Sáng kiến kinh ngiệm GV: HOÀNG VIỆT NAM

Mục Lục
Trang
Lời mở đầu
A. Phần nội dung
1. Lý do chọn đề tài
2. Mục đích và nhiệm vụ
3. Tóm tắt lí thuyết
B. Những vấn đề cụ thể
Phần I: Ứng dụng của đạo hàm để
chứng minh các bất đẳng thức
Phần II: Ứng dụng đạo hàm để tìm giá trò lớn nhất
giá trò nhỏ nhất của một hàm số
Phần III:Ứng dụng đạo ham để xét sự tồn tại nghiệm
của một phương trình
Phần IV: Một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số
C. Tài liệu tham khảo
⊗
Kí hiệu viết tắt: Vd1: ví dụ 1
HD: Hướng dẫn giải
BBT: Bảng biến thiên
KSHS: khảo sát hàm số

1
Sáng kiến kinh ngiệm GV: HOÀNG VIỆT NAM

LỜI MỞ ĐẦU
Trong chương trình toán phổ thông hiện nay đặc biệt là chương trình
toán lớp 12 “Đạo hàm ” là một phần kiến thức không thể thiếu đối với
mỗi học sinh. Việc nắm vững các kiến thức về đạo hàm như: đònh nghóa đạo

trình bày SKKN của mình sao cho học sinh nắm được cơ bản của phép tính
đạo hàm và hệ thống kiến thức xuyên suốt chương trình đã học.
2. Mục đích và nhiệm vụ của SKKN
Với mục đích giúp học sinh ôn lại, nắm vững kiến thức một cách hệ thống và
giúp học sinh hiểu sâu rộng thêm về ứng dụng của đạo hàm đồng thời tránh trình bày
lại SGK 12 hiện hành nên nội dung của cuốn SKKN được trình bày ngắn gọn và chỉ
làm rõ một số ứng của “Đạo hàm” mà trong SGK hiện hành không đưa ra hoặc chỉ
giới thiệu sơ qua. Cuốn SKKN cũng không trình bày chi tiết và rộng rải như một cuốn
sách chuyên đề. Một số kiến thức trong sách giáo khoa không trình bày lại (Xem như
học sinh đã học và phải tự xem lại). Nội dung cuốn SKKN được chia thành 4 phần :
Phần I: Ứng dụng của đạo hàm để chứng minh các bất đẳng thức
Phần II: Ứng dụng đạo hàm để tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của
một hàm số
Phần III: Ứng dụng đạo hàm để xét sự tồn tại nghiệm của một phương
trình
Phần IV: Một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số
Trong mỗi phần đều có bài toán tổng quát, ví dụ minh họa để học sinh
nắm được phương pháp, vận dụng vào giải hệ thống các bài tập từ cơ bản đến
nâng cao giúp học sinh tự rèn luyện kó năng giải toán và khắc sâu kiến thức.
3.Tóm tắt lý thuyết.
1. Đònh nghóa đạo hàm:
Cho hàm số y = f(x) xác đònh trên khoảng (a;b) và x
0
∈
(a;b). Giới hạn, nếu
có, của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại x
0
, khi số gia của
biến số dần tới 0, được gọi là đạo hàm của hàm số tại điểm x
0

Δx
)f(xΔx)f(x
00
−+
2. Đạo hàm một bên
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x
o
thuộc TXĐ
3
Sáng kiến kinh ngiệm GV: HOÀNG VIỆT NAM
- Đạo hàm bên trái của hàm số y= f(x) tại
x
0
, ký hiệu là
)x(f
0
−
′
, được
đònh nghóa là:
x
y
0x
lim)x(f
0
∆
∆
∆
−
−

Hàm số y=f(x) được gọi là có đạo hàm trên đoạn
[ ]
b;a
nếu nó có
đạo hàm trên khoảng (a;b) và có đạo hàm bên phải tại a, đạo hàm bên
trái tại b.
4. Ý nghóa hình học của đạo hàm
Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm tại x
0
và (C) là đồ thò của hàm số
Đònh Lý 1: Đạo hàm
f
′
(x) của hàm sô f(x) tại x
0
bằng hệ số góc của tiếp
tuyến với đồ thò (C) tại M
0
( x
0
,f(x
0
)).
Đònh lý 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thò (C) của hàm số y= f(x) tại điểm
)y,x(M
000
là:

)x).(x(xfyy
000

Đònh lý3: Nếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x và v
≠
0 thì thương
v
u
cũng
có đạo hàm tại x và :
2
v
vuvu
v
u
′
−
′
=
′






6. Tính đơn điệu của hàm số
Đònh lí 1:
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b)
1) Nếu
)x(f
′
> 0 với mọi x ∈(a;b) thì hàm số đồng biến trên khoảng đó

1
(
−=
, mọi x khác 0
6. (sinx)’ = cosx
7. (cosx)’ = - sinx
8. (tgx)’ =
2
)x(cos
1
, đk: cosx
≠
0
9. (cotgx)’ =
2
)x(sin
1
−
đk: sinx
≠
0
10. (ln
x
)’ =
x
1
, đk: x
≠
0
11. (a

α
15.
2
u
'u
)'
u
1
(
−=
, mọi u khác 0
16. (sinu)’ = u’.cosu
17. (cosu)’ = - u’.sinu
18. (tgu)’ =
2
)u(cos
'u
, đk: cosu
≠
0
19. (cotgu)’ =
2
)u(sin
'u
−
đk: sinu
≠
0
20. (ln
u

(n)

hay f
(n)
(x), được đònh nghóa như sau: f
(n)
(x) = [f
(n -1)
(x)]’
B. NHỮNG VẤN ĐỀ CỤ THỂ
PHẦN I
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ
CHỨNG MINH CÁC BẤT ĐẲNG THỨC
1. Bất đẳng thức mở đầu
Bài toán1: Chứng minh rằng: e
x – 1
≥

x với mọi x
∈
R (1)
Dấu đẳêng thứătrong (1) xảy ra khi và chỉ khi x = 1
Chứng minh
Xét hàm số f(x) = e
x – 1
–

x , trên R
Ta có: f’(x) = : e
x – 1

Từ BBT ta thấy f(x) > 0,
Rx
∈∀
x
≠
1 và f(x) = 0
⇔
x = 1, nghóa là
e
x – 1
≥

x với mọi x
∈
R, dấu đẳng thức xẫy ra khi và chỉ khi x = 1
Bài toán được chứng minh
Bài toán 2: (Bất đẳng thức Bernoulli)
Với mọi số thực x > - 1 và với mọi số tự nhiên n ta luôn có
(1 + x)
n

≥

1 + nx,
Dấu đẳng thức xẫy ra khi và chỉ khi n = 0; 1 hoặc x = 0
Chứng minh:
Với n = 0; 1 ta có ngay điều cần chứng minh
G/sử n
≥



suy ra: (1 + x)
n

≥

1 + nx,
):1(x
+∞−∈∀
. Cũng nhờ bảng biến thiên ta nhận
thấy dấu đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi x = 0
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1. e
x
> 1 + x, với mọi x > 0
2. ln(1 + x) < x, với mọi x > 0
3. cosx > 1 -
2
x
2
, với mọi x > 0
6
Sáng kiến kinh ngiệm GV: HOÀNG VIỆT NAM
4.
4
1xx
3x2x2
2
2

có : (1 + x)
n
+ (1 - x)
n
< 2
n
PHẦN II
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT
GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT HÀM SỐ
Kiến thức cần nhớ:
1. Đònh nghóa:
Cho hàm số y= f(x) xác đònh trên tập D
a) Số M được gọi là giá trò lớn nhất của hàm số trên tập D nếu:
* ∀ x ∈ D : f(x) ≤ M
* ∃
x
0
∈ D : f(
x
0
) = M
Kí hiệu: M =
max
D
f(x)
b) Số m được gọi là giá trò nhỏ nhất của hàm số trên tập D nếu:
* ∀ x ∈ D : f(x) ≥ m
* ∃
x
0

2) Tính f(a), f(b), f(
x
i
) ( i= 1,2...)
7
Sáng kiến kinh ngiệm GV: HOÀNG VIỆT NAM
3) Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên đó cũng là giá trò
lớn nhâùt và giá trò nhỏ nhất của hàm số trên [a;b]
Ví dụ 1:
Cho hàm số y = f(x) = x - 5+
1
x
( x > 0). Tìm
min
( ; )0
∞
f(x) và
);0(
max
∞
f(x)
Bài giải:
Với mọi x > 0 ta có:
′
y
=
x
x
2
2

).
Ta phải tìm x
)
2
;0(
a
∈
sao cho V(x) có giá trò lớn nhất.
Xét hàm số V(x)= x(a-2x)
2
,với x
)
2
;0(
a
∈
V’(x)= 12x
2
–8x +a
2
=0
⇔
x=
2
,
6
a
x
a
=






−
−
22
xR4
x
12
=> u’ = 0
⇔
22
xR4
−
= x
⇔
x = R
2
BBT
x 0 1 2R
u’ + 0 -
u 4R
2

4R 4R
Dựa vào BBT ta thấy
=
umax

(do x > 0)
Từ đó suy ra điều cần chứng minh
+) Diện tích của hình chữ nhật sẽ là: S = x.
22
xR4
−
Ta có
S’ =
22
2
22
xR4
x
xR4
−
−−
=
22
22
xR4
x2R4
−
−
=> S’ = 0
⇔
22
x2R4
−
= 0
⇔

S
2
= x
2
(4R
2
– x
2
)
≤

2
1
(x
2
+ 4R
2
– x
2
) = 2R
2
Dấu đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi x
2
= 4R
2
– x
2

⇔
x = R

]
2. Tìm GTNN của tổng hai số dương, biết rằng tích của chúng bằng 26
3. Trong tất cả các hình chữ nhật có diện tích bằng 48m
2
, hãy xác đònh hình
chữ nhật có chu vi nhỏ nhất.
4. Tìm chiều cao của hình nón nội tiếp trong hình cầu bán kính R để hình nón này
có thể tích lớn nhất.
5. Dựng hình chữ nhật có diện tích lớn nhất biết rằng chu vi của nó không đổi và
bằng 16cm
BÀI TẬP NÂNG CAO
1. Cho hai số thực x, y thay đổi sao cho x
2
+ y
2
= 1. Tìm các GTLN, GTNN
của biểu thức
P = x.
y1
+
+ y.
x1
+
2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
y = sinx +
xsinx2cos
+
3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
y = 3
x -1

5
3
5
2
xx
=






+






Xét hàm số f(x) =
xx
5
3
5
2









.ln
5
3
< 0 , mọi x thuộc R => hàm số nghich biến trên R
Do vậy với mọi x > 1 thì f(x) < f(1) = 1 => phương trình (1) vô nghiệm
∀
x > 1
x < 1 thì f(x) > f(1) = 1 => phương trình (1) vô nghiệm
∀
x < 1
Từ đó x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình (1)
HD:
Ta có thể sự dụng tính đơn điệu của hàm số mũ để giải (Đã học ở lớp 11)
Mọi x > 1 thì
x
5
2






<
5
2
, và



<
5
2
+
5
3
= 1, từ đó suy ra phương
trình (1) vô nghiệm với mọi x > 1
Tương tự với mọi x < 1 thì
x
5
2






>
5
2
, và
x
5
3




5
3
= 1, từ đó suy ra
phương trình (1) vô nghiệm với mọi x < 1
Ví dụ 2:
Cho 3 số dương a, b, c thoả điều kiện a
2
+ b
2
= c
2

Chứng minh rằng, phương trình: a
x
+ b
x
= c
x
(*) có một nghiệm duy nhất
Chứng minh
Từ điều kiện a
2
+ b
2
= c
2
, a > 0, b > 0, c > 0 suy ra 0 <
c
a
<1, 0 <







+
x
c
b






, trên R
Ta có : f’(x) =
x
c
a






ln



f(x) < f(2) = 1 vỡi mọi x > 2 => phương trình (*) vô nghiệm
∀
x > 2
Vì vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất x = 2 (đpcm)
Ví dụ 3:
Tìm tất cả các giá trò của tham số m để phương trình
x
3
– x
2
+ 18mx – 2m = 0 (*), có ba nghiệm phân biệt.
11