Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS

Mục lục

Mục lục..........................................................................................................................1
a phần mở đầu...........................................................................................................2
I - Lí do chọn đề tài...............................................................................................2
II- Mục đích nghiên cứu ......................................................................................2
III- Khách thể và đối tợng nghiên cứu .................................................................2
IV- Giả thuyết khoa học .......................................................................................3
V- Nhiệm vụ nghiên cứu ......................................................................................3
VI- Giới hạn đề tài ...............................................................................................3
VII- Các phơng pháp nghiên cứu .........................................................................3
B. Phần nội dung............................................................................................................4
Chơng I :
Đại cơng về cực trị............................................................................4
Chơng II :
cực trị số học..........................................................................4
I phép chia hết và phép chia có d.....................................................................4
II - Đồng d thức và phơng trình đồng d ..............................................................7
III Số nguyên tố ...............................................................................................9
IV Phơng trình DIOPHANTE ......................................................................10
V- một số bài toán cực trị khác .........................................................................12
Chơng III :
Cực trị đại số.......................................................................14
I. Phơng pháp sử dụng tam thức bậc hai ............................................................14
II.Phơng pháp tìm cực trị dựa vào luỹ thừa bậc chẵn.........................................16
III.Phơng pháp tìm cực trị theo tính chất giá trị tuyệt........................................19
đối........................................................................................................................19
IV.Phơng pháp tìm cực trị dựa vào tập giá trị hàm. ..........................................20
V.Phơng pháp tìm cực trị sử dụng bất đẳng thức Côsi .....................................22

lớn nhất sao cho..., tìm giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất ) của biểu thức ..., xác định vị trí
của điểm M để độ dài ( diện tích , chu vi ...) của hình H nào đó đạt giá trị lớn nhất
( nhỏ nhất ) ..., đặc biệt đây là những bài để học sinh dành điểm tối đa trong các đề
thi tốt nghiệp THCS . Nhng khi giải có thể giáo viên không dạy phơng pháp tổng
quát hoặc có dạy nhng học sinh không đợc tiếp thu theo hệ thống dạng toán. Nói
chung khi gặp toán cực trị đa phần học sinh e ngại và lúng túng trong cách giải.
2. Lí do chủ quan.
Là sinh viên năm cuối, khi nghiên cứu SGK Toán THCS tôi nhận thấy sự cần
thiết phải hình thành một cách có hệ thống các dạng bài toán cực trị và phơng pháp
giải để dạy học sinh. Tôi đã dành nhiều thời gian nghiên cứu tài liệu. Đợc sự
khuyến khích, giúp đỡ nhiệt tình của bạn bè và đặc biệt là sự hớng dẫn tận tình chu
đáo của thầy giáo Nguyễn Quang Hoè giảng viên khoa Toán Tin trờng ĐH
Quảng Bình, tôi đã mạnh dạn nghiên cứu bớc đầu đề tài :
Phơng pháp giải bài toán cực trị cho học sinh THCS .
II- Mục đích nghiên cứu .
Giúp học sinh nắm đợc phơng pháp giải một số dạng toán cực trị thờng gặp
trong trờng THCS , nâng cao dần kỹ năng kỹ xảo giải các dạng toán trên. Đồng
thời làm tài liệu phục vụ cho việc giảng dạy của giáo viên tốt hơn cũng nh gạt bỏ
tâm lý e ngại của học sinh khi giải toán cực trị.
III- Khách thể và đối tợng nghiên cứu .
1. Khách thể nghiên cứu .
Phơng pháp giải một số dạng toán cực trị .
2. Đối tợng nghiên cứu .
Học sinh trờng THCS (do điều kiện cha cho phép nên đề tài mới chỉ mang
tính tham khảo).

Sinh viên : Nguyễn

Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin. K48



3


Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS

B. Phần nội dung
Chơng I :

Đại cơng về cực trị.

Bài toán cực trị xuất phát từ thực tiễn và trong khi giải quyết những bài toán
lớn. Cực trị là tên gọi chung cho những bài toán tìm giá trị lớn nhất ( GTLN) và giá
trị nhỏ nhất ( GTNN). Trong lí thuyết Toán học hiện đại thì các phân môn Số học,
Đại số , Hình học đều có thể đợc định nghĩa qua tập hợp. Việc giải bài toán cực trị
đối với mỗi phân môn thì có sự giới hạn tập hợp số để xét. Trong chơng trình THCS
chỉ xét giới hạn trong trờng số thực R đối với phân môn Đại số và Hình học còn đối
với phân môn Số học thì chỉ xét trên vành số nguyên Z.
Theo lí thuyết Giải tích cổ điển, xét tập hợp số thực x E R , khi đó nếu E
không rỗng và bị chặn thì tồn tại cận trên đúng M của E ( M = supE ) hoặc cận dới
đúng m của E ( m = infE ) hoặc cả hai. Tuy nhiên có thể cả M và m đều không
thuộc E. Khi M E ( hoặc m E) ta viết M = maxE ( hoặc m = minE ) đây là cách
viết tắt theo chữ Latin ( max = maximum , min = minimum ) mà trong trờng phổ
thông ta thờng gọi là giá trị lớn nhất ( GTLN ) và giá trị nhỏ nhất ( GTNN ).
Theo quan điểm trên việc tìm maxE = M hoặc minE = m phải bao gồm đồng
thời cả hai điều kiện :
i) M E hoặc m E .
ii) x E để M = E hoặc m = E .
Sau đây là những dạng bài tập và phơng pháp cụ thể đối với thuộc phân môn
Số học và Đại số xét theo quan điểm trên :

BCNN(a,b) khi và chỉ khi m là bội của BCNN(a,b) :
m a và m b m [a,b] .
Hai số đợc gọi là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi (a,b) = 1 .
* Tuy nhiên , trong việc tìm ƯCLN của hai số dơng a, b ( a>b) ngời ta còn có thể
sử dụng thuật toán Euclide nh sau :
i) a = bq (a,b) = b .
ii) a = bq + r ( r 0 ) (a,b) = (b,r)
b = rq1 + r1 ( r1 0) (b,r) = (r,r1)
r = r1q2 + r2 (r2 0) (r,r1) = (r1,r2)
.........................................................
ri = ri+1qi+2 (a,b) = (ri,ri+1) .
2. Một số định lí quan trọng thờng dùng
2.1.
a) (ca,cb) = c(a,b) .
a b ( a, b )
b) ; =
( với c =ƯC(a,b) ) .

c
c c
a.c b và (a,b) = 1 c b .
c a và c b và (a,b) = 1 c a.b .

2.2.
2.3.
2.4. Định lí về phép chia có d
Với mọi cặp số tự nhiên a,b ( b 0) bao giờ cũng tồn tại duy nhất cặp số q , r sao
cho : a = bq + r ( với 0 r < b ) .
2.5 . Định lí.
Trong sự phân tích số n! ra thừa số nguyên tố ( n! = 1.2.3....n) .


Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin. K48

5


Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS
Nếu a là số lớn nhất trong các số a ,b ,c, d thì ta kí hiệu max(a,b,c,d) = a.
Nếu b là số nhỏ nhất trong các số a ,b ,c, d thì ta kí hiệu min(a,b,c,d) = b.
Ví dụ 1 :
Tìm số nguyên dơng n nhỏ nhất sao cho 2n 1 7 .
Giải :
Xét phép chia số nguyên n cho 3 thì n chỉ có một trong ba dạng : n = 3k ; n = 3k+1 ;
n = 3k+3 ( k Z) .
Với n = 3k ta có : 2n 1 = 8k 1 7 .
Với n = 3k+1 ta có : 2n -1 = 2.8k -1=2(8k -1) + 1 không chia hết cho 7 .
Với n = 3k+2 ta có : 2n 1=4.8k-1= 4(8k -1) + 3 không chia hết cho 7 .
Vậy với n 3 thì 2n 1 7 mà n là số nguyên dơng nhỏ nhất nên n = 3 .
Ví dụ 2 :
Tìm số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn : ( 1994!)1995 1995k .
Giải :
Ta có : 1995k = (3.5.7.19)k = 3k.5k.7k.19k . Ta cần tìm số mũ lớn nhất của mỗi
thừa số 3 , 5 , 7 ,19 trong số (1994!)1995 .
Ta có :
Số mũ của 3 trong 1994! là :
1994 1994
1994
3 + 3 2 + ......... + 3 7 = 664 + 221 + ......... + 0 = 992 .

Tơng tự : Số mũ của 5 trong 1994! là : 495 .

Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS
* Với n < 0 :
Đặt m = - n . Ta tìm m sao cho : P = ( -m+5)(-m+6) -6m. Giải nh trên ta tìm
đợc n = { -2;-5;-6;-15} (**) thoả mãn điều kiện bài toán .
Kết hợp (*) và (**) ta có n = {1;3;10;30;-2;-5;-6;-15} .
Vậy
max n = max (1; 3; 10; 30; -2; -5; -6; -15 ) = 30 .
min n = min(1; 3; 10; 30; -2; -5; -6; -15 ) = -15
Ví dụ 4.
Cho A = m+n và B = m2 + n2 trong đó m,n là những số tự nhiên nguyên tố
cùng nhau. Tìm max (ƯCLN) ( min(BCNN) ) của A và B .
Giải :
Gọi d = (m+n, m2+n2) (m+n)2 d (m+n)2 (m2 + n2) = 2mn d d
là ớc chung của m+n và 2mn (*) .
(m,n) = 1 (m+n , n) = (m+n,m) = (m+n,mn) = 1 (**) .
Từ (*) và (**) 2 d d = 1 hoặc d = 2 hay d = {1,2} .
Vậy
max d = max ( 1,2) = 2 .
min d = min (1,2) = 1 .
D . Bài tập tự luyện .
Tìm số nguyên a lớn nhất và nhỏ nhất sao cho 100 < a < 150 ; a chia 5 d 2 và
a chia 7 d 3 .
II - Đồng d thức và phơng trình đồng d .
A . Lí thuyết cơ bản .
1 . Định nghĩa và tính chất đồng d thức .
1.1. Định nghĩa đồng d thức .
Cho một số nguyên dơng m. Nếu a hai số nguyên a và b có cùng số d khi
chia cho m ( tức là m n chia hết cho m ) thì ta nói rằng a đồng d với b modun m
và ta kí hiệu : a b ( mod m ). Đây là một đồng d thức với a là vế trái, b là vế phải.
Nói riêng, a 0 ( mod m ) nghĩa là a chia hết cho m .

1.2.4. Nếu a b ( mod m) và c>0 thì ac bc ( mod mc) .
Nếu d là ớc chung dơng của a,b,m thì ax b ( mod m)

a b
m
( mod
).
d d
d

2. Định nghĩa phơng trình và hệ phơng trình đồng d .
2.1. Định nghĩa phơng trình đồng d bậc nhất một ẩn .
Phơng trình đồng d bậc nhất một ẩn là đồng d thức có dạng : ax b ( mod m)
với a không chia hết cho m.
Trong đó a,b,m>0 là những số đã biết , x là ẩn.
2.2. Tính chất .
2.2.1. Phơng trình đồng d ax b ( mod m) có nghiệm duy nhất nếu (a,m) = 1.
( ta hiểu phơng trình đồng d ax b ( mod m) có nghiệm duy nhất nghĩa là tất cả
các nghiệm đều thuộc một lớp các số đồng d với b modun m ).
2.2.2. Bằng các phép biến đổi của dồng d thức bao giờ ta cũng đa phơng trình
đồng d bậc nhất về dạng ax b ( mod m) với m > a > 0 và m > b 0.
2.3.
Định nghĩa hệ phơng trình đồng d bậc nhất một ẩn .
Hệ phơng trình đồng d bậc nhất một ẩn là hệ các đồng d thức có dạng :
a1 x b1 (mod m1 )
a x b (mod m )
2
2
2




Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS
Theo đề bài ta phải giải hệ phơng trình đồng d sau:
x 2 ( mod 3 ) ( 1)
x 3 ( mod 5 ) ( 2)
x 4 ( mod 7 ) ( 3)
Hệ (1) , (2) cho ta phơng trình : x 8 (mod 15)
(4)
Từ (4) x = 8 + 15k (*) thay vào (3) ta có :
8 + 15k 4 ( mod 7) 15k -4 ( mod 7) k 3 ( mod 7) k = 3+ 7t
Do (*) k 59 3 +7t 59 t 8 .
Để x đạt max thì k và do đó t đạt max t = 8 k = 59 x = 893 .
Vậy số học sinh lớn nhất có thể có trong trờng là 893 em.
D . Bài tập tự luyện .
Tìm số tự nhiên x lớn nhất , nhỏ nhất thoả mãn : x 1000 và khi chia x cho
3,5,9,11 thì đợc số d lần lợt là 1, 3 ,4 ,9 .
III Số nguyên tố .
A . Lí thuyết cơ bản .
1. Định nghĩa .
Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 , chỉ có hai ớc là 1 và chính nó .
Các số còn lạ gọi là hợp số. Từ đó suy ra, số 0 và số 1 không phải là số
nguyên tố, số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất và nhỏ nhất .
2.1. Định lí cơ bản của số học .
Mọi số lớn hơn 1 đều phân tích đợc ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất
( không kể thứ tự các thừa số ).
2.2. Có vô số số nguyên tố .
2. Các tính chất .
2.3. Ước số nguyên tố nhỏ nhất của một hợp số N là số không vợt quá N .
Từ đó suy ra : nếu số N > 1 không có một ớc nguyên tố nào từ 2 cho đến N thì N

2



7 ab=pa-pb
(a+p)(p-b)=p
.


p b =1
b = p 1
* Với p =2 ta có số ab =21, 22.
* Với p =3 ta có số ab = 62, 26.

* Với p =5 và p =7 thì a có hai chữ số nên loại.
ab ={21,22,26,62} .
Vậy

max ab = max ( 21, 22, 26, 62) = 62 .
min ab = min( 21, 22, 26, 62) = 21 .

Ví dụ 9.
Tìm số nguyên tố p lớn nhất , nhỏ nhất sao cho 13p+1 là lập phơng của một
số tự nhiên.
Giải :
Với số n tự nhiên , theo đề bài ta phải tìm số p sao cho : 13p = n3 1
13p = ( n-1)(n2+n+1) . Do (13,p)=1 nên n-1=13 hoặc n 2+n+1 = 13 n= 14
hoặc n =3 p =211 hoặc p =2 .
Vậy
max p = 211.


Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS
2.1.1. Định nghĩa .
Phơng trình bậc nhất hai ẩn là phơng trình có dạng : ax + by = c trong đó a,b,c là
những số nguyên , a và b đồng thời khác 0 .
2.1.2. Một số tính chất .
* Phơng trình ax + by = c có nghiệm nguyên khi và chỉ khi (a,b)=1 .
* Nếu phơng trình ax + by = c có một nghiệm nguyên (x 0,y0) thì nó có vô số
nghiệm nguyên dạng :
x = x 0 + bt
trong đó t Z .

y = y 0 at

2.2. Phơng trình bậc nhất n ẩn (n>2).
Phơng trình bậc nhất n ẩn (n>2) là phơng trình có dạng :
a0+ a1x1+a2x2+......+anxn =0 trong đó ai Z ( i = 0,1,..,n) .
Phơng trình bậc nhất n ẩn (n>2) có nghiệm nguyên khi và chỉ khi các hệ số a i đôi
một nguyên tố cùng nhau .
2.3. Định lí lớn Fermat.
Fermat đã chứng minh đợc rằng : Với mọi số tự nhiên n >2 thì phơng trình x2
+ y2=z2 không có nghiệm nguyên dơng .
x = m( p 2 q 2 )

Khi n = 2 thì nghiệm tổng quát của phơng trình là : y = 2mpq
z = m( p 2 + q 2 )


trong đó m, p, q là những số nguyên bất kì , (p,q)=1 , p,q chẵn lẻ khác nhau .
B. Phơng pháp tìm cực trị với phơng trình DIOPHANTE.


áp dụng thuật toán Euclide ta có nghiệm riêng là : x0 = (-10) . 38 = -380, y0
= (-3).38 = -144
x = 380 + 27t
( t Z)

y = 144 + 8t

Do x < 170 nên t lớn nhất là 20 khi đó x = 160 , y = 16 .
Vậy số cá lớn nhất ba ngời câu đợc là 160 con .
Ví dụ 12.
Tìm số tự nhiên x nhỏ nhất sao cho x 9, x+1 25 và x+2 4 .
Giải :
Do x 9, x+1 25 nên u,v N : x = 9u , x+1 = 25v 25v-9u = 1 . Phơng trình
này có nghiệm tổng quát là v = 4 + 9t , u = 11 + 25t
x = 99 + 225t ( t N) .
Ta lại có : x + 2 = 4k 101 + 225t = 4k t= -101 + 4k x = -22626 + 900k
Do t > 0 nên k 26 min x = 774 khi k = 26 .
Ví dụ 13.
Tìm số nghiệm nguyên dơng lớn nhất của phơng trình :
1 1 1
1
+ + =
.
x y z 1991

Giải :
0

Tìm GTLN, GTNN của tích xy biết x và y là các số nguyên dơng thoả mãn :
x+y = 2005 .
Giải :
Sinh viên : Nguyễn

Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin. K48

12


Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS
Ta có 4xy = (x+y)2 (x-y)2 = 20052 (x-y)2 .
Giả sử x > y ( không thể có x = y) . Ta có : xy lớn nhất x-y nhỏ nhất ; xy nhỏ
nhất x-y lớn nhất .
Do 1 y < x 2004 nên 1 x y 2003 . Ta có min(x-y) = 1 x = 1003 ; y=1002 .
max (x-y) = 2003 x = 2004; y=1 .
Do đó : max(xy) = 1005006 x=1003; y =1002 .
min(xy) = 2004 x=2004 ; y= 1 .
Ví dụ 15.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2+4y biết rằng x,y là các số tự nhiên
và A không phải là số chính phơng .
Giải :
Vì A không chính phơng nên A >1 .
* Xét A = 2 ta có 2 = x 2+4y nên x chẵn. Khi đó vế phải chia hết cho 4, vế trái
không chia hết cho 4 nên loại .
* Xét A=3 ta có : 3 = x 2+4y nên x lẻ. Khi đó vế phải chia 4 d 1, vế trái chia 4 d 3
nên loại .
* Xét A = 5 ta có : 5 = x2 + 4y , tồn tại x, y thoả mãn đẳng thức trên nh x= 3 ,
y=-1 .
Vậy GTNN của A là 5 .


Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS

Cực trị đại số

Chơng III :

I. Phơng pháp sử dụng tam thức bậc hai
Dạng 1: Biểu thức có dạng tam thức bậc hai
Tổng quát : Cho tam thức bậc hai : P = ax2 + bx + c (a 0)
2
b
b2
2 b

P = a x + x ữ+ c = a x + ữ + c
a
2a
4a


2

b

= ax + ữ + k
2a


b2

5 21
21

Ta có : A = x ữ + 1
= x ữ
2
4
2
4
4

21
5
Vậy minA =
khi x = .
4
2
Ví dụ 2: Tìm GTLN của B = 1 + 6x 3x2
Giải: Ta có
B = 3(x 2 2x) + 1 = 3(x 1)2 + 1 + 3
= 3(x 1)2 + 4 4
Vậy maxB = 4 , tại x = 1.
Dạng 2: Đa thức bậc cao
- Biến đổi đa về dạng đa thức bậc 2 ( đặt ẩn phụ,)
Ví dụ 3 : Tìm GTNN của :
a)
A = x(x 3)(x 4)(x 7)
b)
B = (x + 8)4 + (x + 6)4
Giải:

2
A=
6x 5 9x 2
Giải:
2
2
=
Ta có: A = 2
9x 6x + 5 (3x 1)2 + 4
Ta thấy (3x 1)2 0 nên (3x 1)2 + 4 4 . Do đó
1
1
2
2
1


A
2
2
(3x 1) + 4 4
(3x 1) + 4 4
2
1
1
3x 1 = 0 x =
Vậy minA =
2
3
Dạng 4: Phân thức có mẫu là bình phơng của một nhị thức

x +1
Giải:
Sinh viên : Nguyễn

Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin. K48

15


Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS
* Tìm GTLN :
x 2 4x + 4 x 2 1 (x 2)2
= 2
1 1
x2 + 1
x +1
Vậy minC = - 1 khi và chỉ khi x = 2.
* Tìm GTNN:
Viết C dới dạng :
4x 2 + 4 4x 2 4x 1
(2x + 1)2
C=
=4 2
4
x2 + 1
x +1
1
Vậy maxC = 4 khi và chỉ khi x =
2
II.Phơng pháp tìm cực trị dựa vào luỹ thừa bậc chẵn.


S = x + (1 x ) = 3 x 2 ữ +

2 4
4

1
1
2
Vậy ymin =
tại x2 =
x=
4
2
2
2
2
2
Mặt khác, x + y = 1 x 1 1 x 1
6

2 3

2

1

S đạt giá trị max x 2 ữ đạt max x = 1 hoặc x = 0
2


2

x 2006 +

1 8023
+
4
4

8023 8023

4
4
1
8027
x 2006 = x =
. ( thoả (*)) .
2
4

= ( x 2006 )2 +
Vậy min C =

8023
4



Ví dụ 11.
Tìm min của E = x2 +2y2 2xy 4y + 5 .

( x + z 2)2 0 x,z và ( z 1)2 0 , z nên F 2006 x,y,z.

x y + z 1 = 0
x = 1


y = 1 .
Dấu = xảy ra khi x + z 2 = 0
z 1 = 0
z = 1



Vậy min F = 2006 x=y=z=1 .
Ví dụ 13.
Sinh viên : Nguyễn

Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin. K48

17


Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS
Tìm min của G =
Giải :

2
.
6x 5 9x 2


3
Ta có : G =

x

Ví dụ 14.

3x 2 8x + 6
Tìm min của H = 2
.
x 2x + 1
Giải :
Tập xác định của H là R\ {1} .

(2x 2 4x + 2) + (x 2 4x + 4)
(x 2)2
=2+
2
Ta có : H =
x 2 2x + 1
(x 1)2
min H = 2 x= 2

Ví dụ 15 .
Tìm max , min của I =
Giải :
* Tìm min I .

3 4x
.

Có nhiều cách giải ở đây , ví dụ :

1
2

K = x2 + (1-x)2 = 2(x )2 +
Ví dụ 17 .
Sinh viên : Nguyễn

1 1
1
1
1
. Min K = khi x = y = .
2 2
2
2
2

Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin. K48

18

1
2


Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS
Tìm min của L = x2 + y2 + z2 biết rằng x + y + z = 3 .
Giải: Ta có :

4x 2 + 1

III.Phơng pháp tìm cực trị theo tính chất giá trị tuyệt
đối.
A . Lí thuyết cơ bản .
Ta biết rằng : với A , B là những biểu thức đại số thì :
i) A + B A + B
ii) A B A + B
Dấu bằng xảy ra khi A.B 0 .
B. bài tập áp dụng
Ví dụ 18.
Tìm min của A = x 2 + x + 8 .
Giải :
Ta có : A = x 2 + x + 8 = 2 x + x + 8 2 x + x + 8 = 10 .
Suy ra minA = 10 khi (2-x)(x+8) 0 8 x 2 .
Sinh viên : Nguyễn

Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin. K48

19


Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS
Ví dụ 19.

x + 2(1 + x + 1) x + 2(1 x + 1) .

Tìm max của B =

Giải :

4

IV.Phơng pháp tìm cực trị dựa vào tập giá trị hàm.
A.Lí thuyết cơ bản .
Ta đã biết : phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có nghiệm nếu
= b 2 4ac 0 .
Nếu biểu thức A =

f(x)
xác định trên miền D có thể quy về dạng
g(x)

f(A)x2 + g(A)x + k = 0 (1) ( k là một số thực ) thì rõ ràng với mỗi x thuộc tập nguồn
D thoả (1) sẽ cho một ảnh h(A) của tập đích E của A . Vì vậy bằng cách gián tiếp
dựa vào điều kiện có nghiệm của phơng trình (1) ta sẽ xác định đợc tập đích E và
do đó chỉ ra giới hạn miền giá trị của A hay chỉ ra maxA , minA.
Ví dụ 20 : Tìm giá trị max và min của biểu thức
x 2 + 6x + 1
x2 + 1
Giải:
x 2 + 6x + 1
Đặt y =
TXĐ: R ( vì x 2 + 1 0, x )
2
x +1
Gọi y0 là một giá trị của hàm. Phơng trình :
Sinh viên : Nguyễn

Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin. K48


x2 x + 1
x2 + x + 1

(1)

(a 1)x2 + (a + 1)x + (a 1) = 0 ( Do x2 +x +1 > 0 x ) . (2)

* Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0 .
* Nếu a 1 thì để (2) có nghiệm ta cần có :

0 (a + 1)2 4(a 1)2 0
1
(3a 1)(a 3) 0 a 3(a 1) .
3
(a + 1)
a +1
1
=
Với a = hoặc a=3 thì nghiệm (2) là : x =
.
2(a 1) 2(1 a)
3
1
Với a = thì x = 1 , với a=3 thì x = -1 .
3
1
Kết hợp hai trờng hợp trên ta có : min A = x = 1 ; maxA = 3 x=-1 .
3
Ví dụ 22.


;
2

5 + 15
.
2
Kết hợp hai trờng hợp trên và điều kiện (*) ta có :
Với m = 7 + 2 15 thì x =

maxB = 1 khi x = 2,5 ; min B = 7 2 15 khi x=

5 15
.
2

C. Bài tập tự luyện .
Tìm max , min của những biểu thức sau :
2x 2 16x + 41
a) C = 2
;
x 8x + 22
4x 2 6x + 1
b) D =
;
(2x 1)2
x
c) E =
.
(x + 10)2
V.Phơng pháp tìm cực trị sử dụng bất đẳng thức Côsi .

max n a1a 2 a 3 ...a n =

Sinh viên : Nguyễn

Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin. K48

22


Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS
Cho a.b.c = 1 . Tìm min của A = (a2 + b2)(b2 + c2)(c2 + a2) .
Giải :
Theo BĐT Cô- si ta có :
a 2 + b 2 2 ab 0
2
2
b + c 2 bc 0 dấu bằng xảy ra khi a = b = c .
2
2
c + a 2 ca 0
2 2 2
Suy ra A = (a2 + b2)(b2 + c2)(c2 +a2) 8 a b c = 8
Vậy min A = 8 a=b=c=1 .
Ví dụ 24 .
a,b,c,d > 0

Cho 1
, tìm max a.b.c.d ?
1
1

Tơng tự :

1
acd
33
0 ;
1+ b
(1 + c)(1 + d)(1 + a)
1
abd
33
0
1+ c
(1 + b)(1 + d)(1 + a)

1
abc
33
0 .
1+ d
(1 + a)(1 + b)(1 + c)
Nhân vế với vế 4 BĐT trên ta đợc :
1
81
1

abcd
.
(1 + a)(1 + b)(1 + c)(1 + d) (1 + a)(1 + b)(1 + c)(1 + d)
81


Sinh viên : Nguyễn

Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin. K48

23


Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS
Vậy minB = 3 khi a = 2; b = 1 .
Ví dụ 26 .
a 3

ab c 2 + bc a 3 + ca b 4
Cho b 4 . Tìm max C =
.
2 2
c 2

Giải . Ta có :
ab
ab (c 2) + 2 abc
ab c 2 =
(c 2)2
=
2
2
2
2 2
bc



+
+ .
Dấu bằng khi a 3 = 3 a = 6 . Vậy max C =
2 2 2 3 4
b 4 = 4
b = 8


Ví dụ 27 .
a
b
c
+
+
Cho a,b,c là 3 số dơng bất kỳ . Tìm min của D =
b+c c+a a+b
Giải :
a
b
c
) + (1 +
) + (1 +
)
Ta có : D + 3 = (1 +
b+c
c+a
a+b
a+b+c a+b+c a+b+c

1
P = 1 + ữ 1 + ữ 1 + ữ
a
b
c

Giải: Ta có:
1 1 1 1
1
1
1
P =1+ + + + + + +
a b c ab bc ca abc
Sinh viên : Nguyễn

Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin. K48

24


Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS
áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dơng ta có:
1
1
a + b + c 3 3 abc abc 3
33
3
abc

(1)

y

1 x +1 x + x + y
y
=
=2+
Ta có : 1 + =
x
x
x
x
1 y +1 y + x + y
x
1+ =
=
=2+
y
y
y
y
x y
1
1
x
y

G = 1 + ữ 1 + ữ = 2 + ữ 2 + ữ = 4 + 2 + ữ+ 1 4 + 4 + 1 = 9
x
y
y

Ví dụ 31: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
a3
b3
trong đó a, b là các số thực dơng thoả mãn ab=1.
A=
+
1+ b 1+ a
Giải: : áp dụng BĐT Côsi và giả thiết a> 0, b > 0 và ab=1 ta có:

Sinh viên : Nguyễn

Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin. K48

25