CHUYÊN ĐỀ
ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC
VÀO GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÌM CỰC TRỊ
A.Mục tiêu
•
Học sinh biết áp dụng bất đẳng thức vào giải một số dạng toán
tìm cực trị
•
Rèn kĩ năng vận dụng nhận dạng, đưa bài toán vế các dạng cơ
bản để thuận tiện cho việc tìm cực trị
•
Giáo dục lòng đam mê toán học cho học sinh
B.Chuẩn bị
•
Sách “Bất đẳng thức chọn lọc cấp II”
•
Sách “ 263 bài toán bất đẳng thức chọn lọc”
•
Các loại sách nâng cao THCS và một số tài liệu khác
C.Nội dung
I.Các ví dụ minh họa

Dạng 1: Đưa về dạng
2
( ) ( )f x a g x= ±
Ví dụ 1
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
2 1
2
2
x

2
-36≥ -36
Dấu bằng sảy ra khi: x
2
+5x=0 ↔ x=0 hoặc x= -5 .
Vậy Miny=-36 khi x=0 hoặc x=-5
Ví dụ 3:
Tìm giá trị lớn nhất của biẻu thức
F(x,y)=xy-x
2
-y
2
-2x-3y
Giải: 1/2[(2xy-x
2
-y
2
)-(x
2
+4x+4)-(y
2
-4y+4)]+4
=4-1/2[(x-y)
2
+(x-2)
2
+(y+2)
2
]≤ 4
Vậy f(x,y) đạt giá trị lớn nhất bằng 4 khi y=x=-2

≤


+


≥ −

+

với mọi x thuộc R
↔
2
4 ax+4-b 0
2
x ax+b+1 0
x

− ≥



+ ≥

với mọi x thuộc R
↔
2
1 16(4 ) 0 3
2 4
2 4( 1) 0


Dạng 3: dựa vào miền xác định của hàm số
-
Phương pháp: gọi f(x
0
)=0 tìm biến f(x
0
) ≠0 dùng
∆
tính giá trị
lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Y=2x+1/x
2
+2 có nghiệm
↔ y
0
x
2
+y
0
-2=2x+1
↔ y
0
x
2
-2x+2y
0
-1=0 có nghiệm (1)
1)Nếu y

↔ yx
2
+ (
y-1)x+y-1=0 có nghiệm (1)
1) Nếu y1=0 ↔ x=-1 (2)
2) Nếu y1≠0 thì (1) có nghiệm
§µo Anh Dòng http://violet.vn/tranthuquynh81 3
Δ=(y1-1)
2
-4y1(y1-1)≥0
↔ (y1-1)(-3y1-1)≥0
↔ -1/3≤y1≤1 (3)
Từ (2) và (3) ↔ -1/3≤y≤1
Vậy Miny=-1/3 và Maxy=1

Dạng 4: dùng bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopsky
+với a
1
,a
2
,a
3
,…,a
n
≥0 ta luôn có:
n
a1+a2+...+an n a2.a2...an≥
dầu bằng xảy ra ↔ a
1
=a

2
≤ (a
1
2
+a
2
2
+…+a
n
2
)( b
1
2
+b
2
2
+…+b
n
2
)
dấu bằng xảy ra ↔ a
1
/b
1
= a
2
/b
2
= …= a
n

Từ (1) và (2) ↔ S≤ 8/729
Vậy MaxS=8/729 khi a=b=c=1/3
Ví dụ 3: Cho ab+bc+ac=1 tìm giá trị nhỏ nhất của a
4
+b
4
+c
4
Giải: Áp dụng BĐT Bunhiacopsky ta có
1=(ab+bc+ca)
2
≤ (a
2
+b
2
+c
2
)(a
2
+b
2
+c
2
)= (a
2
+b
2
+c
2
)

≥1/2
Vậy Min(a
4
+b
4
+c
4
)=1/3 ↔
3
a=b=c=
3
±
II.Bài tập áp dụng
1.Tìm Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
F(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)
2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
Y=(4x+3)/(x
2
+1)
3.Tìm giá trị lớn nhất của
S=x
6
+y
6
biết x
2
+y
2
=1
4.Tìm Giá trị nhỏ nhất của