bi. Hỏi Quý có bao nhiêu hòn bi?
Ở bài toán này ta có thể dựa vào quy tắc cơ bản thứ 5 (ở trên) để giải. Ngoài
ra ta có thể hướng dẫn học sinh giải như sau:
Giải
Phân tích: Ta xem trung bình cộng số bi của 3 bạn là 1 đoạn thẳng thì tổng
số bi của 3 bạn là 3 đoạn như thế gộp lại. Mà số bi của Lân đã biết, số bi của Long
ta sẽ tính qua Lân. Từ đó ta tính được số bi của Quý

Trung bình cộng số bi của cả ba bạn:
6
Số bi của cả ba bạn là:

Quý Lân + Long

6


Trung bình cộng số học sinh 4A và 4C:
2 2

Tổng số học sinh 4A và 4C: Tổng số học sinh 2 lớp 4A và 4C nhiều hơn 2 lần trung bình cộng của 3 lớp là:
2 + 2 = 4 (em)
Trung bình cộng số học sinh của 3 lớp là:
(26 + 4) : 1 = 30 (em)
Tổng số học sinh 2 lớp 4A và 4C là:
30 x 2 + 4 = 64 (em)
Số học sinh lớp 4C là:
64 – 28 = 36 (em)
Đáp số
: 36em
13

Bài 3: Tuổi trung bình của 10 cầu thủ (không tính đội trưởng) của một đội
bóng là 21 tuổi. Biết rằng tuổi của đội trưởng nhiều hơn tuổi trung bình cả đội là 10
tuổi. Hỏi đội trưởng bao nhiêu tuổi?
Giải
Phân tích: Ta xem trung bình cộng của 11 cầu thủ là 1 đoạn thẳng thì tuổi
của đội trưởng là 1 đoạn như thế và thêm 10 tuổi nữa, và tổng số tuổi 11 cầu thủ là
11 đoạn như thế. Đồng thời qua sơ đồ ta cũng thấy được mối quan hệ giữa tổng
những cầu thủ còn lại với đội trưởng, từ đó ta tìm được đáp án.
Tổng số tuổi của 10 cầu thủ (không tính đội trưởng) là:


Tổng số tuổi của cả đội là:
22 x 11 = 242 (tuổi)
Tổng số tuổi 10 cầu thủ kia không tính đội trưởng là:
21 x 10 = 210 (tuổi)
Tuổi của đội trưởng là:
242 – 210 = 32 (tuổi)
Đáp số: 32 tuổi
Như vậy qua cách giải hai dạng trên của dạng toán Tìm số trung bình cộng,
học sinh dễ dàng làm được rất nhiều bài toán ứng dụng. Trong quá trình học tập,
học sinh có thể tìm tòi thêm những cách khác nữa. Đó cũng là một cách thể thao trí
tuệ đầy hào hứng và hấp dẫn.
3. Khả năng áp dụng của giải pháp:
Đề tài này không chỉ áp dụng cho học sinh lớp tôi mà có thể áp dụng cho các
lớp khác trong tổ. Đề tài có thể áp dụng cho tất cả giáo viên trong các trường Tiểu
học. Chỉ cần giáo viên chịu khó nghiên cứu thì có thể dễ dàng áp dụng để có thể bồi
dưỡng học sinh lớp mình.
4. Hiệu quả, lợi ích thu được:
* Đối với giáo viên:
- Việc bồi dưỡng Toán cho học sinh diễn ra nhẹ nhàng và hiệu quả. Học sinh
thích tìm tòi nhiều cách giải mới, hay cho bài toán.
- Chất lượng môn Toán của lớp tôi đã được nâng lên rõ rệt. Học sinh hiểu rõ
hơn bản chất của bài toán, biết nhận dạng và giải bài toán một cách dễ dàng và đã
biết áp dụng để giải các bài toán phức tạp hơn, tránh được lý lẽ dài dòng khó hiểu.
Đồng thời các em yêu thích học toán hơn hẳn.
* Đối với học sinh:
Với việc vận dụng cách giải trên, sau một thời gian bồi dưỡng học sinh khá
giỏi, kĩ năng giải dạng toán này của các em về dạng toán này tăng lên rõ rệt. Đến
15


Phước Hiệp, ngày 9 tháng 8 năm 2013
NGƯỜI VIẾT Đỗ Thị Phương Trang
Đỗ Thị Phương Trang
Trường Tiểu học Phước Hiệp, huyện
Mỏ Cày Nam
Giáo viên 8,2đ