Sáng kiến kinh nghiệm ứng dụng bất đẳng thức Cosi trong giải toán
Mục lục
A. Đặt vẫn đề
B. Giải quyết vẫn đề
i- Điều tra thực trạng trớc khi nghiên cứu
II- Kiến thức cần nắm
III- Cấu trúc sáng kiến kinh nghiệm
C. Phần chi tiết
Phần I: vận dụng BĐT Cosi để giải toán tìm cực trị
Phần II: Sử dụng BĐT cosi để chứng minh BĐT
Phần III: Từ BĐT Cosi xây dựng công thức để giải toán
d. kết luận
i- Kết quả đạt đợc
II- Bài học kinh nghiệm
Nguyễn Danh Thắng - Trờng THCS Thái Hoà 1 - Nghĩa Đang - NA
1
Sáng kiến kinh nghiệm ứng dụng bất đẳng thức Cosi trong giải toán
A. Đặt vấn đề
Toán học là một môn khoa học tự nhiên, toán học có một vai trò rất quan trọng
trong các lĩnh vực khoa học, toán học nghiên cứu rất nhiều và rất đa dạng và phong phú.
Trong đó các bài toán loại tìm cực trị và chứng minh bất đẳng thức là những bài toán khó,
để giải đợc các dạng toán đó đòi hỏi chúng ta phải nắm đợc nhiều kiến thức cơ bản và các
phơng pháp để giải.
Có nhiều phơng pháp để giải và ta phải căn cứ vào đặc thù của mỗi loại bài toán
mà sử dụng phơng pháp cho phù hợp. Đối với học sinh trung học cơ sở loại toán tìm cực
trị và chứng minh bất đẳng thức làm đa số các em rất ngại nhng nó lại thờng đợc sử dụng
trong các kỳ thi HSG. Hơn nữa đa số các em khá giỏi lại rất có hứng thú với loại toán này,
bởi nó giúp các em khả năng phân tích, dự đoán, tính lập luận lô rích, khả năng tổng hợp,
khái quát một vấn đề .
Tuy nhiên trong thực tế giảng dạy ở trờng THCS, học sinh gặp nhiều khó khăn khi
giải các dạng toán này vì các bài toán tìm cực ttrị và chứng ming bất đẳng thức thờng

+
(Với a, b

0)
Mở rộng cho trờng hợp n số không âm a
1
, a
2
, a
n
Ta có a
1
+ a
2
+ +a
n


n
n
aaan ...
21
(dấu = xẩy ra

a
1
= a
2
= = a
n

24754)47)(54(2
=++
xxxx
Vậy P
1
2


=+
422
P
1

2

dấu = xẩy ra
2
3
4754
==
xxx
Vậy Max P
1
= 2
Trờng hợp 2: BT cần tìm cực trị có dạng
bx
bax

VD2: Tìm giá trị lớn nhất của P
2

1
9
9)92( xxx
=






+



Vậy P
2

21
1
7.
3
=
x
x
dấu = xẩy ra
9
=
x
vậy min P
2

n
nax
2
2
1
=






+



vậy P
2

nb
a
bx
n
ax
2
:
2
=
dấu = xẩy ra
a

81
...4
4
3
3
==
x
xxxP
dấu= xẩy ra
3
81
3
==
x
x
x
vậy Min P
3
= 12
3.2 Tạo ra một hạng tử là nghịch đảo của hạng tử đã cho
VD5: Cho a > 0; 0 < x < k. Tìm giá trị nhỏ nhất của P
4
=
x
k
xk
ax
+

ở đây ta thấy cần

P
áp dụng BĐT Cosi cho 2 số không âm ta có:
1...21.2
4
++=+



a
x
xk
xk
ax
P
dấu = xẩy ra
1
+
=

=


a
k
x
x
xk
xk
ax
vậy Min

1
3
2
)1(4
1
3
+=




+

B
x
x
x
x
x
x
x
x
Nguyễn Danh Thắng - Trờng THCS Thái Hoà 1 - Nghĩa Đang - NA
4
Sáng kiến kinh nghiệm ứng dụng bất đẳng thức Cosi trong giải toán
dấu = xẩy ra
( )
2
3
)1(4

x
xx
?
Ta đặt
c
x
xaab
x
ax
xx
+

+

=+

)(
1
34
1
3
sau đó đồng nhất hệ số ta đợc a = b = 1; c = 7
VD7: Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của
yx
z
xz
y
zy
x
P

+
+
+
4
2
4
22
z
zyx
yx
z
=
+
+
+
4
2
4
22
1
22
)(2
55
=
++
++
++
+
zyx
Pzyx

+
lúc Min

dấu = xẩy ra nghĩa là:
zyxa
a
zy
zy
x
+=
+
=
+
.
2
(1) tơng tự

zxya
+=
.
(2)

xyza
+=
.
(3)
Trừ từng vế của (1) cho (2) ta có:
yxyxxyyxa
===
0)(