Chuyên đề 1:
Vận dụng bất đẳng thức cosi để tìm cực trị.
Chúng ta đã biết với a

0; b

0 thì a + b

2
ab
(1)
(dấu = xảy ra

a = b).
Đó là bất đẳng thức Co-si đối với hai số không âm. Bất đẳng thức này còn đợc mở
rộng đối với n số không âm: với a
1
,a
2
,,a
n


0 thì
a
1
+ a
2
++ a
n


n
= k (không đổi) thì
Min(a
1
+a
2
++a
n
) = n
n
k
(khi và chỉ khi a
1
=a
2
==a
n
).
Nếu a
1
+a
2
++a
n
= k (không đổi) thì
max(a
1
a
2
a

Giải: Vì x>0, y>0 nên
0;0;0
1
;0
1
>>>>
yx
yx
.Vận dụng bất đẳng thức Co-si đối
với hai số dơng
x
1
và
y
1
ta đợc








+
yxyx
11
2
111
suy ra

để dùng điều kiện
tổng
2
111
=+
yx
, từ đó đợc
.4

xy
Lần thứ hai ta đã làm giảm ttổng (
)yx
+
bằng cách vận dụng bất đẳng thức
cosi theo chiều a+b

2
ab
để dùng kết quả
.4

xy
Không phải lúc nào ta cũng có thể dùng trực tiếp bất đẳng thức cosi đối với các số
trong đề bài.Dới đây ta sẽ nghiên cứu một số biện pháp biến đổi một biểu thức để
có thể vận dụng bất đẳng thức cosi rồi tìm cực trị của nó.
Biện pháp 1: Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của bình phơng biểu
thức đó.
Thí dụ2: Tìm gia trị lớn nhất của biểu thức: A=
.3753 xx
+

Biểu thức A đợc cho dới dạng tổng của hai căn thức.Hai biểu thức lấy căn có tổng
không đổi(bằng2).Vì vậy,nếu ta bình phơng biểu thức A thì sẽ xuất hiện hạng tử
là hai lần của hai căn thức.Đến đây có thể vận dụng bất đẳng thức cosi:

baab
+
2
.
Biện pháp hai : Nhân và chia một biểu thức với cùng một số khác 0.
Thí dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.
5
9
x
x
A

=
Giải: ĐKXĐ: x
9

.
30
1
5
3
99
5
3
3

x
x
x
A
(dấu bằng xảy ra

183
3
9
==

x
x
).
Vậy maxA=
30
1
(khi và chỉ khi x= 18).
Nhận xét về cách giải :
Trong cách giải trên, x- 9 đợc biểu diễn thành
3.
3
9

x
và ta đã gặp may măn ở
chỗ khi vận dụng bất đẳng thức cosi, tích
3.
3
9

1616
3
4
333
=+++=+
x
xxx
x
xxx
x
x
Dấu bằng xảy ra
3
16
x
x =

2= x
.
Vậy minA = 8(khi và chỉ khi x = 2).
Nhận xét :
Hai số dơng 3x và
3
16
x
có tích không phải là một hằng số.Muốn khử đợc x
3
thì ở
tử phải có x
3

2
2
9
2
=+=+



x
x
x
x
(dấu = xảy ra
2
12
2
9
=

=


x
x
x
x
x
).
Vậy minA = 7 (khi và chỉ khi x=
2

yx
z
xz
y
zy
x
P
+
+
+
+
+
=
Giải: áp dụng bất đẳng thức Cosi đối với hai số dơng
zy
x
+
2
và
4
zy
+
ta đợc:
.
2
2.2
4
22
x
x

+
+
+
4
2
Vậy (
yx
z
xz
y
zy
x
+
+
+
+
+
222
) +
zyx
zyx
++
++
2
P
1
2
)(
=
++

yx
z
xz
y
zy
x
+++
222
;;
thì ta cũng khử đợc
(y+z),(z+x),(x+y) nhng điều quan trọng là không tìm đợc giá trị của x,y,z để dấu
đẳng thức xảy ra đồng thời do đó không tìm đợc giá trị bé nhất của P.
Các bài tâp:
Bài 1 : Cho x>0,y>0 và x+y = 2a (a>0).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=
yx
11
+
.
HD:
2
2
axya
yx
xy
=
+


2

+
yx
.
HD:
).3;1211;4(8min8
.3;4
=====

yhoacxykhixBB
yx
MaxB
2
= 16
).7;8(4max
===
ykhixB
Bài 4: Tìm GTNN của biểu thức A =
x
xx
2
562
2
+
với x> 0.
HD: A
3103
2
5
23
2

xP
+=+++++=
(dấu = xảy ra
abx
=
)
Bài 6: Cho x
0

,tìm GTNN của biểu thức
)1(2
172
2
+
++
=
x
xx
Q
.
HD:
4
1
8
2
1
2
1
8
2

+
=
+
x
x
x
).
Bài 7: Tìm GTNN của M =
3
346
+
++
x
xx
HD: Tơng tự bài 6. Ta có kết quả: minM = 10 (khi và chỉ khi x= 4).
Bài 8: Cho x>0, tìm GTNN của biểu thức N =
x
x 2000
3
+
.
HD:
.300100.3
1000
.
1000
.3
100010002000
3
222

x
x
y
y
x
xyxP
16
2
12
3212)
16
()
12
3()(2
+++++++=

3281212
=++=
(dấu = xảy ra
x
x
12
3
=
và
4;2
16
===
yx
y

yxyx
Q
(dấu = xảy ra
4
16
=

=
yx
yx
yx
kết hợp với điều kiện xy=5 ta đợc
x=5;y=1 hoặc x=-1;y=-5.)
Bài 11:Cho x>1,tìm GTLN của biểu thức
1
25
4

+=
x
xA
.
HD:
24410.24
1
25
)1(424
1
25
)1(4

x
B
4
1
3
+

=
HD:
2
)32(3477
)1(4
1
3
27
)1(4
1
3
+=+=+


+

+

=
x
x
x
x


+

=+

x
x
x
x
xx
Ta đặt
c
x
xb
x
ax
xx
+

+

=+

)1(4
1
34
1
3
Sau đó dùng phơng pháp đồng nhất hệ số,tìm đợc a = b =1; c = 2.
Bài 13: Cho x,y,z


( )
)(2
;
2
222
zxyzxyzyxzxyzxy
zyxzxyzxy
++++++
++++

3
;3
2
2
a
AaA

(dấu = xảy ra
3
a
zyx
===
)
c) B= x
2
+ y
2
+ z
2