Ứng dụng sự biến thiên của hàm số trong giải hệ
phương trình , hệ bất phương trình
1Hệ bpt Khi gặp hbpt một ẩn trong đó có một bpt tìm được tập nghiệm , bpt
còn lại khó tìm tập nghiệm trực tiếp thì có thể sử dụng pp sau
Viết bpt đó về dạng y = f(x) , khảo sát sự biến thiên của hs đó trên
khoảng nghiệm của bpt trên
VD1 GHBPT :





>+−
<−+
013
0123
3
2
xx
xx
HD (1)  -1 < x < 1/3
Xét hs y = x
3
– 3x + 1 trên khoảng (- 1 ; 1/3) có y’ = 3x
2
– 3 < 0 hàm số nb
BBT
x -1 1/3
y’
y 3


−=−
1
55
48
33
yx
yyxx

)2(
)1(
HD
Từ phương trình (2) có x, y
∈
[ - 1 ; 1]
Xét hàm số f(t) = t
3
– 5t , t
∈
[-1 ; 1] có f’(t) = 3t
2
– 5 < 0
∀
t
∈
[ - 1 ; 1] . Do
đó hàm số f(t) nb trên ( - 1 ; 1)
Từ (1) suy ra x = y
Thế vào (2 ) có nghiệm x = y =
4
2




=++
=++
a
b
bb
aa
31
31
2
2
Trừ theo vế 2 phương trình có
ba
bbaa 3131
22
+++=+++
(*)
Xét hàm số f(t) =
t
tt 31
2
+++
có f’(t) =
3ln.3
1
1
2
2

+
=
a
ag
,
∀
a
∈
R
Nên hàm số g(a) nb trên R , mặt khác a = 0 là nghiệm của (4) do đó (4) có
nghiệm duy nhất a = 0
Trả biến có nghiệm của hệ đầu là (x ; y ) = ( 1 ; 1)
VD 4 hệ mũ và logarit
Giải hpt



=+−
−=+−+
052
)1ln()1ln(
22
yxyx
yxyx

)2(
)1(
Giải
ĐK x > - 1 , y > - 1 .
Phương trình(1) của hệ  ln( 1+ x ) – x = ln( 1 + y ) – y (*)

myx
31
31
HD
ĐK
3,1 ≤≤− yx
Trừ theo vế (1) cho (2) và chuyển vế ta được
yyxx −−+=−−+ 3131

)3(
Có hàm số
tttf −−+= 31)(
đồng biến trên khoảng (- 1 ; 3) nên từ
(3) suy ra x = y
Thay vào (1) có phương trình
mxxxg =−++= 31)(
g(x) là hàm số liên tục trên [-1 ; 3] và
10)(',
32
1
12
1
)(' =⇔=
−
−
+
= xxg
xx
xg
BBT

23
23
23

)3(
)2(
)1(
HD
Xét hàm số f(t) =
153
23
++− ttt
, có f’(t) =
ttt ∀>+− ,0563
2
Do đó f( t ) luôn đồng biến
Hệ có dạng





=
=
=
xzf
zyf
yxf
4)(
4)(

5.Phương trình lại đưa về dạng hệ phương trình đối xứng
Phương pháp : Đặt một biểu thức nào đó của phương trình thành một hàm
số rồi dẫn đến hệ phương trình có tính chất đối xứng.
VD7 Giải phương trình :
1)1(log2
2
=+− x
x

HD. ĐK: x>-1.
Đặt : y = log
12)1(
2
−=⇒+
y
xx
Do đó ta có hệ phương trình sau:





+=
+=
x
y
y
x
12
12

3
3
axax +=−
HD : Đặt y =
3
ax +
Từ phương trình trên ta suy ra hệ
yyxxxyyx
xay
yax
+=+⇒−=−⇒





+=
+=
3333
3
3
(1)
Đặt f(t) = t
3
+ t , có đạo hàm f’(t) = 3t
2
+ 1 > 0 mọi t thuộc R , nên hàm số
luôn đồng biến .
Từ phương trình (1) suy ra f(x) = f(y)=> x= y . từ đó ta có x
3

+=−
+
+
=+−−
+ y
x
yx
y
x
yxyx
2232
1
1
ln2)](2)[(

)2(
)1(
c))





=+
+−=−
2
)2)((22
22
yx
xyxy

xyyx
e
y
x
yx
g)





=+++
−+−+−=++++
44
53142
22
yxyx
yyyxxx
h)





=+
−=−
104log
2
log
3

b) HD.ĐK: . x ≥ 0 , ψ ≥ 0
Phương trình (1) tương đương:y
2
- 2y + 2ln(1+y) = x
2
- 2x + 2ln(1+x) , có
dạng f(y) = f(x) .
Xét hàm số :f(t)= t
2
- 2t + 2ln(1+t) ,liên tục trong (0; +∞)
Ta có f’(t) = 2t – 2 +
t+1
2
và f’’(t)=
0
)1(
22
2
2
>
+
+
t
tt

0≥∀t
=> f(t) luôn đồng
biến trong (0; + ∞)
Do đó p/t: y
2

)()(
yx
yfxf
=> x = y
Thay vào (2) ta có
,10)log32(21log104log
2
log
22
3
2
2
=++−⇔=+ xxx
x
hay
1log
2
=x
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) = (2 ; 2)
2.giải các hpt sau
a)





=
=
=
xz

=+−+−+
=+−+−+
xzzzz
zyyyy
yxxxx
)1ln(33
)1ln(33
)1ln(33
23
23
23
d)











=







1
4
1
4
1
e)









+=
+=
+=
x
x
z
z
z
y
y
y
x
sin
6
sin

Thay vào (1) ta có
mxxxf =−=
23
23)(
xxxf 49)('
2
−=
,
9/4,00)(' ==⇔= xxxf
BBT
x 0 4/9 +
∞
f’(x) 0 0 +
f(x) 0 +
∞
A
Dựa vào BBT ta thấy với mọi m > 0 phương trình f(x) = m có nghiệm x > 0
duy nhất
Vậy có đpcm.
Bài 4 . Định m để hệ phương trình sau có nghiệm:





=−+
=−+
mxy
myx
32

xg
Lập bảng biến thiên
x 0 2 3
g’(x) + 0
g(x) 3
3

6
suy ra kết quả.
]3;3[∈m
Bài 5. Tìm m để các hệ phương trình sau có nghiệm
a)



=−
−=−
myx
yxyx
cos3sin2
coscos
b)



=+
−=+
myx
yx
3cos3cos

x
y
sinsin
sin
2sin222sin
12sin
12
+=+⇔−=−=>





−=
−=
Xét hàm số f(t) = t + 2
t
có f’(t) = 1 + 2
t
.ln2 > 0 . hàm số luôn luôn đồng
biến nên
xyxfyfxy
xy
sin)(sin)(2sin2
sin
=⇒=⇔+=+
Do đó từ (1) ta có y = 2
y
– 1
1,012 ==⇔+=⇔ yyy

>−−+
<++
01093
045
23
2
xxx
xx
BT9 GHBPT :





>++−
<−
0953
3
1
0)(loglog
23
2
2
2
2
xxx
xx