ĐINH VĂN QUYẾT ĐĂK LĂK
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN
I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - BẤT
PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH
1. Khi nào thì sử dụng hàm số :
Đó là các phương trình, hệ phương trình hổn hợp (cùng chứa nhiều loại hàm
số) hoặc chúng không thể chuyển về được dạng cơ bản .
- Nhẩm nghiệm
0
x x=
- Chứng minh chỉ có các nghiệm đó bằng phương pháp đạo hàm
 VD : Giải phương trình :
2 1 0
x
x− − =
(1)
 Giải : Rõ ràng x=0 và x=1 là nghiệm của phương trình vì PT(1) thỏa.
ta chứng minh chỉ có hai nghiệm đó .
Xét hàm số
2 1 ' 2 ln 2 1
x x
y x y= − − ⇒ = −
2
1
' 0 2 ln 2 1 0 log
ln 2
x
y x
 
= ⇔ − = ⇔ =
 ÷

3 1x x m+ + =
bằng số giao điểm của đồ thò
hàm số
2
3 1y x x= + + và đường thẳng y=m cùng phương với trục hoành.
Xét hàm số
2
3 1y x x= + + trên R
1
ĐINH VĂN QUYẾT ĐĂK LĂK

2
2 2
3 3 1 3
' 1
3 1 3 1
x x x
y
x x
+ +
= + =
+ +⇔
2
' 0 3 1 3y x x= ⇔ + = −

2 2
0

x
thì
6
3
y =
Bảng biến thiên:
Phương trình có nghiệm khi
6
3
m ≥

 VD2: Đònh m để phương trình sau có đúng hai nghiệm :

4 4
4
4 4 6x x m x x m+ + + + + =
 Giải : Đặt
4
4
4 0t x x m= + + ≥
Thu được phương trình :
2
2
6 0
2
3
0
0
t
t t

' 0 4 4 0 1y x x= ⇔ + = ⇔ = −
và
( 1) 19f − = −
Lập bảng biến thiên của hàm số ta thấy :
Hàm số đồng biến trên khoảng
( )
1;− +∞
và nghòch biến trên khoảng
( )
; 1−∞ −
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt
19 19m m⇔ − > − ⇔ <
 VD3 : Đònh giá trò của m để phương trình sau có ngiệm :
( ) ( )
4 3 3 3 4 1 1 0m x m x m− + + − − + − =
(1)
2
ĐINH VĂN QUYẾT ĐĂK LĂK
 Giải : Điều kiện :
3 1x
− ≤ ≤
.
3 3 4 1 1
(1)
4 3 3 1 1
x x
m
x x
+ + − +
⇔ =

3 2sin 2
1
t
x
t
ϕ
+ = =
+
và
2
2
1
1 2cos 2
1
t
x
t
ϕ
−
− = =
+

với
[ ]
tan ; 0;1
2
t t
ϕ
= ∈
2

52 8 60
'( ) 0, 0;1
5 16 7
t t
f t t
t t
− − −
= < ∀ ∈
− + +
.
Suy ra hàm số nghòch biến trên đoạn
[ ]
0;1
và
9 7
(0) ; (1)
7 9
f f= =

Vậy phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm
trên đoạn
[ ]
0;1
khi và chỉ khi :
7 9
9 7
m≤ ≤
3. Xét bất phương trình dạng :
( )f x m≤
( m là tham số )

 VD : Cho bất phương trình :
2 2
2 24 2x x x x m− + ≤ − +
(m là tham số)
Tìm m để BPT thỏa
[ ]
4;6x∀ ∈ −
 Giải :
3
ĐINH VĂN QUYẾT ĐĂK LĂK
Đặt
2
2 24t x x= − +
Tìm điều kiện của t :
[ ] [ ]
4;6 0;5x t∀ ∈ − ⇒ ∈

Thu được bất phương trình :
2
24t t m+ − ≤
với
[ ]
0;5t ∈
Bài toán đã cho trở thành : Tìm m để
2
24t t m+ − ≤
,
[ ]
0;5t∀ ∈
Xét hàm số

=


Cách giải :
- Xét hàm số y=f(t) và nếu chứng minh được hàm số đơn điệu thì kết luận
x=y. Khi đó đưa bài toán về giải hoặc biện luận PT : g(x,y) =0 theo một ẩn.
- Nếu hàm số y = f(t) có một cực trò tại t = a thì nó thay đổi chiều biến thiên
một lần khi đi qua a .Từ phương trình đầu suy ra x = y hoặc x,y nằm về hai phía
của a.
 VD1: Giải hệ phương trình :
3
1 1
(1)
2 1(2)
x y
x y
x y

− = −



− =


 Giải : Từ PT :
1 1
x y
x y
− = −

ĐINH VĂN QUYẾT ĐĂK LĂK
Hệ có nghiệm là: (-1;-1);








−−








++
2
51
;
2
51
;
2
51
;
2

. Hàm số đồng biến trong khoảng (-1;0) và nghòch
biến trong khoảng
(0; )+∞
.
ln(1 ) ln(1 ) ( ) ( )x x y y f x f y x y+ − = + − ⇔ = ⇔ =
thay vào PT
2 2
2 5 0x xy y− + =
ta có nghiệm x = y =0 .
BÀI TẬP
Bài 1 : Tìm m để phương trình có nghiệm
(
)
2 2 4 2 2
1 1 2 2 1 1 1m x x x x x+ − − + = − + + − −
(ĐỀ THI ĐHKB-2004)
Bài 2 : CMR với mọi giá trò của m phương trình sau có hai nghiệm thực phân
biệt:
2
2 8 ( 2)x x m x+ − = −
(ĐỀ THI ĐHKB-2007)
Bài 3 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực :
2
4
3 1 1 2 1x m x x− + + = −
(ĐỀ THI ĐHKA -2007)
Bài 4 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm thuộc
[
)
32;+∞

3 1
2
3
1
log 3 2 2 2.
5
x x
x x
− −
 
− + + + =
 ÷
 
(UD ĐH)
II. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –
5