Một số phơng pháp giải toán cực trị
phần ! : Bài toán cực trị Phần đại số
A . Yêu cầu
A . một số Kiến thức cơ bản
1. Định nghĩa Cho biểu thức f(x) xác định trên D
a) Ta nói rằng M = const là giá trị lớn nhất của f(x) trên D nếu hai điều kiện
sau đồng thời đợc thoả mãn
1
o
. f(x) M với x D
2
o
. Tồn tại x
0
D sao cho f(x
0
) = M. kí hiệu là max f(x) = M
b) Ta nói rằng m = const là giá trị nhỏ nhất của f(x) rtên D nếu thoả mãn đồng
thời hai điều kiện sau:
1
o
. f(x) m với x D
2
o
. Tồn tại x
0
D sao cho f(x
0
) = m.
2. Các b ớc cơ bản tiến hành giải toán cực trị
- B ớc 1 : Chứng minh bất đẳng thức:


m hoặc f(x)

M thì cha đủ để kết luận về
GTLN hoặc GTLN
Ví dụ : Tìm GTNN của biểu thức A = (x - 1)
2
+(x-3)
2
Giải : Ta có (x-1)
2
0 x (1)
( x - 3 )
2
0 (2)
A 0 x nhng không thể kết luận đợc Min A = 0 vì không xảy ra đồng thời
hai BĐT (1) và (2).
Ta có: f(x) = x
2
- 2x + 1 + x
2
-6x + 9 = 2 ( x
2
- 4x + 2 ) = 2 ( x - 2 )
2
+ 2 2
1
Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá
Một số phơng pháp giải toán cực trị
Vậy Min A = 2 x - 2 = 0 x = 2

aaa
n
aaa
...
...
21
21

+++
Dấu bằng xảy ra khi a
1
= a
2
= ... = a
n
.
b) Bất đẳng thức Bunhiacopski
+ Nếu a
1
, a
2
, ..., a
n
và b
1
, b
2
, ..., b
n
là 2n số tuỳ ý thì:

1
.
(Quy ớc nếu a
i
= 0 thì b
i
= 0 i = 0, 1, 2, 3, ... n)
c) Bất đẳng thức trị tuyệt đối
*.
0

a
a D dấu bằng xảy ra a = 0
*
baba
++
với a,b D dấu bằng xảy ra a.b 0.
Tổng quát : a
1
, a
2
, ..., a
n
D thì
nn
aaaaaa
++++++
......
2121
Dấu bằng xảy ra khi đôi một cùng dấu.

học sinh . Tuy nhiên có thể thấy rằng có thể vận dụng BĐT Bunhiacopski cho 2 dãy
số x,y,z và y,z ,x ta có
( x
2
+ y
2
+ z
2
) ( xy + yz + zx )
2

Từ đó ta suy ra nếu ( x, y, z )

D Thì ( x
2
+ y
2
+ z
2
) 16
Lại áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 2 dãy số x
2
,y
2
,z
2
và 1,1 ,1 ta có
3 ( x
4
+ y

16
và (
3
2
,
3
2
,
3
2
)

D
Vậy Min f (x,y,z) = 16/3
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
B =
+

x
x 1
với x 1,y 2 , z 3
A =
+

x
x 1

+

y

yy
=
+
=

32
2
33
.
3
1
3
3
1
3
zz
zz
=
+
=

A
z
z
y
y
x
x
3222
2


Max A =
32
1
22
1
2
1
++






=
=
=

6
4
2
z
y
x
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) D =
12
+
xx

Dấu "=" xảy ra khi ab 0. Ta có:
11
11

xx
11
22

xx
.................
11
20042004

xx
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta đợc:
E =
1...11
200421
+++
xxx

200421
... xxx
+++
-

12004
1...11
só
+++

xzy
t
txy
z
xzt
y
tzy
x
++
+
++
+
++
+
++
+
++
+
++
+
++
+
++
Học sinh có thể ngộ nhận và vận dụng ngay BĐT

2
+
a
b
b

A =
)11(2)11(2
++++++
xxxx
2) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
f(x,y,z) = xyz(x+y ) (y+z) (z+x) xét trên miền
D =
{ }
1,0,0,0:),,(
=++>>>
zyxzyxxyx
3) Tìm giá trị bé nhất của hàm số :
f(x,y,z) = ( 1+
x
1
) ( 1+
y
1
) ( 1+
z
1
) Xét trên miền.
D =
{ }
1;0,0,0:),,( =++>>> zyxzyxzyx
Ph ơng pháp 2
Tìm cực trị dựa vào tính chất của luỹ thừa bậc chẵn
2.1. Nội dung ph ơng pháp
5
Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá

-B
2k
+ M M bằng các phép biến đổi đại số

2.3 : các ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1: Tìm GTNN của A = 3x
2
+ 6x - 5
Giải: Ta có A = 3 ( x
2
+ 2x + 1 ) - 8 = 3 (x + 1 )
2
- 8 - 8
Dấu bằng xảy ra x + 1 = 0 x = - 1
Vậy Min A = - 8 x = - 1
Ví dụ 2: Tìm GTLN của B = - 5x
2
- 4x + 1
Giải : A = -5 ( x
2
+ 4/5 x ) + 1 = -5 ( x
2
+ 4/5x + 4/25 ) + 9/5
( x
2
+ 2/5 )
2
+9/5 9/5
Dấu = xảy ra


2
+ bx + c bằng cách đổi biến số , cụ thể
cách làm nh sau :
C =
22
2
)1(
1
1
2
3
)1(
1)1(2)12(3

+

=

++
xxx
xxx
Đặt y =
1
1

x
(y

0 )
6

4
3
-
4
3
Đẳng thức xảy ra x =
2
1
và y =
2
x
=
4
1
min f(x,y) = -
4
3








=
=
4
1
2

)
2
-
4
9
-
4
9

Đẳng thức xảy ra x = -
2
1
min f(x,y) = -
4
9








=
=
4
1
2
1
y

2
1
thì 2 dấu đẳng thức xảy ra không đồng thời nên
GTNN của g(x) không phải là GTNN của f(x,y).
Hoặc với bài:
Ví dụ 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của:
M = x +
x
M = x +
x
= ( x +
x
+
4
1
) -
4
1
= (
x
+
2
1
)
2
-
4
1
-
4

- 2xy - 2y
2
+ 14x + 10y - 1.
3) Tìm giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất ) của :
A =
2
2
95
x
xx
++
B =
2
2
)1(
952
+
+
x
xx

Ph ơng pháp 3 :
Phơng pháp miền giá trị hàm số
3.1 . Nội dung ph ơng pháp.
8
Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá
Một số phơng pháp giải toán cực trị
Với bài toán tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số f(x) nếu x

D gọi y

Bài toán 1 : Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số.
f(x) =
123
3102
2
2
++
++
xx
xx
với x

R.
Giải
Gọi y
0
là giá trị tuỳ ý của hàm số . Vậy phơng trình sau đây ( ẩn x ) có nghiệm.
123
3102
2
2
++
++
xx
xx
= y
0
(1)
Do 3x
2

3
2
(2) có nghiệm
Tức f(x) =
3
2


x

R
9
Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá
Một số phơng pháp giải toán cực trị
* Nếu 3y
0
- 2

0 y
0



3
2
thì (2) là phơng trình bậc 2 đối với ẩn x Do đó
(2) có nghiệm nếu:


= - 2y

2
+ y
2

xét trên miền D = (x,y) ; ( x
2
- y
2
+ 1)
2
+ 4x
2
y
2
- x
2
- y
2
= 0
Giải: Gọi t
0
là một giá trị bất kì của hàm số f(x,y) trên miền D . Điều đó
chứng tỏ phơng trình ẩn (x,y) sau có nghiệm:






=++







=++
=+
)(
)(
40413
3
2
0
2
0
22
xtt
tyx
Để (4) ẩn x có nghiệm thì:
t
2
- 3t
0
+ 1

0


2


4y
2
= t
2
0
+ t
0
+ 1 (6)
Do t
0
2
+ t
0
+ 1 > 0

t
0


với điều kiện (5) thì (6) có nghiệm.
Nghĩa là (5) là điều kiện để hệ (3), (4) tức là hệ (1) , (2) có nghiệm.


Max(x,y) =
2
53
+
, Min(x,y) =
2

11
Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá