NGUYỄN VĂN XÁ
TỔ TOÁN
TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ 2
ỨNG DỤNG ðẠO HÀM
ðỂ GIẢI TOÁN THPT
=
−
thì s
ố
a
ñượ
c g
ọ
i là
ñạ
o hàm c
ủ
a
hàm s
ố
f(x) t
ạ
i
ñ
i
ể
m x
0
và kí hi
ệ
u là
0
f '(x ) ho
ặ
c
f(x) f(x ) f(x) f(x ) f(x) f(x )
f '(x ) a lim a lim lim a.
x x x x x x
+ −
→ → →
− − −
= ⇔ = ⇔ = =
− − −
Nếu hàm số y = f(x) có ñạo hàm tại mọi ñiểm thuộc khoảng K thì ta nói f(x) có ñạo hàm trên K và
hàm số
f '(x), x K,∈
ñượ
c g
ọ
i là (hàm)
ñạ
o hàm c
ủ
a f(x) trên K.
ðạ
o hàm c
ủ
a hàm s
ố
(n
ế
u có) trên
m
ộ
những công thức này ñược giả sử là hai vế ñều có nghĩa
)
1)
n n 1
n
n
n 1
1
(c)' 0; (x)' 1; (x )' n.x ; ( x) .
n. x
−
−
= = = =
2)
2 2
2 2
1 1
(sin x)' cosx; (cosx)' sin x; (tan x)' 1 tan x ; (cot x)' 1 cot x .
cos x sin x
= = − = + = = − − = −
3)
x x
a
1
(a )' a .lna; (log | x |)' .
x.lna
ó qui
ướ
c
ñạ
o hàm c
ấ
p 0
c
ủ
a hàm s
ố
f(x) là chính hàm s
ố
f(x); và
n
0 1 n 0 1 2 3 n
a a ... a f(1), a a a a ... ( 1) a f( 1).+ + + = − + − + + − = −
VD1.
Cho
ñ
a th
ứ
c f(x) = (1 + x
–
x
12
)
2011
+ (1
ấ
t c
ả
các h
ệ
s
ố
b
ậ
c l
ẻ
trong
ñ
a th
ứ
c.
3.
Tính t
ổ
ng các h
ệ
s
ố
b
ậ
c l
ớ
n h
ơ
c
ủ
a s
ố
h
ạ
ng ch
ứ
a x
trong
ñ
a th
ứ
c f(x) là
1
f '(0)
a 2011 2012 1.
1!
= = − = −
2. Do
n
0 1 n 0 1 2 3 n
a a ... a f(1) 2, a a a a ... ( 1) a f ( 1) 0+ + + = = − + − + + − = − =
nên t
ổ
ng các h
ệ
s
ố
−
+ + + = + ∀ ∈ ≥ℕ
HD.
Ta có
n n n
n k k n 1 k k 1 n 1 k k
n n n
k 0 k 1 k 1
(1 x) C x n(1 x) C kx nx(1 x) C kx
− − −
= = =
+ = ⇒ + = ⇒ + =
∑ ∑ ∑
n
n 1 n 2 k 2 k 1
n
k 1
n(1 x) n(n 1)x(1 x) C k x ,
− − −
=
⇒ + + − + =
∑
thay x = 1 vào
ñẳ
ng th
ứ
c cu
ố
1 2 3 6029 6030
a 2a 3a ... 6029a 6030a .− + + + −
2. Giả sử
n n
0 1 n
(1 x) a a x ... a x , n *.+ = + + + ∈ ℕ Biết rằng tồn tại số nguyên dương k (1
k n)≤ ≤
sao cho
k 1 k k 1
a a a
.
2 9 24
− +
= =
Tính tổng
2 3 4 n
2.1.a 3.2.a 4.3.a ... n.(n 1).a .+ + + + −
3. Chứng minh rằng
1 2 3 n
n n n n
C 2C 3C ... nC (n!.n), n ,n 2.+ + + + < ∀ ∈ >ℕ
4. Chứng minh rằng
0 1 n 2 n 2 n 1 n 1
n n n n
nC (n 1)C ... ( 1) C ( 1) C 0, *.
− − − −
− − + + − + − = ∀∈ ℕ
n n n
n2 C (n 1)2 C ... 2C 2n.3 , n *.
− − −
+ − + + = ∀ ∈
ℕ
7.
Tìm n bi
ế
t
1 2 2 3 3 4 2n 2n 1
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1
C 2.2.C 3.2 C 4.2 C ... (2n 1)2 C 2005 (n *).
+
+ + + + +
− + − + + + = ∈
ℕ
8.
Cho khai tri
ể
n
n n
0 1 n
(1 2x) a a x ... a x , n *.+ = + + + ∈
ℕ
Bi
ế
S a a 2a 3a ... (k 1)a (k 1)a ... na
− +
= + + + + + − + + + +
(T
ứ
c là
n
0 i k
i 1
S a ( i.a ) ka ).
=
= + −
∑
9.
Cho khai tri
ể
n
n n
0 1 n
(1 2x) a a x ... a x , n *.− = + + + ∈
ℕ
Bi
ế
t r
ằ
ng
0 1 2
a a a 71.+ + = Tính t
ươ
ng n tho
ả
mãn
200
1 2 2 3 n 1 n
n n n n
2 1
C 3C 3 C ... 3 C .
3
−
−
+ + + + =
12.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
0 99 1 100 99 198 100 199
100 100 100 100
1 1 1 1
100.C .( ) 101.C .( ) ... 199.C .( ) 200.C .( ) 0.
2 2 2 2
− + − + =
13.
ứ
c
f(x) =
(1– 2x).(x
2
+ 1)
n
.
Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT
3
3
3. Ứng dụng ñạo hàm ñể tính giới hạn
Dựa vào ñịnh nghĩa ñạo hàm của hàm số tại một ñiểm và các tính chất của ñạo hàm ta có thể tính
ñược một số gới hạn ở dạng vô ñịnh.
ðể tính giới hạn
0
0
có dạng
0
x x
f(x)
lim , f (0) 0,
x
→
=
ta vận dụng trực tiếp ñịnh nghĩa ñạo hàm của hàm
số tại một ñiểm, thu ñược
0
x x
≠
thì
0
0 0
0
0
0
x x
0
0 0
x x x x
0 0
0
x x
0 0
f(x) f(x )
f(x) f(x )
lim
x x
x x f '(x )
f(x)
lim lim ,
g(x) g(x ) g(x) g(x )
g(x) g'(x )
lim
x x x x
→
→ →
→
x 1 x x 0
1 x x 1 x x
1)A lim ; 2)B= lim ( 1 x 1 x ); 3)C lim(1 sin x) .
tan(x 1)
→ →−∞ →
− + − − +
= + + + = +
−
HD.
1) Xét
3
2 3
f(x) 1 x x 1 x x , g(x) tan(x 1)= − + − − + = −
trên một lân cận của ñiểm x
0
= 1. Nhận
thấy
2
2
2 3 2
3
2x 1 3x 1
f '(x) , g'(x) 1 tan (x 1),
2 1 x x 3 (1 x x )
− −
= − = + −
− + − +
f(1) = g(1) = 0,
1
1 1
2)B= lim ( 1 x 1 x ) lim x( 1 ( ) 1 ( ) ).
x x
→−∞ →−∞
+ + + = − + + +
ðặ
t
1
t
x
=
thì
t 0→
khi
x .→ −∞
Ta
có
3
3 2
t 0
1 t 1 t
B=lim .
t
→
+ − +
Xét
3
3 2
f(t) 1 t 1 t , = + − +
x
+
= + = =
Xét hàm
f(x) ln(1 sin x),= +
có
cosx
f '(x) ,
1 sin x
=
+
f(0) = 0,
f '(0) 1.=
Như vậy
x 0 x 0 x 0 x 0
ln(1 sin x) f (x) f (x) f(0)
lim N lim lim lim f '(0) 1.
x x x 0
→ → → →
+ −
= = = = =
−
Suy ra
x 0
1
lim N
N 1
x
x 0 x 0 x 0
C lim(1 sin x) lim M lim e e e e.
x
x x x
x
x x x
x
n m
2
1 0 0
3
1
tanx
x a
a 0
2
x.2 1 1 ax. 1 bx 1 sin3x ln(cosx)
5) lim ; 6) lim (a,b 0;m,n *); 7) lim ; 8) lim ;
x 1 x 1 2cos x
x
cos( cos x)
sin x 1
2
9) lim ( ) (a k ); 10) lim ; 11) lim (sin x) ; 12) lim (cos
sina sin(tan x)
π
π
π
π
→ → →
→
−
x x 3x
→ → →−
→+∞ → →
+
− + +
−
+
+ +
+ + + +
− + − −
+
− +
n n
m m
x a
x a
; 19) lim (a ;m,n *).
2x
x a
→
−
∈ ∈
−
ℝ ℕ
4. Ứng dụng ñạo hàm ñể viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số
th
ị
hàm s
ố
y = f(x) khi h
ệ
ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệ
m
ax b f(x)
,
a f '(x)
+ =
=
và nghi
ệ
m x
0
c
ủ
a h
ệ
này chính là hoành
ñộ
ti
0
= 2 và khi
ñ
ó hãy vi
ế
t
ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
ñồ
th
ị
hàm s
ố
t
ạ
i
ñ
i
ể
m có hoành
ñộ
x
0
m này. Ta ph
ả
i có
3 2 2
x 2 x 2 x 2 x 2
y(2) lim y(x) lim y(x) y(2) lim (x x 8x 10) lim (x ax b) 4 2a b 2
+ − + −
→ → → →
= = ⇔ = − − + = + + ⇔ + + = −
b 2a 6.⇔ = − −
Lúc này ta vi
ế
t l
ạ
i
2
3 2
x ax 2a 6 khi x 2
y .
x x 8x 10 khi x 2
+ − − ≤
=
− − + >
Hàm s
ố
ạ
i
ñ
i
ể
m x
0
= 2 và
y'(2) 0.=
Khi
ñ
ó ti
ế
p tuy
ế
n c
ầ
n tìm là
y 0.(x 2) ( 2) y 2.= − + − ⇔ = −
VD5.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
ị
c
ủ
a (C).
HD.
D
ễ
th
ấ
y (C) có ba
ñ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
là A(–1;–1), B(1;–1), O(0;0). G
ọ
i I là tâm
ñườ
ng tròn n
ộ
i ti
ế
p tam
giác OAB thì I(0; m) v
ớ
i –1 < m < 0. Các
ñườ
− =
có nghiệm. Thế (2) vào (1) ta ñược
4 2
3x 6x 2 2 0− + − =