Biên soạn: ThS. Đoàn Vương Nguyên
CHUYÊN ĐỀ
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ
ĐỊNH LÝ LAGRANGE
A. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Định lý 1
Nếu hàm số y =
f(x)
liên tục trên khoảng (a; b) và có
/
f (x) 0>
(hoặc
/
f (x) 0<
) trong khoảng (a; b) thì
phương trình
f(x) 0=
có không quá 1 nghiệm trong khoảng đó.
Ví dụ 1. Giải phương trình
2
2
log x
x
=
.
Giải
Điều kiện: x > 0.
Xét hàm số
( )
2

x x
2 3 3x 2+ = +
.
Giải
Xét hàm số
x x
f(x) 2 3 3x 2, D= + - - = ¡
ta có :
/ x x
f (x) 2 ln 2 3 ln 3 3= + -
,
/ / x 2 x 2
f (x) 2 (ln 2) 3 (ln 3) 0 x= + > " Î ¡
.
Suy ra phương trình f(x) = 0 có không quá 2 nghiệm.
Mà f(0) = 0, f(1) = 0. Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 0, x = 1.
Chú ý:
i) Hàm số f(x) liên tục và đồng biến trên khoảng (a; b), g(x) liên tục và nghịch biến trong khoảng (a; b)
đồng thời f(c) = g(c) (với c thuộc (a; b)) thì phương trình f(x) = g(x) có nghiệm duy nhất x = c.
ii) Hàm số f(x) liên tục và đơn điệu trong (a; b) thì
f(u) f(v) u v (a; b)= =Û Î
.
Ví dụ 3. Phương trình
3
log x 4 x= -
có nghiệm duy nhất x = 3.
1
Ví dụ 4. Giải phương trình
2
x 1 2x 2

và
1 1
x y
x y
- = -

x y 0=Þ ¹
là sai.
B. GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ – ĐỊNH LÝ LAGRANGE
I. GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ
1. Định nghĩa
Cho hàm số y = f(x) có MXĐ D và X là tập hợp con của D.
i) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên X nếu
0 0
f(x) m x X
f(x ) m, x X
ì
"³ Î
ï
ï
ï
í
ï
= Î
ï
ï
î
, ký hiệu:
x X
m min f(x)

f (x) 0=
(tìm điểm dừng). Giả sử có n nghiệm x
1
; x
2
; …; x
n
thuộc đoạn [a; b]
(ta loại các nghiệm nằm ngoài đoạn [a; b]).
Bước 2. Tính f(a), f(x
1
), f(x
2
), …, f(x
n
), f(b).
Bước 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các giá trị đã tính ở trên là các giá trị tương ứng cần tìm.
Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
f(x) x 4x 5= - +
trên đoạn
[ 2; 3]-
.
Giải
Ta có:
2
f(x) x 4x 5= - +
liên tục trên đoạn
[ 2; 3]-
[ ]

iii) Có thể đổi biến số
t t(x)=
và viết
y f(x) g(t(x))= =
. Gọi T là miền giá trị của hàm t(x) (thường
gọi là điều kiện của t đối với x) thì
x X t T
min f(x) min g(t)
Î Î
=
,
x X t T
max f(x) max g(t)
Î Î
=
.
Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
6 4 2
9 1
y x 3x x
4 4
= - + +
trên đoạn
[ 1; 1]-
.
Giải
Hàm số
6 4 2
9 1
y x 3x x

4
= = =Û Û
,
max
3 1 2
y t x
4 2 2
= = = ±Û Û
.
Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
f(x) x 5x 6= - + +
.
Giải
Ta có điều kiện:
2
x 5x 6 0 1 x 6 D [ 1; 6]- + + - = -³Û ££Þ
Hàm số
2
f(x) x 5x 6= - + +
liên tục trên D
/
2
2x 5 5
f(x) 0 x D
2
2 x 5x 6
- +
= = =Û Î
- + +

t 1
t sin x y , t [ 1; 1]
t t 1
+
= = -Þ Î
+ +
2
/ /
2 2
t 2t
y y 0 t 0 [ 1; 1]
(t t 1)
- -
= = = -Þ Û Î
+ +
( )
( )
2
y( 1) 0, y 0 1, f 1
3
- = = =
.
3
Vậy
min
y 0 sin x 1 x k2 , k
2
p
= = - = - +Û Û pÎ Z


Vậy
max min
y 16, y 0= =
.
2.2. Hàm số liên tục trên khoảng (a; b) hoặc trên
¡
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên
D (a; b)=
hoặc
D = ¡
ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Giải phương trình
/
f (x) 0=
(tìm điểm dừng). Giả sử có n nghiệm x
1
; x
2
; …; x
n
thuộc D (ta loại
các nghiệm không thuộc D).
Bước 2. Tính
1
x a
lim f(x) L
+
®
=
, f(x

{ }
max 1 2 n
f max f(x ), f(x ), , f(x )=
(2).
+ Nếu không thỏa (1) (hoặc (2)) thì hàm số không đạt min (hoặc max).
Chú ý:
i) Có thể lập bảng biến thiên của hàm số f(x) thay cho bước 3.
ii) Nếu hàm số không có điểm dừng (điểm dừng khác điểm tới hạn) thì không đạt min, max.
Ví dụ 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số
2
x 1
f(x)
x 1
+
=
+
.
Giải
Hàm số f(x) liên tục trên R. Ta có:
/ /
2 2
1 x
f (x) f (x) 0 x 1
(x 1) x 1
-
= = =Þ Û
+ +
( )
x x x
2

Hm s f(x) liờn tc trờn
Ă
. Ta cú:
/ 2
2
x 1
f (x) 1 0 x 2x 2 x 1
x 2x 2
-
= - = - + = -
- +

2 2
x 1
x 2x 2 (x 1)

ỡ
ù
ù

ớ
ù
- + = -
ù
ợ
(vụ nghim).
Vy hm s khụng t min v max (vỡ khụng cú im dng).
Vớ d 8. Tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca hm s
2
x

2 x 2
x 2 x 2 1
- +
=
+ + -
( )
/ 2
y 0 x 2 2 x 2 y 2 2= + = = = ị
,
Gii hn
x x x
2
x
lim y lim lim y 1
2 1
x 1
x
x
Ơ Ơ Ơđ đ đ
= = ị
ổ ử
ữ
ỗ
+ -
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
.

2 2
2x 0
2
x
2
2x 1 4x
-
ỡ
ù
ù
= -
ớ
ù
+ =
ù
ợ
.
x
2 2
y , lim y ,
2 2
+ Ơđ
ổ ử
ữ
ỗ
- = = + Ơ
ữ
ỗ
ữ
ỗ

ỗ ỗ
- + + - + +
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
.
min
2 2
y y x
2 2
= "ị ị ẻ Ă
.
Vy vi
2
m
2

thỡ phng trỡnh cú nghim.
Chỳ ý: Cú th dựng bt ng thc tỡm min, max ca hm s.
II. NH Lí LAGRANGE
Hm s y = f(x) liờn tc trờn on [a; b] (a < b) v cú o hm trờn khong (a; b) thỡ tn ti s c trong
khong (a; b) sao cho
/
f(b) f(a) (b a)f (c)- = -
.
Vớ d 10. Chng t rng phng trỡnh
3 2
4x 3x 2x 3 0+ + - =

ax bx
F(x) cx
3 2
= + +
liờn tc trờn [0; 1] v cú o hm trờn (0; 1).
p dng nh lý Lagrange, ta cú :
/
F(1) F(0) a b
c (0; 1) : F (c) c 0
1 0 3 2
-
= = + + =$ ẻ
-
2
ax bx c 0+ + =ị
cú nghim x = c.
b) Khi m > 0 thỡ ta ch cn gii tng t vi s m tng ng.
Xột hm s
m 2 m 1 m
ax bx cx
F(x)
m 2 m 1 m
+ +
= + +
+ +
liờn tc trờn [0; 1] v cú o hm trờn (0; 1).
6
Áp dụng định lý Lagrange, ta có :
/ m 1 2
F(1) F(0) a b c

b a b b a
ln
b a a
- -
< <
.
Giải
Xét hàm số
f(x) ln x=
liên tục trên [a; b] và có
/
1
f (x)
x
=
trên (a; b).
Áp dụng định lý Lagrange, ta có :
( )
b a b b a
c (a; b) : ln b ln a ln
c a c
- -
- = =$ Î Þ
(1).
Mặt khác
1 1 1 b a b a b a
0 a b
b c a b c a
- - -
< < < < < <Þ Þ

Áp dụng định lý Lagrange, ta có :
( )
(x 1) x
x 1 1
c (x; x 1) : ln(x 1) ln x ln
c x c
+ -
+
+ + - = =$ Î Þ
.
Mặt khác
1 1 1
0 x c x 1
x 1 c x
< < < + < <Þ
+
.
Vậy
( )
1 x 1 1
ln
x 1 x x
+
< <
+
.
Ví dụ 15. Chứng minh rằng
2 2
b a b a
tgb tga

0 a c b 0 cos b cos c cos a
2
p
< < < < < < <Þ
2 2 2
2 2 2
b a b a b a
0 cos b cos c cos a
cos a cos c cos b
- - -
< < < < <Þ Þ
.
Vậy
2 2
b a b a
tgb tga
cos a cos b
- -
-£ £
.
8