Phép biến đổi tơng đơng
áp dụng bất đẳng thức để tìm cực trị
I - Phép biến đổi tơng đơng
1) Phơng pháp chung
- Từ 1 BĐT ban đầu biến đổi tơng đơng về một BĐT luôn đúng ( hoặc ngợc
lại)
- Một số ví dụ;
VD1; Cho a;b; c > 0 CMR ; a
3
+ b
3
+ abc

ab (a + b + c)
Lời giải:
Ta có a
3
+ b
3
+ abc

ab (a + b + c)

a
3
+ b
3
+ abc

a
2



0 (Luôn đúng)

a, b > 0

a3 + b3 + abc

ab (a+b+c) (ĐpCM)
VD2: Cho a, b, c > 0 CM:
ab bc ca
a b c
c a b
+ + + +
Lời giải:
Ta có
ab bc ca
a b c
c a b
+ + + +

a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c

2
- 2ab
2
c)+ (a
2
b
2
+ a
2
c
2
- 2a
2
bc) + (b
2
c
2
+ c
2
a
2
- 2abc
2
)

0

b
2
(a - c) + a

M
ab bc ac

= + +
2 2 2 2 2 2
1
M . ca cb ab ac bc ba
abc
= + +
(Vì a; b; c > 0)
( ) ( )
1
M . a c . b2 ac ab bc
abc
= +
( ) ( ) ( )
1
M . a c . c b . b a
abc
=
có
c a b>
a b c>

b c a>
a b . b c . c a a.b.c <
( ) ( ) ( )
1 1
. a b b c c a .abc 2
abc abc


( )
( )
( )
2 2 2 2 2 2
a b 2 . ab 1 . a b a b 12 + + + + + +
(Vì ab
1
)

3 3 2 2 2 2
a b ab 2a b a b 2ab 0 + +

( ) ( )
2 2 2 2
ab. a 2ab b a 2ab b 0 + +

( ) ( )
2
ab 1 . a b 0
( Luôn đúng
n
a 1
)

2
1 1 2
b2 1 ab 1
a 1
+

1 a b
1 a
+ =
+ +
+
+
Tơng tự:
3
4
1 1 2
1 abc
c 1
abc 1
+
+
+
+
3 3 3
3 3 4
1 1 1 1 1 1
1 abc
1 a 1 b 1 c
1 a b abc 1

+ + + +
ữ
ữ
+
+ + +
+ +

+ +
ữ

=
+
+
3 3 3
1 1 1 1 4
1 abc 1 abc
1 a 1 b 1 c
+ + +
+ +
+ + +
3 3 3
1 1 1 3
1 abc
1 a 1 b 1 c
+ +
+
+ + +
3
A
C
h
a
B
a
b
c
Giáo án Đại số - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh

b c
2S 2S
h ; h
b c
= =
(1)
2S 2S 2S 2S 2S 2S
a b c b a c
2S 2S 2S 2S 2S 2
ab
S
b a c b
+ + + +

2 2 2 2 2 2
2
2
b c a a c b
a b c b a c
b c c a a b a c c b b a
c(b a)(a b) c (b a) ab(b a) 0
(b a)(ac bc c ab) 0
(b a)(c b)(a c) 0
+ + + +
+ + + +
+
+

Lại có A


=


=


=

VD7 : CM: a
2
+ b
2
+ c
2


ab + bc + ca
4
Giáo án Đại số - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh
Từ đó chứng minh:
8 8 8
3 3 3
a b c 1 1 1
a b c
a .b .c
+ +
+ +
Với a , b , c , > 0
Bài giải:
a

+ b
2
+ c
2


ab + bc + ca
a
4
+ b
4
+ c
4

a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
a
8
+ b
8

+ b
4
c
4
+ c
4
a
4


a
2
b
3
c
3
+ a
3
b
2
c
3
+ a
3
b
3
c
2
8 8 8 3 3 3
1 1 1

+
+
(x ; y không âm ; xy

0 )
(Dễ dàng CM đợc BĐT Côsi)
Ta có:
1 1 4 4
p a p b 2p a b c
+ =


1 1 4
p b p c a
1 1 4
p c p a b
+

+

Cộng từng vế của BĐT trên ta đợc:
5
Giáo án Đại số - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh

1 1 1 1 1 1
2 4
p a p b p c a b c+ + + +

( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
m m n n n n m m
m n m n m n m n n m n m n m m n
m n n m
n n m n m n
(*) a b a b a b a b
a .a a .b b .a b .b a .a a .b b .a b .b
2 a .b a .b 0
2.a .b a b 0 (1)

+ > +
+ > +
>
>
Có a > b
m n m 1
a b

>

(1) luôn đúng

(*) luôn đúng

Đpcm
*Một số bài tập áp dụng:
1) Cho
z y x 0 >