Giải phơng trình
Khi sử dụng đạo hàm trong giải phơng trình, phơng pháp chung là:
Ta thờng chọn hàm số thích hợp. Giả sử hàm số
( )f x
xác định trên D, kiểm tra
tính liên tục, khả vi của
( )f x
trên D.
Khảo sát hàm số
( )f x
để tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến các cực trị bằng
công cụ đạo hàm.
Dựa vào khảo sát hàm
( )f x
để kết luận số nghiệm.
Chỉ ra sự tồn tại các
0
Dx

mà
0
x
là nghiệm của phơng trình
( ) 0f x
=
Kết luận nghiệm của phơng trình
( ) 0f x
=
.
Đồng thời sử dụng các tính chất sau:
Tính chất 1: Nếu

( ) ( ) kf x f x
= =
. Chứng tỏ giả sử sai.
Vậy phơng trình nếu có nghiệm sẽ có không quá một nghiệm.
Đối với trờng hợp
( )f x
là hàm nghịch biến ta chứng minh tơng tự.
Tính chất 2: Nếu
( )f x
là hàm số đồng biến (nghịch biến) trên (a;b)

( ) ( ), , (a;b)f u f v u v u v
= =
.
Chứng minh
Xét trờng hợp
( )f x
là hàm số đồng biến.
Nếu
( ) ( )u v f u f v
= =
(hiển nhiên).
Ta đi chứng minh nếu
( ) ( )f u f v u v
= =
.
Giả sử
u v

,không mất tính tổng quát ta giả sử

Xét hàm số
( ) ( ) ( )h x f x g x
=
trên
( ; )a b
. Khi đó
( )h x
là hàm số đồng biến trên
( ; )a b
.
Theo tính chất 1 thì phơng trình
( ) 0h x
=
có nhiều nhất là một nghiệm.

Đpcm.
Ví dụ 5: Giải phơng trình sau:

= + + +
3
3 1 log (1 2 ). (6.3)
x
x x
( TH & TT )
Giải:
Điều kiện:

>
1
.

2
t
f t t
Nên hàm số
( )f t
là hàm số đồng biến trên

+
1
( ; ).
2
Khi đó
= = = + =
3
(6.4) ( ) ( ) log (1 2 ) 3 2 1 0.
x
f x f y x y x x x
Đặt

= >
1
( ) 3 2 1, .
2
x
g x x x
Mà

= = > >
2
1

( ) 0g x
=
có nghiệm thì nhiều nhất là hai nghiệm
Mặt khác,
(0) (1) 0g g
= =
.
Do đó phơng trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt
0, 1x x= =
.
Ví dụ 6: Giải phơng trình
2 2
1 1 1 1x x x x x x
+ + + + + + =
.
Giải:
Điều kiện:
2 2
2 2
1 0 1 (6.5)
1 1 0 1 1.(6.6)
x x x x x x
x x x x x x

+ + +



+ + + + + +


1.x
<
Chứng tỏ (6.6) đúng với
x Ă
.
Vậy:
D = R
.
Viết lại phơng trình dới dạng
+ + + = + + + + + + +
2 2
1 1 ( 1) ( 1) 1 ( 1) (6.7)x x x x x x x x
Xét hàm số
= + + +
2
( ) 1 .f t t t t t
Ta có
+ +
= +
+ + +
2
2 2
2 1 2 1
'( ) 1.
4 1 1
t t t
f t
t t t t t
Mặt khác
+ + = + + > +


5.x
Ta có :
= + + + > >
+ +
1 1 1 1
'( ) 0, 5.
2 2 5 2 7 2 16
f x x
x x x x
Hàm số
( )f x
đồng biến trên
+
(5; ).
Có
= + + + = = =
(9) 3 2 4 5 14 ( ) (9) 9.f f x f x
Phơng trình trên có nghiệm duy nhất là
9x =
.
Ví dụ 8: Giải phơng trình
2 2
log (3log (3 1))x x
=
.
Giải:
Đặt
2
1


Có
= + > >

3 1
'( ) 1 0, .
(3 1)ln2 3
f t x
t
Hàm số
( )f t
là hàm đồng biến trên
+
1
( ; ).
3
= = = + =
2
(6.8) ( ) ( ) log (3 1) 2 3 1 0.
x
f x f y x y x x x
Xét hàm
= + =
( ) 2 3 1, '( ) 2 ln2 3.
x x
g x x g x
Ta có :
= = =
0 2
3

1x =
là nghiệm duy nhất của phơng trình đã cho.
Ví dụ 9: Giải phơng trình
1
7
7 6log (6 5) 5
x
x

=
.
Giải:
Điều kiên:
>
5
.
6
x