Dạng1: Tìm cực trị của biểu thức có điều kiện:
a,Bài toán1 :Cho x và y liên hệ với nhau bởi hệ thức:
Q= ax
2
+by
2
+cxy + dx + ey + f = 0 (1)
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
U= Ax + By + C (2)
*cách giải:
- cách 1: Nếu B 0,ta có:(2)y= -
B
A
x-
B
C
-
B
U
Thế vào (1) ta có phơng trình bậc hai đối với x : h(x) = 0. Xem U là tham số
Cực trị của U tìm đợc trong điều kiện có nghiệm của pt: h(x) = 0.
- Cách 2: Nếu có thể ta biểu diển Q= m
2
U
2
+ nU + k + [f(x)]
2
= 0.(*)
Do Q= 0 và [f(x)]
2


- Cách 2: Đánh giá bằng bđt : | asinx + bcosx |

22
ba
+
(lợng giác)
Dạng 2: Cho x, y liên hệ với nhau bởi công thức:
ax + by + c = 0 (a
2
+ b
2


0)
Tìm cực trị của biểu thức: T = p
2
(x - m)
2
+ q
2
(y - n)
2
- r
2
Cách giải: Ta có thể giải theo các cách sau:
Cách 1:
Rút x hoặc y từ đẳng thức: ax + by + c = 0 thế vào T rồi đa về dạng 1.
Cách2:
Đánh giá bằng bất đẳng thức Bunhiacôpski
Bài tập1:


Q
2
- 2Q
2
- 2Q + 3

0

- Q
2
- 2Q + 3

0


-3

Q

1
Vậy GTNN(Q) = -3

y = 0 và x = -3
GTLN(Q) = 1

y = 0 và x = 1
Cách2:
Ta có: P = (x
2

2


-2

x + y + 1

2

-3

x + y

1.
Vậy: Vậy GTNN(Q) = -3

y = 0 và x = -3
GTLN(Q) = 1

y = 0 và x = 1.
Bài tập 2: Cho x, y liên hệ với nhau bởi hệ thức:
4x
2
+ 3y
2
- 4xy 2y 2008 = 0
Tìm GTNN, GTLN của M = x -
2
y
+


0

12
+
yx


2009


-
2009


2x y + 1

2009



2
2009


x
2
y
+
2

4x
2
+ 3y
2
- 4xy 2y 2008 = 0)
Bài tập 3:
Cho x, y là hai số thỏa mản: x + 2y = 3. Tìm GTNN của: E = x
2
+ 2y
2
Lời giải:
Cách1:
Từ x + 2y = 3 suy ra x = 3 2y thế vào E = x
2
+ 2y
2
ta có:
E = (3 2y)
2
+ 2y
2
= 6y
2
- 12y + 9 = 6(y - 1)
2
+ 3

3
Vậy GTNN(E) = 3 khi và chỉ khi y = 1 và x = 1
Cách2: (Dùng BĐT Bunhiacốpki)