Tìm giá trị lớn nhất, giá trị của nhất của biểu thức một biến dạng
phân thức
(GV : Nguyễn Hà Tuyên THCS Hoàng Hoa Thám, Cầu Gồ, Yên Thế Bắc Giang)

ở chơng trình lớp 8 khi học về chơng phân thức các em học sinh gặp dạng bài tìm giá trị lớn
nhất, giá trị của nhất của biểu thức một biến dạng phân thức. Bài viết sau đây xin giới thiệu một
số ví dụ qua đó các em tự rút ra kinh nghiệm khi giải các bài toán thuộc dạng toán này.
1) Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
8 3
4 1
x
A
x
+
=
+
Giải:
Ta có:
( ) ( )
( )
2
2 2
2 2 2
4 8 4 4 1
2 2
8 3
1 1
4 1 4 1 4 1
x x x
x

= = =
+ + +
A
max
=4. Dấu = xảy ra

4x-1=0

1
4
x =
2) Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
2
3 2 3
1
x x
B
x
+ +
=
+
Giải
( )
( )
( )
2
2
2
2

1
3 2 3
4 4
1 1 1
x x x
x
x x
B
x x x
+ +

+ +
= = =
+ + +
B
max
=4. Dấu = xảy ra

x-1=0

x=1
3) Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
2
2 2
1
x x
C
x x
+

2 2 3 3
2 2
1 1
1 1
1
x x x
C
x x x x
x x

= = =
+ + + +
+ +

Lại có:
2
2
1 1 3 1 1 3
1
4 2 4x x x

+ + = + +
ữ

Do đó:
3
2 2
3
4
C =

2009 2010
2 2010
2010 2010
2010
2009 2009
2010 2010 2010
x x
x x
x x
D
x x x
x
x
+
+
+
= = =

= +
D
min
=
2009
2010
. Dấu = xảy ra x=2010
5) Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
( )
2
2010
x

= =
+ +
+
= =
+ +
E
max
=
1
8040
. Dấu = xảy ra x=2010
6) Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2
4 2
1
x
F
x x
=
+ +
Giải:
Ta có:
4 2
2
2 2
1 1 1
1
x x
x
F x x

1) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các biểu thức:
a)
2
2
1
1
x
A
x x
+
=
+ +
b)
2
4 3
1
x
B
x
+
=
+
2) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c biÓu thøc:
a)
2
2
5 4 4x x
C
x
− +

1
x x
D
x
+
=
+