I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1.Cơ sở thực tiễn của vấn đề nghiên cứu
Trong thời gian gần đây bài toán giải phương trình và bất phương trình có
chứa tham số không thể thiếu được trong các kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng
và thi học sinh giỏi. Nhưng trong sách giáo khoa lại chủ yếu những dạng bài tập
giải phương trình, bất phương trình không có chứa tham số. Với kiến thức ở lớp 10
, 11 khi giải các bài toán đó học sinh biến đổi phương trình, bất phương trình để
quy phương trình dạng quên thuộc,với cách giải này học sinh thường mắc phải
những sai lầm như không xét hết các khả năng xảy ra của bài toán hoặc thiếu điều
kiện của ẩn phụ đặc biệt đối với các bài tập về phương trình, bất phương trình bậc
ba học sinh sẽ lúng túng về phương pháp giải. Từ những năm thay sách giáo khoa
không nói đến định lý đảo về dấu tam thức bậc hai, trong khi đó sách tham khảo
suất bản trước đó có rất nhiều bài toán sử dụng định lý đó để thực hiện việc so
sánh các nghiệm của một tam thức bậc với các số cho trước nên học sinh đọc sách
rất lúng túng. Để tạo cho học sinh có hứng thú trong học tập bản thân tôi một giáo
viên dạy toán phải định hướng cho học sinh biến đổi về bài toán và ứng dụng đạo
hàm để khảo sát hàm số với cách giải này học sinh sinh sẽ có một lời giải nhanh
gọn hơn và ít xãy ra sai sót. Đó là lý do để tôi chọn đề tài này “ Ứng dụng đạo
hàm để giải một số bài toán phương trình , bất phương trình có chứa tham
số’’
2. Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm
Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm này là:
- Làm sáng tỏ sự liên hệ giữa số nghiệm của phương trình một ẩn với số
giao điểm của hai hai đồ thị hai hàm số ở hai vế của phương trình đó, nghiệm của
phương trình chính là hoành độ các giao điểm nghĩa là từ các giao điểm mà chiếu
vuông góc lên trục hoành ta sẽ tìm được các nghiệm tương ứng.
- Trong bài viết này chủ yếu đề cập đến những bài toán về phương trình,
bất phương trình có chứa căn và tham số thức đòi hỏi học sinh phải tìm kiều kiện
để phương trình , bất phương trình tồn tại thay vào cách so sánh nghiệm của

( )y g m=
là đường thẳng vuông góc với trục Oy tại điểm
có tung độ bằng
( )g m
.
- các nghiệm
1 2
, , ,
n
x x x
của phương trình (1) chính là hoành độ của các
giao điểm.
b) Quy tắc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
- Từ việc lập lập bảng biến thiên của hàm số
( )f x
trên tập xác định của nó
ta sẽ tìm thấy những điểm trên đồ thị có tung độ lớn nhất ( nhỏ nhất ) các giá trị đó
chính là giá trị lớn nhất ( giá trị nhỏ nhất ) của hàm số .
- Nếu hàm số
( )f x
xác định và liên tục trên đoạn
[ ]
;a b
thì ta có thể tìm
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất theo các bước sau :

2 - Tìm các điểm

khi đó
Bất phương trình :

( ) ( )f x g m≥
thỏa mãn
x D∀ ∈
khi và chỉ khi
( ) ( )
D
Min f x g m≥

( ) ( )f x g m≤
thỏa mãn
x D∀ ∈
khi và chỉ khi
ax ( ) ( )
D
M f x g m≤

( ) ( )f x g m≥
có nghiệm
x D∈
khi và chỉ khi
Max ( ) ( )
D
f x g m≥

( ) ( )f x g m≤
có nghiệm
x D∈

⇔

4
1 1
3 2
1 1
x x
m
x x
− −
− + =
+ +
.

3Đặt
[
)
4 4
1 2
1 0,1
1 1
x
t
x x
−
= = − ∈
+ +

Vói cách giải bằng ứng dụng đạo hàm cho chúng ta lời giải nhanh gọn hơn rất
nhiều.
Các vướng mắc nói trên sẽ được giải quyết toàn diện khi học sinh đã học về ứng
dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số. Do đó từ đầu năm học 2011 – 2012 tôi đã
nghiên cứu đề tài nói trên thông qua một số tiết ôn tập tại hai lớp 12A
3
, 12B, và từ
đó xây dựng, hoàn thiện bài viết của mình.
3. Các phương pháp đã tiến hành
Do những hạn chế của học sinh như đã trình bày trong phần lý do chọn đề tài và
phần khảo sát thực tiễn nên trong quá trình dạy lớp 12, bắt đầu là phần ứng dụng
đạo hàm để khảo sát hàm số, với các tiết học tập ôn, tôi đã lồng ghép các bài tập
phương trình, bất phương trình có chứa tham số. Do thời gian không có nhiều, hơn
thế để học sinh chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên ứng với mỗi phần tôi cho học
sinh một số bài tập để các em về nhà nghiên cứu tìm lời giải. Trên lớp tôi cho một
số học sinh lên bảng làm bài với kiến thức ở lớp 10, 11 và một số học sinh khác
nhận xét lời giải. Sau đó tôi trình bày lời giải bài tập đó bằng ứng dụng đạo hàm và

x
'
( )f x
( )f x
0 1
+ 0

0
-1
4
+ −
= (1 – x )
1
(2 ) 0
(4 )(6 )x x
+ =
+ −

⇔

1x
=

Từ bảng biến thiên suy ra Maxf(x) = f( 1 ) = 6
m≤
Nhận xét:
Bài toán trên với kiến thức ở lớp 10 hoc sinh có thể đặt
(4 ) (6 )
(4 )(6 ) 5
2
x x
t x x
+ + −
= + − ≤ =
và đưa về bất phương trình bậc hai ẩn t rồi
giải thì khá phức tạp . Bài toán còn có thể giải bằng cách đưa về hàm số
[ ]
2
( ) 24 ; 0;5f t t t m t= + − ≤ ∀ ∈
và tìm giá trị lớn nhất trên đoạn

và
2
3x t= +
Bất phương trình (2) trở thành
2
( 3) 1m t t m+ − ≤ +
với điều kiện
0t ≥
2
2
1
( 2) 1
2
t
m t t m
t
+
⇔ + ≤ + ⇔ ≤
+
, (2a) với điều kiện
0t ≥
Xét hàm số
2
1
( )
2
t
f t
t
+


= − +
− − +
= = ⇔ − − + = ⇔

= − −
+


Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra
[
)
0;
1 3
( )
4
Max f t
+∞
+
=
Vậy điều kiện phải tìm là
1 3
4
m
+
≤
Nhận xét:
Với kiến thức của lớp 10 học sinh có thể giải được bài toán trên thông qua
việc so sánh các nghiệm của tam thức bậc hai với số 0, tuy nhiên khá phức tạp vì

1x x x< ≤ <
tức là đường thẳng
y a=
phải cắt đồ thị hàm số
3 2
( ) 3y f x x x= = −
tại ba điểm phân biệt có hoành độ
1 2 3
, ,x x x
thỏa mãn
1 2 3
1x x x< ≤ <
Ta có
' 2 '
0
( ) 3 6 ; ( ) 0
2
x
f x x x f x
x
=

= − = ⇔

=


3
3
lim ( ) lim 1

0
+∞
− ∞
-2
7
x
- 0 1 2 +
-4Bài 4. Chứng minh rằng
0m∀ >
phương trình sau luôn có hai nghiệm phân biệt:
2
2 8 ( 2)x x m x+ − = −
(4)
Lời giải:
Phương trình (3)
( )
2
2
2
2 8 ( 2)
2 8 0
x x m x
x x

+ − = −

⇔

⇔

= − +


(4b)
3 2
6 32m x x⇔ = + −
Xét hàm số
3
( ) 6 32f x x x= + −
với
2x ≥

' 2
( ) 3 12 0, 2f x x x x= + ≥ ∀ ≥
,
lim ( )
x
f x
→+∞
= +∞
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra
0m∀ >
phương trình (4b) có đúng một
nghiệm
2x >

⇒

, (5)
Lời giải:
Điều kiện:
4
4 0x x m+ + ≥
, (*).
Đặt
4
4
4t x x m= + +

4 2
4x x m t⇒ + + =
với
0t ≥
Phương trình (5) trở thành
2
2
6 0
3
t
t t
t
=

+ − = ⇔

= −

mà

f x x
x x
→−∞ →−∞
 
= − − + = −∞
 ÷
 
;
4
3 4
4 16
lim ( ) lim 1
x x
f x x
x x
→+∞ →+∞
 
= − − + = −∞
 ÷
 
Bảng biến thiên

9Từ Bảng biến thiên
suy ra:
- Nếu
19,m >
phương trình (5) vô nghiệm

2
u
u x x u x x x x
−
= + + − ⇒ = + + − ⇒ + − =
Để tìm điều kiện của
u
ta xét hàm số
( ) 3 6u f x x x= = + + −
với
[ ]
3;6x ∈ −
Có
'
1 1
( ) ;
3 6
f x
x x
= −
+ −

'
3
( ) 0 3 6
2
f x x x x= ⇔ + = − ⇔ =
và
'
( )f x

vậy
[ ]
3;6x∀ ∈ −
3;3 2u
 
⇒ ∈
 
Phương trình (6) trở thành
2
2
9 1 9
2 2 2
u
u a u u a
−
− = ⇔ − + + =
, (6a) với
3;3 2u
 
∈
 
Phương trình (6) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (6a) có nghiệm
3;3 2u
 
∈
 
Xét hàm số
2
1 9
( )

- Có thể thay cách giải bài toán trên bằng cách tìm a để phương trình
2
1 9
2 2
u u a− + + =
có nghiệm với
3;3 2u
 
∈
 

- Nếu trong bài toán có tham số thì việc tìm điều kiện của
u
là không thể
bỏ qua và không được làm sai. Việc tìm điều kiện của
u
như trên thực chất là việc
tìm tập giá trị của hàm số
( )f x
trên tập xác định của phương trình đã cho.
Bài 7. Tìm tham số
m
để phương trình sau có nghiệm:
2 2 4 2 2
( 1 1 2) 2 1 1 1m x x x x x+ − − + = − + + − −
, (7)

11
[ ]
1;1 0; 2x u
 
∀ ∈ − ⇒ ∈
 
và
(
)
2
2 2 2 4 2
1 1 2 1 2u x x x u= + − − ⇒ − = −
Phương trình (7) trở thành
2
( 2) 2m u u u+ = − +
với điều kiện
0; 2u
 
∈
 

2
2
,
2
u u
m
u
− + +
⇔ =
+

u u
f u u
u
− −
 
= ≤ ∀ ∈
 
+
suy ra hàm số
( )f u
nghịch biến trên đoạn
0; 2
 
 

( )
(0) 1; 2 2 1f f= = −
Vậy điều kiện phải tìm là
2 1 1m− ≤ ≤
Nhận xét:
Đối với bài toán 7 có thể giải và biện luận phương trình 7a theo cách giải
và biện luận phương trình bậc hai tuy nhiên với cách giải này khi học sinh không
học định lý talét đảo thì học sinh giải sẽ rể dẫn đến không xét hết các trường hợp

12xảy ra do đó với cách giải ứng dụng đạo hàm được trình bày ở trên cho chúng lời
giải nhanh gọn hơn
Bài 8. Tìm tham số

m
x x
− −
⇔ + =
+ +
Đặt
2
4
1 1
1 1
x x
t t
x x
− −
= ⇒ =
+ +
, Xét hàm số
1
( )
1
x
g t
x
−
=
+
, với
1x ≥
Có
( )

[
)
0;1t ∈
Phương trình (8) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (8a) có nghiệm
[
)
0;1t ∈

Xét hàm số
2
( ) 3 2f t t t= − +
trên đoạn
[ ]
0;1

'
( ) 6 2f t t= − +
;
'
1
( ) 0
3
f t t= ⇔ =

13Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra điều kiện phải tìm là
1

m
x
+
⇔ =
+
, (9a).
Xét hàm số
2
3
( )
1
x
f x
x
+
=
+
trên
¡
Số nghiệm của phương trình (1) bằng số nghiệm của phương trình (9a) và là số
giao điểm của đồ thị hàm số
( )y f x=
với đường thẳng
y m=
2
2
' '
2
2 2
1 ( 3)


2
3
1
lim ( ) lim 1
1
1
x x
x
f x
x
→−∞ →−∞
+
= = −
− +
;
lim ( ) 1
x
f x
→+∞
=
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra:
- Nếu
10
1
m
m

>

2
2x 8 ( 2)x m x+ − = −
có đúng
hai nghiệm
2.Tìm tham số
m
để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:
2 2 2 1x m x+ + = +

x
'
( )f x
( )f x
+
+ 0

-1
1
153.Tìm tham số
m
để
2 2
3 6 18 3x 1x x x m m+ + − − + − ≤ − +
đúng
[ ]
3,6x∀ ∈ −


2 7a x x a+ < +
nghiệm đúng với mọi
x
8.Tìm tham số
a
để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
3 2
4 0x ax+ − =
9. Tìm tham số
m
để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt:
4
4
2x 2x 2 6 2 6x x m+ + − + − =
IV. Kết quả của sáng kiến kinh nghiệm
Khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào giảng dạy học sinh ở trường
THPT Lang Chánh, tơi nhận thấy các em rất hứng thú với mơn học , nhiều em lúng
túng trước một số bài tốn dường như bế tắc cách giải nhưng sau khi được học
phần ứng dụng đạo hàm thì bài tốn đó được giải quyết một cách dễ dàng hơn .
Chính vì thế các em nhận thấy được với mỗi bài tốn việc hoc tập và tìm tòi là hết
sức quan trọng do đó với mỗi năm học tơi nhận thấy chất lượng của mơn tốn tốt
hơn và kết quả học tập của học sinh được tăng lên rõ rệt cụ thể đầu năm học sinh
lớp 12 chưa được học phần ứng dụng đạo hàm và cuối kỳ I tơi đã dạy phần ứng
dụng đạo hàm để giải một số bài tốn về phương tình và bất phương trình có chứa
tham số. Kết quả cụ thể
Năm học
Đầu năm học (%) Cuối học kỳ I (%)
Yếu TB Khá Giỏi Yếu TB Khá Giỏi
2012-2013
25 37 28 10 10 25 50 15

Thanh Hoá, ngày 19 tháng 01 năm 2013
NGƯỜI VIẾT SKKN
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của tôi viết,
không sao chép nội dung của người khác.
(ký và ghi rõ họ tên)

17 Lê Thị Tâm

18