INEQ Để học giỏi toán điều đầu tiên cần làm đó là học toán
Chúng ta sẽ rèn luyện chuyên đề tìm GTLN, GTNN thông qua hai bước chính
1. Ôn tập các kiến thức về bất đẳng thức (tập trung vào AM - GM và CBS).
2. Sử dụng kiến thức về bất đẳng thức AM - GM và CBS kết hợp với công cụ khảo sát hàm
số để giải quyết các bài toán tìm GTLN, GTNN.
1
INEQ Để học giỏi toán điều đầu tiên cần làm đó là học toán
2
Phần I
LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ MINH HỌA
3

Chương 1
Kiến thức căn bản
1.1. Bất đẳng thức AM - GM và Cauchy - Bunyakovky -
Schwarz
Đây là hai bất đẳng thức được sử dụng rất nhiều trong việc chứng minh. Sau đây chúng ta
nhắc lại hai kết quả quan trọng đó.
1.1.1 Định lí (Bất đẳng thức AM - GM). Cho 3 số không âm a, b, c. Khi đó
(i) a + b ≥ 2
√
ab
(ii) a + b + c ≥ 3
3
√
abc
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
1.1.2 Định lí (Bất đẳng thức Cauchy - Bunyakovky - Schwarz). Cho hai bộ số a, b, c và x, y, z.
Khi đó
(i) (a
2

a
+
1
b

≥ 4, (a + b + c)

1
a
+
1
b
+
1
b

≥ 9
(ii) a
3
+ b
3
≥ ab(a + b), a
3
+ b
3
≥
(a + b)
3
4
.

INEQ Để học giỏi toán điều đầu tiên cần làm đó là học toán
(iv) Cauchy - Schwarz dạng angel.
a
2
x
+
b
2
y
+
c
2
z
≥
(a + b + c)
2
x + y + z
, a, b, c ∈ R
(v)
√
a
2
+ x
2
+

b
2
+ y
2

(1 + b)
2
≥
1
1 + ab
.
(viii)
1
1 + a
2
+
1
1 + b
2
≤
2
1 + ab
với ab ≤ 1.
1.2. Chọn điểm rơi
Vấn đề quan trọng nhất của việc sử dụng hai bất đẳng thức nói trên nằm ở việc chọn điểm rơi.
Ta xét ví dụ quan trọng sau
1.2.1 Ví dụ. Cho các số dương x, y, z thoản mãn xyz = 1. Chứng minh rằng

1 + x
3
+ y
3
xy
+


3
≥ 3
3

1.x
3
.y
3
= 3xy
suy ra

1 + x
3
+ y
3
xy
≥
√
3xy
xy
=
√
3
√
xy
=
√
3z.
Tương tự ta có


+ z
3
yz
+
√
1 + z
3
+ x
3
zx
≥
√
3

√
x +
√
y +
√
z

≥
√
3.3
3

√
x
√
y

z
+
√
x −2
x
+
√
y −3
y
.
Do yêu cầu phải đánh giá P ≤ C, nên ta sẽ lần lượt đánh giá từng số hạng. Cụ thể ta sẽ cố
gắng đánh giá
√
z −4
z
≤ m
Biểu thức
√
z −4 làm ta liên tưởng đến bất đẳng thức AM - GM, nhiệm vụ là ta chọn số k
sao cho biểu thức sau khi đánh giá có thể đơn giản với z ở mẫu

k(z − 4) ≤
k + z − 4
2
Nhận thấy ngay giá trị k nhận chính là 4. Từ phân tích đó ta có lời giải như sau:
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho 4, z − 4 ta có

4(z −4) ≤
4 + z − 4
2

2

1
2
+
1
√
2
+
1
√
3

hay
max P =
1
2

1
2
+
1
√
2
+
1
√
3

khi x = 4, y = 6, z = 8. 

+ c
2
)(x
2
+ y
2
+ z
2
) ≥ (ax + by + cz)
2
khi đó ta chỉ việc chọn (x, y, z) = (1, 1, 1) thì sẽ có được điều mong muốn! Thế khi có hệ số
vào thì sao?
(3a
2
+ 4b
2
+ 5c
2
)(x
2
+ y
2
+ z
2
) ≥ (ax
√
3 + by
√
4 + cz
√

3
+
1
4
+
1
5

≥

a
√
3
1
√
3
+ b
√
4
1
2
+ c
√
5
1
√
5

2
≥ (a + b + c)






√
3a
1
√
3
=
√
4a
1
√
4
=
√
5a
1
√
5
a + b + c =
47
12
hay





+
1
x + y + 2z
≤ 1.
8
INEQ Để học giỏi toán điều đầu tiên cần làm đó là học toán
Giải.
Dựa vào việc dự đoán điểm rơi là x = y = z nên ta áp dụng hệ quả (iii) như sau
1
2x + y + z
=
1
x + y + x + z
≤
1
4

1
x + y
+
1
x + z

Áp dụng lần nữa ta được
1
2x + y + z
≤
1
4
















1
2x + y + z
≤
1
16

2
x
+
1
y
+
1
z

1

1
2x + y + z
+
1
x + 2y + z
+
1
x + y + 2z
≤
1
4

4
x
+
4
y
+
4
z

= 1
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1. 
Bất đẳng thức khó một phần vì hình dáng cồng kềnh của nó. Bằng phương pháp đổi biến
sẽ phần nào giúp cho hình dáng của chúng nhẹ nhàng hơn.
1.2.5 Ví dụ. Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Tìm GTNN của biểu thức sau
P =
x
2
(y + z)


a = x
√
x
b = y
√
y
c = z
√
z
theo giả thiết thì xyz = 1 nên abc = 1. Lúc này, nếu chúng ta thay vào P một cách máy móc
thì vẫn chưa làm P đơn giản hơn. Ta nhận thấy khi áp AM - GM thì
x
2
(y + z) ≥ x
2
.2
√
yz = 2x
√
x = 2a
y
2
(z + x) ≥ y
2
.2
√
zx = 2y
√
y = 2b

+
b
2
bc + 2ab
+
c
2
ac + 2bc

≥ 2
(a + b + c)
2
3(ab + bc + ca)
Sử dụng một kết quả khá quen thuộc (a + b + c)
2
≥ 3(ab + bc + ca) ta thu được
P ≥ 2.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 hay x = y = z = 1. 
Để khắc sâu và làm rõ hơn các kĩ thuật cơ bản này, chúng ta có các bài tập sau.
1.2.6 Bài tập. (1) Cho x, y, z > 0 và thỏa mãn x + y + z =
3
4
. Chứng minh rằng
3

x + 3y +
3

y + 3z +
3

z
3
z
+ 3
x+y
≥
3
x
+ 3
y
+ 3
z
4
.
(3) Cho x, y là các số thực không âm. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức sau
P =
(x −y)(1 − xy)
(1 + x)
2
(1 + y)
2
.
(4) Cho x, y, z > 0. Tìm GTNN của biểu thức
P = x

x
2
+
1
yz

≥
3
2
.
(6) Cho hai số thực dương thỏa mãn x + y ≥ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của
A =
3x
2
+ 4
4x
+
2 + y
3
y
2
.
(7) Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 thì
(1 + x)

1 +
y
x


1 +
9
√
y

2

4 −3b
1 + 4 − 3b
+
3b
1 + b
=
4 −3b
5 −3b
+
3b
1 + b
, vì thế ta xét hàm số
f(t) =
4 −3t
5 −3t
+
3t
1 + t
, t ∈

0,
4
3

.
Suy ra f

(t) =
−3
(3t −5)

2.1.2 Nhận xét. Chúng ta thấy rõ: nếu chỉ kết luận b ∈ [0, +∞) thì ta không tìm được giá
trị lớn nhất của P . Điều này càng chứng tỏ việc tìm điều kiện chặt cho b quan trọng như thế
nào.
2.1.3 Bài tập. (1) Cho các số thực dương thỏa mãn x + y =
5
4
. Tìm GTNN của biểu thức
S =
4
x
+
1
4y
.
(2) Tìm giá trị nhỏ nhất của
A =

(x −1)
2
+ y
2
+

(x + 1)
2
+ y
2
+ |y − 2|.
(3) Cho hai số thực không âm thỏa mãn x + y = 1. Tìm max, min của biểu thức
S = (4x

y
+
y
x
.
2.2.1 Ví dụ. Cho các số thực thỏa mãn (x − 4)
2
+ (y − 4)
2
+ 2xy ≤ 32. Tìm GTNN của
biểu thức
A = x
3
+ y
3
+ 3 (xy − 1) (x + y −2) .
Giải. Biểu thức A đã có dạng đối xứng, bây giờ ta biến đổi để có những biểu thức tổng tích
A = x
3
+ y
3
+ 3 (xy − 1) (x + y −2)
= (x + y)

x
2
+ y
2
− xy


≥ (x + y)
3
−
3
2
(x + y)
2
− 3(x + y) + 6
Vậy là ta đạt được yêu cầu thứ nhất là đánh giá A theo hàm một biến t = x + y. Tiếp theo
ta tìm điều kiện cho t. Sử dụng giả thiết ta được
(x −4)
2
+ (y − 4)
2
+ 2xy ≤ 32
⇔ x
2
+ y
2
− 8x − 8y + 32 + 2xy ≤ 0
⇔ (x + y)
2
− 8(x + y) ≤ 0
⇔ 0 ≤ x + y ≤ 8
Đến đây ta chỉ còn việc khảo sát hàm số f(t) = t
3
−
3
2
t


=
17 −5
√
5
4
, f(8) = 398. Dẫn đến f (t) ≥
17 −5
√
5
4
hay
A ≥
17 −5
√
5
4
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là
17 −5
√
5
4
khi x = y =
1 +
√
5
4
. 
Việc đưa biểu thức đối xứng về biểu thức xuất hiện tổng tích ở ví dụ trên tương đối dễ

2
≤ 3y −2
13
INEQ Để học giỏi toán điều đầu tiên cần làm đó là học toán
Sử dụng hai bất đẳng thức phụ này ta sẽ đánh giá P như sau
P ≥
x + 2y
3x −2 + 3y + 5
+
y + 2x
3y −2 + 3x + 5
+
1
4 (x + y − 1)
≥
x + 2y
3x + 3y + 3
+
y + 2x
3y + 3x + 3
+
1
4 (x + y − 1)
≥
x + y
x + y + 1
+
1
4 (x + y − 1)
Công việc còn lại là chúng ta chỉ cần khảo sát hàm số f(t) =

2
. Ngoài điều kiện
này, đôi khi chúng ta còn gặp dạng điều kiện a < x, y ≤ b hoặc x, y ≥ b. Với những dạng này
chúng ta có thể khai thác theo hướng (b −x)(b − y) ≥ 0 hoặc (x −1)(y −1) ≥ 0.
2.2.4 Bài tập. (1) Cho các số thực thỏa mãn (x + y)
3
+ 4xy ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
A = 3(x
4
+ y
4
+ x
2
y
2
) −2(x
2
+ y
2
) + 1.
(2) Cho các số thực x, y thỏa mãn x

2 −y
2
+ y
√
2 −x
2
= 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu

3
b
3
+
b
3
a
3

− 9

a
2
b
2
+
b
2
a
2

.
(5) Cho hai số thực x, y ∈ (0, 1] thỏa mãn x + y = 4xy. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
của biểu thức M = x
2
+ y
2
− 7xy.
(6) Cho x, y thỏa mãn x, y ≥ 1 và 3(x + y) = 4xy. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu
thức

x + y
.
(8) Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x
4
+ y
4
+
1
xy
= xy + 2. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức
P =
2
1 + x
2
+
2
1 + y
2
−
3
1 + 2xy
.
(9) Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a
2
+ b
2
+ a + b = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
P = 2

2
= 3. Tìm giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x
2
+ 2xy − y
2
.
Giải. Ta xét tỉ số A =
P
3
=
x
2
+ 2xy − y
2
4x
2
+ 2xy + y
2
. Việc lập tỉ số này giúp ta tạo ra một phân số
đẳng cấp.
Nếu y = 0, từ giả thiết suy ra x = ±
√
3
2
. Do đó P =
3
4
.
Nếu y = 0, chia tử và mẫu của A cho y

t
2
+ 2t − 1
4t
2
+ 2t + 1
. Ta có
f

(t) =
−6t
2
+ 10t + 4
(4t
2
+ 2t + 1)
2
; f

(t) = 0 ⇔

t = 2
t = −
1
3
Bảng biến thiên
15
INEQ Để học giỏi toán điều đầu tiên cần làm đó là học toán
Dựa vào bảng biến thiên ta có min f (t) = f


và giá trị nhỏ nhất của P là -6 khi (x, y) =


3
7
, −3

3
7

hoặc (x, y) =

−

3
7
, 3

3
7

. 
2.3.2 Bài tập. (1) Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x
2
+ xy + y
2
≤ 3. Tìm giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P = x
2
− xy − 3y

P =
x
2
y −4y
3
x
3
+ 8y
3
.
16
Chương 3
Hàm ba biến
3.1. Xét hàm từng biến
3.2. Xử lí biểu thức đối xứng
Kĩ thuật xử lí đối với biểu thức 3 biến đối xứng cũng giống như phần hai biến đối xứng,
trong đó
t = a + b + c, t = ab + bc + ca, t = abc, t =
a
b
+
b
c
+
c
a
Bên cạnh đó ta chú ý một số kết quả thông dụng
(i) a
2
+ b

2
) + 3(ab + bc + ca) + 2

a
2
+ b
2
+ c
2
.
Giải. Sử dụng các kết quả trên, ta biến đổi đánh giá M về biểu thức chỉ toàn chứa ab+bc+ca
M = 3(a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
) + 3(ab + bc + ca) + 2

a
2
+ b
2
+ c

Tiếp theo ta tìm điều kiện cho biến t = ab + bc + ca. Sử dụng điều kiện a + b + c = 1 nên ta
được
1 = (a + b + c)
2
≥ 3(ab + bc + ca) = 3t
⇒ t ≤
1
3
17
INEQ Để học giỏi toán điều đầu tiên cần làm đó là học toán
cùng với điều kiện a, b, c không âm nên t ∈

0,
1
3

.
Xét hàm số f(t) = t
2
+3t+2
√
1 −2t, t ∈

0,
1
3

. Khi đó f

(t) = 2t+3−

+(ca)
2
≥
(ab + bc + ca)
2
3
và thay thế a
2
+ b
2
+ c
2
= 1 −2(ab + bc +ca). Thế nếu chúng ta không thay thế mà đánh giá
a
2
+ b
2
+ c
2
≥ ab +bc + ca thì có gì khác biệt? Câu trả lời là khi đó f(t) = t
2
+ 3t +2
√
t ≥ 0
nhưng dấu “=” không xảy ra được. Một lần nữa cho thấy việc khống chế điểm rơi có giá trị
như thế nào.
- Về mặt phương pháp tương đối giống như biểu thức hai biến.
3.2.3 Bài tập. (1) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị lớn của
biểu thức
P =

+ z
2
= 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
P =
(x + y + z − 1)
2
x
2
y + y
2
z + z
2
x
+
1
x
+
1
y
+
1
z
.
(4) Cho các số thực thỏa mãn x + y + z = 0 . Tìm GTNN của biểu thức
P = 3
|x−y|
+ 3
|y−z|
+ 3

t =
a + b
c
, t = c, t = a + b + c
Chú ý: trong trường hợp t = a + b + c thì phải kiểm soát dấu “=” thật chặt vì có thể dấu “=”
xảy ra khi a = b = c hoặc a = b = c.
3.3.1 Ví dụ. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện (a + c)(b + c) = 4c
2
. Tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức
P =
32a
3
(b + 3c)
3
+
32b
3
(a + 2c)
3
−
√
a
2
+ b
2
c
.
Giải. Biểu thức P chứa ba biến a, b, c, trong đó a, b có tính đối xứng với nhau. Ta dự đoán
dấu bằng xảy ra khi a = b.






−


a
c

2
+

b
c

2
Trở lại với giả thiết, chia cho c
2
được

a
c
+ 1


b
c
+ 1

19
INEQ Để học giỏi toán điều đầu tiên cần làm đó là học toán
Sử dụng kết quả a
3
+ b
3
≥
(a + b)
3
4
ta được
P ≥ 8

x
y + 3
+
y
x + 3

3
−

x
2
+ y
2
≥ 8

x(x + 3) + y(y + 3)
(y + 3)(x + 3)

−

(x + y)
2
− 2(3 − x −y)
≥ 8

(x + y)
2
− 2(3 − x −y) + 3(x + y)
12 + 2(x + y)

3
−

(x + y)
2
− 2(3 − x −y)
≥ 8

(x + y)
2
+ 5(x + y) − 6
12 + 2(x + y)

3
−

(x + y)
2

−
√
t
2
+ 2t − 6 với t ∈ [2, +∞). Khi đó
f

(t) = 3(t −1)
2
−
t + 1
√
t
2
+ 2t − 6
Vì t ≥ 2 nên 3(t − 1)
2
≥ 3 và
t + 1
√
t
2
+ 2t − 6
≥
3
√
2
2
. Do đó f


+ 3(x + y)(x + z)(y + z) ≤ 5(y + z)
3
.
(3) Cho x, y, z là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P =
4
√
a
2
+ b
2
+ c
2
+ 4
−
9
(a + b)

(a + 2c)(b + 2c)
.
20
INEQ Để học giỏi toán điều đầu tiên cần làm đó là học toán
(4) Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x ≥ y ≥ z và điều kiện x
2
+ y
2
+ z
2
= 3.
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

3c
√
1 + c
2
.
21