MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Chương trình Giải tích THPT, đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm giữ vai trò chủ
đạo. Thực trạng dạy và học Toán ở trường THPT cho thấy: Do vai trò chủ đạo của
đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong chương trình Toán nên phần lớn GV và HS
rất chú trọng đặc biệt là đối với HS líp 12 vì thế nhiều HS khá, giỏi đã được rèn
luyện kỹ năng ứng dụng của đạo hàm để giải toán. Bên cạnh đó có nhiều sách tham
khảo viết về ứng dụng của đạo hàm để giải toán nói chung. Tuy nhiên về bài toán
cực trị hình học và việc ứng dụng của đạo hàm giải loại toán này thì đa số học sinh
đối với cả học sinh khá, giỏi còn chưa được rèn luyện, thậm chí Ýt được tiếp cận.
Trên thực tế có rất Ýt tài liệu tham khảo viết có hệ thống về loại toán này. Vấn đề
cực trị hình học khó đối với học sinh vì nó đòi hỏi kiến thức tổng hợp về hình học,
đại số, giải tích và nó đòi hỏi học sinh phải có thãi quen ứng dụng tổng hợp kiến
thức. Nếu rèn luyện được kỹ năng giải loại toán này thì không chỉ học sinh nắm
được hệ thống tri thức toán mà còn góp phần rèn luyện năng lực giải toán, kỹ năng
vận dụng tri thức toán vào thực tiễn, phát triển tư duy Toán học cho học sinh. Vì vậy
việc rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm để giải toán cực trị hình học là một nhu
cầu thiết yếu đối với học sinh, đặc biệt là học sinh khá, giỏi líp 12. Vì lẽ đó chúng tôi
chọn đề tài:
Rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm để giải toán cực trị hình học cho học
sinh khá, giỏi líp 12 THPT
2. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
 Nghiên cứu lí luận về kỹ năng, kỹ năng giải toán và một số biện pháp rèn
luyện kỹ năng giải toán cho học sinh THPT
 Rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm để giải toán cực trị của hàm sè
 Tìm hiểu thực trạng của việc rèn luyện kỹ năng ứng dụng của đạo hàm trong
giải toán cực trị hình học
 Tìm hiểu bài toán cực trị hình học và nêu quy tắc giải bài toán cực trị hình
học có ứng dụng của đạo hàm
 Xây dựng hệ thống các bài tập điển hình nhằm rèn luyện kỹ năng ứng dụng
của đạo hàm để giải toán cực trị hình học cho học sinh khá, giỏi líp 12

Mở đầu
Chương I. Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương II. Rèn luyện kỹ năng ứng dụng của đạo hàm để giải toán cực trị hình
học cho học sinh khá, giỏi líp 12.
Chương III. Thử nghiệm sư phạm
Kết luận
Tài liệu tham khảo
CHƯƠNG I. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
I.1. KHÁI NIỆM CHUNG VỀ KỸ NĂNG VÀ KỸ NĂNG GIẢI TOÁN
I.1.1. Kỹ năng
Có nhiều quan niệm khác nhau về kỹ năng
“ Kỹ năng là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn” trong đó khả
năng được hiểu là sức đã có về mặt nào đó để có thể làm tốt một việc gì [1]. “Kỹ
năng là khả năng thực hiện hành động một cách thành thạo, linh hoạt sáng tạo, phù
hợp với mục tiêu trong các điều kiện khác nhau” [6].
Theo từ điển trên mạng Wikipedia: Kỹ năng là sự thành thạo, sự dễ dàng, hoặc
khéo léo có được thông qua đào tạo hoặc trải nghiệm. Có 3 thành tố cơ bản của kỹ
năng là kết quả (effectivienss), sự chắc chắn/ ổn định (consistency) và hiệu quả
(efficency).
Từ các quan niệm về kỹ năng cho ta thấy có hai loại quan niệm về kỹ năng: 1)
Xem xét nghiêng về mặt kỹ thuật của hành động, coi kỹ năng là một phương tiện
thực hiện hành động mà con người đã nắm vững, theo đó người có kỹ năng là người
nắm vững tri thức về hành động và thực hiện hành động theo đúng yêu cầu đặt ra; 2)

Xem xét kỹ năng nghiêng về năng lực của con người, là biểu hiện của năng lực con
người chứ không đơn thuần là mặt kỹ thuật của hành động. Loại quan niệm này chú ý
tới kết quả của hành động. Coi kỹ năng là năng lực thực hiện một công việc có kết
quả với chất lượng cần thiết trong một thời gian nhất định, trong những điều kiện,
tình huống mới.
Rèn luyện kỹ năng có vai trò đặc biệt quan trọng đối với sự phát triển trí tuệ

kiến thức,có kỹ năng, kỹ xảo vận dụng trong thực hành giải toán. Tuỳ theo nội dung
kiến thức truyền thụ cho HS mà ta có những yêu cầu rèn luyện kỹ năng tương ứng.
Trong chương trình Toán phổ thông ta có thể chỉ ra một số kỹ năng cần thiết khi giải
toán là
Kỹ năng tính toán:
Kỹ năng vận dụng thành thạo các quy tắc:

Kỹ năng vận dụng tri thức vào giải toán:
Kỹ năng chứng minh Toán học:
Kỹ năng chuyển từ tư duy thuận sang tư duy nghịch, kỹ năng biến đổi xuôi chiều
và ngược chiều:
Kỹ năng đọc và vẽ hình, đo đạc:
Kỹ năng Toán học hoá các tình huống thực tiễn:
Kỹ năng hoạt động tư duy hàm:
Kỹ năng tự kiểm tra đánh giá, tìm sai lầm trong lời giải:
b) Kỹ năng giải toán
Trong Toán học,“Kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng
minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được”.
Kỹ năng giải toán có cơ sở là các tri thức Toán: kiến thức, kỹ năng, phương
pháp. HS sau khi nắm vững lí thuyết, trong quá trình luyện tập, củng cố, đào sâu kiến
thức thì kỹ năng được hình thành, phát triển đồng thời nó cũng góp phần củng cố, cụ
thể hoá tri thức Toán học.
Kỹ năng Toán học được hình thành và phát triển thông qua việc thực hiện các
hoạt động Toán học và các hoạt động học tập trong môn Toán.
Kỹ năng có thể được rút ngắn, bổ sung, thay đổi trong quá trình hoạt động.
I.2. RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HS THPT.
I.2.1. Cơ sở lý luận để xây dựng các biện pháp nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán
cho học sinh THPT
a) Cơ sở tâm lý giáo dục
b) Cơ sở phương pháp dạy học bộ môn Toán

 HS hoạt động tự giác tích cực, chủ động, sáng tạo, có sự giao lưu giữa HS
với HS, giữa GV với HS.
 GV có tác động điều chỉnh hoạt động học tập, chẳng hạn: giúp đỡ HS vượt
qua những khó khăn bằng cách phân tách một hoạt động thành những phần đơn giản
hơn, hoặc cung cấp cho HS mét số tri thức phương pháp và nói chung là điều chỉnh
mức độ khó khăn của nhiệm vụ dùa vào sự phân bậc hoạt động.
 GV giúp HS xác nhận những tri thức đã đạt được trong quá trình hoạt
động, đưa ra những bình luận cần thiết để HS hiểu tri thức đó một cách sâu
sắc, đầy đủ hơn.
b) Trang bị các tri thức về phương pháp giải toán cho học sinh





 !
"#$%&'(
& !
)*
Kü n¨ng
*+,
 /0 
/1+,%23
0*+,
/23)4& !
"5255(
6%7$5
"5)85255(
&*+,
952552

toán.
Như vậy trong quá trình học sinh học phương pháp chung giải toán là một quá
trình biến những tri thức phương pháp tổng quát thành kinh nghiệm giải toán của bản
thân mình thông qua việc giải hàng loạt các bài toán cụ thể. Từ phương pháp chung
giải toán đi tới cách giải một bài toán cụ thể còn là cả một chặng đường đòi hỏi lao
động tích cực của người học sinh, trong đó có nhiều yếu tố sáng tạo. “Tìm được cách
giải một bài toán là một phát minh’’ (Polya - 1975).
c) Rèn luyện kỹ năng giải toán thông qua củng cố
Việc củng cố tri thức kỹ năng một cách có định hướng và có hệ thống có một ý
nghĩa to lớn trong dạy học Toán. Điều đó trước hết là do cấu tạo của SGK ở phổ
thông theo cách là mỗi lĩnh vực nội dung mới đều dùa vào những lĩnh vực nội dung
đã được học trước kia. Củng cố cần được thực hiện đối với tất cả các thành phần của
nhân cách đã được phát biểu thành mục tiêu trong chương trình, tức là không chỉ
những đối với tri thức mà còm đối với cả kỹ năng, kỹ sảo, thãi quen và thái độ. Tuy
nhiên, việc củng cố chỉ có thể được thực hiện dùa vào những nội dung cụ thể, vì vậy
dưới đây chỉ xét chủ yếu là việc củng cố tri thức và kỹ năng Toán học.
<
Trong môn Toán củng cố diễn ra dưới các hình thức luyện tập, đào sâu, ứng
dụng, hệ thống hoá và ôn.
d) Rèn luyện kỹ năng giải toán thông qua các tiết tự chọn.
Theo chương trình đổi mới nội dung dạy học đối với học sinh THPT ở mỗi líp
học thuộc ban cơ bản hay ban nâng cao đều có hình thức học tự chọn một số môn học
nào đó với mỗi tuần 4 tiết tự chọn, với hai hình thức là: tự chọn nâng cao theo chuyên
đề; tự chọn bám sát chương trình. Mục tiêu của các tiết tự chọn là nhằm củng cố tri
thức, rèn luyện kỹ năng học tập bộ môn, đặc biệt đối với môn Toán là rèn luyện kỹ
năng giải toán, bổ sung kiến thức nâng cao, học các chuyên đề tự chọn do GV hay
học sinh đề xuất. Thông qua học tự chọn HS có điều kiện được rèn luyện thêm kỹ
năng, học được những tri thức mới đặc biệt là đối với HS khá, giỏi. GV cần lùa chọn
những chuyên đề phù hợp, gây hứng thó học tập cho học sinh. Trong quá trình lùa
chọn và xây dựng các chuyên đề tự chọn cho HS khá, giỏi cần có những chú ý sau:

=
1. Với mọi vị trí hay dạng của hình H trên miền D thì f m (là hằng số)
2. Tồn tại vị trí hay dạng của hình H trên miền D sao cho f = m.
Ví dô 1. Trong các tam giác vuông mà cạnh huyền có độ dài bằng 10cm, hãy xác
định ( tìm dạng) tam giác có diện tích lớn nhất.
Ví dô 2. Cho hình lập phương cạnh a ABCD.A’B’C’D’, tìm M, N lần lượt thuộc các
cạnh AA’, BD’ sao cho MN nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó.
I.3.2. Một số dạng Toán cực trị hình học thường gặp, kiến thức và kỹ năng cơ
bản
Dạng 1: Xác định khoảng cách (độ dài đoạn thẳng) lớn nhất hay nhỏ nhất
Dạng 2: Các bài toán xác định diện tích đa giác, diện tích hình tròn lớn nhất,
nhỏ nhất.
Dạng 3: Các bài toán xác định thể tích đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Dạng 4: Các bài toán xác định và tính góc lớn nhất hay nhỏ nhất.
I.3.3. Một số phương pháp giải toán cực trị hình học
Ph ương pháp 1 : Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên
Phư ơng pháp 2 : Sử dụng quan hệ giữa đoạn thẳng và đường gấp khúc, các bất
đẳng thức trong tam giác
Ph ương pháp 3 : Sử dụng bất đẳng thức trong đường tròn
Phư ơng pháp 4 : Sử dụng một số phép dời hình
Ph ương pháp 5 : Sử dụng một số bất đẳng thức cơ bản
Phương pháp 6: Sử dụng phương pháp hàm số
Bước 1: Thiết lập tương ứng sự thay đổi của điểm, của góc …(các yếu tố biến
đổi) với mét biến sè x, đặt điều kiện cho x.
Bước 2: Thành lập biểu thức tính đại lượng cần tìm cực trị theo biến x, ta được
hàm số chứa biến x
Bước 3: Xét hàm số chứa biến x vừa thiết lập được, Tìm cực trị của nó.
Bước 4: Dùa vào cực trị, hay GTLN, GTNN của hàm số theo x để kết luận cực
trị của bài toán.
Ví dô 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB

AD. Vậy với F là trung điểm của AD thì thiết diện của hình chóp cắt bởi mp (P) có
diện tích nhỏ nhất.
I.3.4. Ứng dụng đạo hàm để giải toán cực trị hình học đối với học sinh líp 12.
Nhiều bài toán cực trị hình học sau khi vẽ hình, phân tích đề bài dẫn đến việc
tìm cực trị, hay GTLN, GTNN của một biểu thức hay đại lượng nào đó.
Ngoài những phương pháp thông thường sử dụng để tìm cực trị, một phương
pháp dùng có hiệu quả, đặc biệt là đối với HS líp 12 đã học ứng dụng của đạo hàm để
tìm cực trị của hàm số thông qua ví dụ trên chúng ta thấy rõ điều đó.
Thực tế cho thấy rất nhiều học sinh khá giỏi vận dụng thành thạo việc ứng dụng
của đạo hàm để giải các bài toán đại số như: tìm cực trị của biểu thức đại số, chứng
minh bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình, biện luận nghiệm,….Song
khi gặp bài toán cực trị hình học nói chung và đặc biệt khó đối với bài toán phải đưa
về xét hàm số mới giải được thì HS lại tỏ ra lúng túng thiếu tự tin vì chưa áp dụng nó
hoặc Ýt có điều kiện được áp dụng.
Bài toán cực trị hình học mà đại lượng cần tìm cực trị đưa được về xét cực trị
của một hàm số thì việc giải bài toán này đối với HS líp 12 nói chung, đặc biệt là đối
với HS khá giỏi thì rất thuận lợi. Mặt khác việc ứng dụng của đạo hàm để xét cực trị
của hàm số mang tính hiệu quả cao và tính chặt chẽ, rõ dàng.
I.4. RÈN LUYỆN KỸ NĂNG ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC
TRỊ HÌNH HỌC
Như đã phân tích ở mục (I.3.4) việc ứng dụng của phương pháp hàm số trong
đó có sử dụng đạo hàm để tìm cực trị của hàm số tỏ ra có hiệu quả đặc biệt đối với
HS khá, giỏi líp 12. Việc rèn luyện kỹ năng ứng dụng của đạo hàm giải toán cực trị
hình học góp phần vào việc rèn luyện khả năng ứng dụng của tri thức Toán học trong
nội bộ môn Toán, và trong thực tiễn vì nhiều bài toán thực tiễn dÉn đến tìm phương
pháp tối ưu (lín nhất, nhỏ nhất).
I.4.1. Kỹ năng
Các kỹ năng cần thiết cho việc ứng dụng của đạo hàm để giải toán cực trị hình
học là:
1. Các kỹ năng chung giải toán cực trị hình học: Vẽ hình, chứng minh, nhận

Bảng biến thiên, Từ bảng biến thiên MaxV = khi h = .
Bước 4: Kết luận bài toán cực trị
Vậy hình trụ nội tiếp hình cầu có bán kính R có thể tích lớn nhất khi chiều cao
của nó bằng . Khi đó thể tích của hình trụ là .
Ví dô 5. Trong các mặt phẳng đi qua các điểm A(1 ; 2 ; -1), B(-1 ; 1 ; 2), viết phương
trình mặt phẳng ( ) tạo với mặt phẳng Oxy một góc nhỏ nhất.
Bài giải
Ta có phương trình AB :
Mặt phẳng ( ) chứa AB nên phương trình có dạng: u(x-2y+3) + t(3y+z - 5) = 0; u
2
+
t
2
> 0.
Nếu u = 0 thì ( ) : 3y + z – 5 = 0 cos(( ), Oxy) = = Nếu u
NÕu u 0 ta chọn u = 1. phương trình ( ) :x + (3t-2)y + tz -5t = 0 có = (1 ; 3t -
2 ; t).
I


J
Khi đó cos(( ), Oxy) = = .
Xét hàm sè f(t) = ; f’(t) = . Ta có f’(t) = 0 t = 0; t = .
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra cos[( ), Oxy] lớn nhất bằng > góc (( ), Oxy)
nhỏ nhất
t = phương trình mặt phẳng ( ) cần tìm là : 6x + 3y +5z - 7 = 0.
I.4.2. Biện pháp rèn luyện
1. Biện pháp chung để rèn luyện kỹ năng giải toán (I.2.3).
2. Luyện tập quy trình 4 bước giải toán của Polya, quy trình 4 bước giải toán


Chương I. Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:
Bài tập 1.23, 1.24, 1.25, 1.26, 1.27, 1.77, 1.78…
SBT Hình học:
Chương I. Khối đa diện và thể tích của chúng: Bài tập 34, 35, 42, 60
Chương II. Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón: Bài tập 4, 15, 16, 17, 29, 40, 44, 46, 48, 50.
Chương III. Phương pháp toạ độ trong không gian: Bài tập 28, 40, 48, 74, 94.
I.5.2. Nhu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cực trị hình học của học sinh khá, giỏi
líp 12
Các bài toán cực trị hình học đặc biệt là hình học không gian được bố trí nhiều
trong SBT líp 12. Thông qua Giải tích 12 HS đã nắm được một cách hệ thống về bài
toán cực trị của hàm số. Nhu cầu tự nhiên của HS đặc biệt là HS khá, giỏi líp 12 là có
được hệ thống về bài toán cực trị hình học và cũng có quy trình giải loại bài toán này.
Mặt khác khi HS khá, giỏi líp 12 tham gia giải bài tập SBT nhằm củng cố và rèn
luyện kỹ năng giải toán của mình đã gặp loại toán này và họ không tránh khỏi những
lúng túng, những sai lầm khi giải toán. Trước những nhu cầu cấp thiết của phần lớn
HS khá, giỏi về việc rèn luyện kỹ năng giải toán cực trị hình học có ứng dụng của đạo
hàm GV cần có biện pháp để giúp HS giải quyết những yêu cầu này nhằm rèn luyện
kỹ năng ứng dụng của đạo hàm trong giải toán nói chung và trong giải toán cực trị
hình học, giải bài toán thực tế nói riêng.
KẾT LUẬN CHƯƠNG I
Trên cơ sở lÝ do chọn đề tài, chương 1 của luận văn có nhiệm vụ: Tìm hiểu khái
niệm về kỹ năng, sự hình thành kỹ năng nói chung và kỹ năng giải toán nói riêng,
nhằm mục đích đưa ra biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh.
Tìm hiểu bài toán cực trị hình học, các dạng toán và các phương pháp giải toán
cực trị hình học nói chung, đi sâu phân tích kỹ năng ứng dụng của đạo hàm để giải
toán cực trị hình học.
Tìm hiểu thực trạng dạy học giải toán cực trị hình học và việc ứng dụng đạo hàm
để giải toán cực trị hình học cho HS líp 12. Tìm hiểu SGK, SBT Giải tích và Hình
học líp 12 nâng cao

0
) được
gọi là giá trị cực đại của hàm sè f.
b) x
0
được gọi là điểm cực tiểu của hàm sè f nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa
điểm x
0
sao cho (a; b) D và f(x) > f(x
0
) với mọi x (a; b)\ {x
0
}. Khi đó f(x
0
) được
gọi là giá trị cực tiểu của hàm sè f.
Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị
Nếu x
0
là một điểm cực trị của hàm sè f thì ta nói rằng hàm sè f đạt cực trị tại
điểm x
0
. Kí hiệu điểm cực đại (tiểu) x
CĐ
(x
CT
), giá trị cực đại (tiểu) y
CĐ
(y

; b). Khi đó
a) Nếu f’(x
0
) < 0 với mọi x (a ; x
0
) và f’(x
0
) > 0 với mọi x (x
0
; b) thì hàm sè
f đạt cực tiểu tại điểm x
0
.
b) Nếu f’(x
0
) > 0 với mọi x (a ; x
0
) và f’(x
0
) < 0 với mọi x (x
0
; b) thì hàm sè f
đạt cực đại tại điểm x
0
.
Định lí 3 (Dấu hiệu 2)
Giả sử hàm sè f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a; b) chứa điểm x
0
, f’(x
0

3. Giải phương trình f’(x) = 0 được nghiệm x
i
D.
4. Tìm f’’(x) và tính f’’(x
i
).
Nếu f’’(x
i
) < 0 thì hàm sè f đạt cực đại tại điểm x
i
.
Nếu f’’(x
0
) > 0 thì hàm sè f đạt cực tiểu tại điểm x
i
.

II.1.2. Định nghĩa và các quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số.
Định nghĩa Giả sử hàm sè f xác định trên tập hợp D (D R) .
a) Nếu tồn tại một điểm x
0
D sao cho f(x) f(x
0
) với mọi x D thì số M =
f(x
0
)được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm sè f trên D, kí hiệu M = maxf(x).
b) Nếu tồn tại một điểm x
0
D sao cho f(x) f(x

Trong khi giải toán tìm cực trị, tìm GTLN, GTNN của hàm số HS thường mắc
một số sai lầm sau:
1. Tìm đạo hàm sai đối với những hàm số hợp có công thức phức tạp.
2. Chưa nhận biết đầy đủ các điểm tới hạn dẫn đến tìm thiếu các điểm tới hạn,
lẫn điểm tới hạn với điểm không xác định của hàm số.
3. Xét sai dấu của đạo hàm.
4. Lập bảng biến thiên chưa hoàn chỉnh, thiếu giá trị tại các điểm mót và giới
hạn tại các điểm không xác định.
5. Áp dông sai quy tắc.
6. Khi đặt Èn phụ thường thiếu điều kiện của Èn phô.
II.1.4 Mét số lưu ý khi dạy học giải toán cực trị của hàm số
Ứng dụng đạo hàm để giải toán cực trị, GTLN, GTNN của hàm số. Trước
hết GV phải giúp HS có kỹ năng thành thạo về tính đạo hàm của hàm số. Sau đó:
1. Giúp HS hiểu và nắm vững các quy tắc tìm cực trị, tìm GTLN, GTNN,
thực hành thành thạo các quy tắc này bằng cách: thông qua bài tập mẫu, cho HS áp
dụng giải các bài tập tương tự, dần dần nâng cao cho các bài tập phức tạp dễ gặp
khó khăn khi (tính đạo hàm, tìm điểm tới hạn, xét dấu của đạo hàm).
2. Trong các bước của mỗi quy tắc cần nhắc nhở HS không coi nhẹ bước nào.
Vì chỉ sai một bước sẽ dẫn đến sai ở các bước tiếp theo. GV cần cho HS làm các bài
tập có gài bẫy sai lầm để HS chó ý.
3. Cần xây dựng hệ thống các bài tập có ứng dụng của đạo hàm trong giải
toán như: chứng minh bất đẳng thức; tìm cực trị đại số; giải phương trình, bất
phương trình; biện luận nghiệm của phương trình; ứng dụng giải toán cực trị hình
học; một số bài toán ứng dụng liên môn, ứng dụng thực tế,

x D
x D
4. Cần rèn luyện cho HS thãi quen “quy lạ về quen” ở các bài toán cần đặt Èn
phụ, điển hình là các hàm số, hay phương trình lượng giác (đặt t = sinx, cosx, ) để
đưa bài toán về xét hàm đa thức hay phân thức quen thuộc. Khi đặt Èn phụ cần đặc

Bài toán 6.(Bài 34-SBT HH12-NC )
Cho khối chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và SA
(ABC), SC = a. Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối
chóp lớn nhất.
Bài toán 7.(Bài 35- SBT HH12-NC)
Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD mà khoảng cách từ A đến mp(SBC) bằng
2a. Với giá trị nào của góc giữa mặt bên và mặt đáy của khối chóp thì thể tích của
khối chóp nhỏ nhất.
Bài toán 8. Cho tứ diện ABCD có một cạnh > 1, còn các cạnh khác đều 1. Tìm các
cạnh của tứ diện sao cho tứ diện có thể tích lớn nhất.
Bài toán 9. (Bài 1.78 SBT GT12 NC)
Một hình chóp tứ giác đều ngoại tiếp hình cầu bán kính a.
a) CMR thể tích V của hình chóp là V= x là chiều cao

b) Với giá trị nào của x thì hình chóp có thể tích nhỏ nhất.
Bài toán 10. (Bài 46 - SBT HH12 NC)
Xét hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy và chiều cao thay đổi. Tìm hệ
thức liên hệ giữa cạnh đáy và chiều cao của hình chóp để đạt GTNN, V
1
, V
2
lần
lượt là thể tích của các hình cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình chóp.
Bài toán 11. Cho một hình cầu nội tiếp trong một hình nón tròn xoay. Một hình trụ
ngoại tiếp hình cầu đó có đáy dới nằm trong mặt phẳng đáy của hình nón. Gọi V
1
và
V
2
lần lợt là thể tích của hình nón và của hình trụ.Tìm giá trị nhỏ nhất của tỉ số V

là đường thẳng qua
sao cho tổng các bình phương khoảng cách từ A
i
đến
1
là nhỏ nhất. Gọi
2
là đường
thẳng qua O sao cho tổng các bình phương khoảng cách từ A
i
đến
2
là lớn nhất.
Chứng minh rằng
1

2
.
Bài toán 17. Trong hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc Oxy cho Parabol (P): y = x
2
và
điểm A(-3; 0). Tìm M thuộc (P) sao cho đoạn AM nhỏ nhất, tìm giá trị đó.
Bài toán 18. Trong hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc Oxy cho Elíp (E): và đư-
ờng thẳng d: x+y - 4 = 0. Tìm N d, M (E) sao cho MN nhỏ nhất. Tìm khoảng
cách giữa d và (E).
Bài toán 19. Cho Elíp (E): và tiếp tuyến d của (E) tại T cắt hai tiếp tuyến tại
hai đỉnh trục lớn A
1
, A
2

Bài toán 27.(1.26 SBT GT12- NC)
Cắt bỏ hình quạt tròn AOB từ một mảnh các tông hình tròn bán kính R rồi dán hai
bán kính OA và OB của hình quạt tròn còn lại với nhau để được một cái phễu có
dạng của một hình nón. Gọi x là góc ở tâm của quạt tròn dùng làm phễu 0 < x < 2 .
a) Hãy biểu diễn bán kính r của hình tròn đáy và đường cao h của hình nón theo
R và x. Tính thể tích hình nón theo R và x.
b)Tìm x để hình nón có thể tích lớn nhất, và tính giá trị lớn nhất đó.
Bài toán 28. (1.25 SBT GT12-NC)
Một hành lang giữa hai nhà có hình dạng của một lăng trụ đứng (H.12). Hai mặt
bên ABB’A’ và ACC’A’ là hai tấm kính hình chữ nhật dài 20m rộng 5m.Gọi x (m) là
độ dài cạnh BC.
a) Tính thể tích V của hình lăng trụ theo x.
b) Tìm x sao cho hình lăng trụ có thể tích lớn nhất, tìm giá trị đó.
Bài toán 29. Mét nhà máy cần sản xuất mét bể bằng tôn có dạng hình hộp đứng đáy
là hình chữ nhật có chiều dài gấp 2 lần chiều rộng không nắp, có thể tích 4/3m
3
. Hãy
tính kích thước của bể sao cho tèn Ýt vật liệu nhất.
Bài toán 30. Nguời ta muốn sản xuất những cái hộp hình trụ đứng tròn xoay kín hai đáy,
với thể tích cho trước bằng V. Hãy tìm kích thước của hộp sao cho tèn Ýt vật liệu nhất.
=
II.3. CÁC ĐỀ XUẤT SƯ PHẠM NHẰM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG ỨNG DỤNG
ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI
LÍP 12 THPT
II.3.1. Rèn luyện kỹ năng chung ứng dụng đạo hàm để giải toán cực trị hình học
• Rèn luyện kỹ năng chung để giải toán theo 4 bước của Polya được áp dụng
cho quá trình rèn luyện các kỹ năng.
• Rèn luyện kỹ năng chung ứng dụng đạo hàm (phương pháp hàm số) để giải
toán cực trị hình học
Các bước:

Bài giải
a) Cắt Hình chóp tứ giác đều đỉnh S ngoại tiếp hình cầu
tâm O bán kính a bởi mp chứa SO (Hình trên)
Bước 1: Chọn biến
>
Thể tích của khối chóp tứ giác đều phụ thuộc vào diện tích đáy và chiều cao, đáy
là hình vuông song giữa chiều cao và cạnh đáy lại phụ thuộc vào điều kiện ngoại tiếp
mặt cầu bán kính a
Vậy ta có thể chọn biến là độ dài chiều cao, hoặc là độ dài cạnh đáy của khối
chóp. Ta chọn độ dài của chiều cao làm biến. Đặt x = SH chiều cao của hình chóp, x
> 0.
Bước 2: Thiết lập hàm sè
Để biểu diễn sù phụ thuộc giữa chiều cao x, độ dài cạnh đáy, bán kính a ta xét
thông qua biến trung gian: Gọi là góc SNH, Hạ OP SN tại P SOP= .
Ta có HN = xtan ; MN = 2xcot . V =
Biểu diễn biến trung gian theo a và x để được biểu thức tính V chỉ chứa biến a. Ta
tính cot
2
theo a và x.
Từ đẳng thức SH = OH + OS x = a + cos = sin
2
= 1 -

Do đó cot
2
= . Từ đó suy ra V=
Tõ ®ã suy ra V= với x > 2a, Do hình chóp ngoại tiếp mặt cầu bán kính a nên
điều kiện của x là x > 2a, Vậy hàm số cần tìm là f(x) = với x > 2a.
Bước 3: Xét cực trị của hàm f(x)
Đặt f(x) = V = với x > 2a V nhỏ nhất f(x) nhỏ nhất.

Có thể khái quát hóa bài toán để được bài toán lớn hơn?
Ta có thể khái quát hoá các bài toán 1 đến 4 bằng cách thay hình chóp tứ giác đều
thành hình chóp n giác đều.
II.3.3. Rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm giải toán cực trị trong hình học giải tích
Bài toán cực trị hình học giải tích thường được phát biểu dưới dạng yêu cầu xác
định toạ độ của một điểm, phương trình của một đường, hay một mặt để một biểu
thức tính đại lượng hình học nào đó (góc, khoảng cách, diện tích, thể tích…) đạt
GTLN, GTNN. Về phương pháp giải toán theo (I.3.3).
Kỹ năng giải toán thông qua ví dụ sau:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A và đt d: . Viết
phương trình mp( ) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến ( ) lớn nhất.
Bài giải
Bước 1: Chọn biến: Ta có phương trình tổng quát của d là
Mp( ) chứa d pt của ( ) có dạng: m(x-2y-1)+ n(2y-z+2) = 0, m
2
+n
2
> 0.
Với n =0 ( ): x-2y-1 = 0. d(A, ) =
Với n 0, chọn n =1 ( ): mx-2(m-1)y-z-m+2 = 0
Ta chọn m làm biến phải tìm để d(A, ) lớn nhất.
Bước 2: Thiết lập hàm số phương trình của ( ): mx-2(m-1)y-z-m+2 = 0
d(A, ) = hàm số cần xét là: f(m) = ;
Bước 3: Xét hàm số này. Ta có
f’(m) = , f’(m) = 0 m =-1.
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên Maxd(A, ) = 3 (do 3 > ) d(A, ) = 3
m = -1.
Bước 4: Kết luận.pt của mp( ) là: -x +4y -z +3 = 0 hay x - 4y + z - 3 = 0.
II.3.4. Rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm giải toán cực trị hình học trong

1. Dù đoán đoạn MN có là đoạn vuông góc chung không? (So sánh). Nếu HS
chó ý đến điều kiện AM =A’N =t và trong kinh nghiệm giải toán đã gặp bài toán tìm
đoạn vuông góc chung của AC, A’C thì sẽ bác bỏ ngay dự đoán này thể hiện tính
linh hoạt của tư duy.
2. Có thể tính MN theo a và t rồi tìm x để MN đạt GTNN sau đó dùng phương
pháp đại số hay giải tích để tìm GTNN.
HD: áp dụng định lý Cos trong tam giác và hệ quả đối với các tam giác A’BM; BMN
để tìm được MN theo a, t.
3. Tiếp cận bài toán bằng phương pháp toạ độ trong không gian. Chuyển bài
toán hình học tổng hợp sang bài toán hình học giải tích: Lập hệ trục toạ độ Descartes
vuông góc Oxyz sao cho O trùng B’,trục Ox chứa A’ , trục Oy chứa C’ trục Oz chứa
B. Từ đó tìm được toạ độ điểm M, N theo a, t. Dùng công thức tính khoảng cách để
tính MN.
4. Tiếp cận bài toán bằng phương pháp véctơ hãy biểu diễn véctơ MN theo các
véctơ nằm trên các cạnh hay các đường chéo của các mặt, cụ thể:
. Vì các góc của các cặp véctơ này dễ dàng xác định được nên
bằng cách khai triển bình phương vô hướng vế trái ta suy ra được MN
2
= t
2
- at +a
2
,
Lời giải của bài toán xem Bài toán 21 (II.5)

5. Xem xét lại bài toán cũ để tìm ra hướng giải mới hay hơn, hiệu quả hơn cách
giải quen thuộc: Qua các hướng tiếp cận của bài toán này ta có thể giải bài toán sau
theo hướng mới:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tìm và tính độ dài đoạn vuông
góc chung của hai đường thẳng AC và A’B. (có thể tiếp cận bằng phương pháp toạ

B
1
theo tỉ sè = -k
B3: Chứng minh AM + BM nhỏ nhất khi M trùng N. Thật vậy gọi A
2
là điểm thuộc
mặt phẳng chứa (d, B) khác phía đối với (d) và thoả mãn AA
1
= A
1
A
2
và A
1
A
2
(d)
A
2
, B, N thẳng hàng đpcm.
4. Giải bài toán tổng quát nhưng dùng phương pháp đặc trưng của hình học giải
tích là: Viết phương trình của (d) dưới dạng tham sè t, ta có toạ độ của M thuộc (d)
theo tham sè t. Tính khoảng cách AM, BM theo biểu thức toạ độ, khi đó tổng AM +
BM là giá trị của hàm sè f biến t, khảo sát cực trị của hàm số này suy ra t để hàm số
đó đạt GTNN từ đó suy ra M.
5. Cũng giải bài toán bằng phương pháp hình học giải tích như trên song vì
hàm f(t) có dạng + . Nên ta có thể lùa chọn khéo léo để dùng được bất
đẳng thức đã biết đối với HS khá, giỏi: Dùng bất đẳng thức: +
(Sáng tạo)
Khai thác hướng giải 4 của bài toán ta có thể khái quát hoá cách giải cho các

sáng tạo của học sinh
III.2. TỔ CHỨC THỬ NGHIỆM
Đối tượng thử nghiệm:
Là học sinh líp 12 ban KHTN gồm đa số học sinh khá, giỏi môn Toán. Hai líp được
dạy thử nghiệm là líp 12 A
1
, 12 A
2
hai líp đối chứng là: líp 12 A
3
, 12 A
4
cùng thuộc trường
THPT Minh Khai Hà Nội năm học 2008 - 2009. Bốn líp cùng học ban KHTN.
Tiến hành dạy thử nghiệm:
Số tiết dạy thử nghiệm 3 tiết. Thời gian thử nghiệm Tháng 10 năm 2008: thuộc
chuyên đề tự chọn môn Toán các tuần 6, 7, 8, 9 của năm học 2008 - 2009.
III.3. GỢI Ý BÀI SOẠN THỰC NGHIỆM
Chuyên đề tự chọn: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH
HỌC KHÔNG GIAN LÍP 12
III.4. KẾT QUẢ THỬ NGHIỆM
III.4.1 Kết quả chung
Đã đạt được mục tiêu của chuyên đề như đã đề ra trong bài soạn. Đặc biệt qua
chuyên đề này học sinh được: củng cố kỹ năng giải toán nói chung theo quy trình 4

bước của Pôlya; không còn gặp trở ngại lớn đối với loại toán cực trị hình học trong
không gian; có kỹ năng ứng dụng đạo hàm để giải toán cực trị hình học; học sinh có
hứng thó học tập đặc biệt là trong các chuyên đề tự chọn.
III.4.2 Kết quả kiểm tra
ĐỀ KIỂM TRA (thời gian làm bài 45 phót)

đạt 30/45 67%12A
12A
3
đạt 7/40 17.5%; 12A
4
đạt 14/45 31%
Tỷ lệ điểm đạt loại khá giỏi ở hai líp thực nghiệm vượt hẳn hai líp đối chứng
KẾT LUẬN
Trong quá trình nghiên cứu đề tài, luận văn đã thu được những kết quả sau:
Tìm hiểu được thực trạng của việc rèn luyện kỹ năng giải toán cực trị hình học và
việc ứng dụng đạo hàm để giải toán cực trị hình học. Từ đó rót ra được yêu cầu cấp
thiết của đề tài, cũng qua đó nắm được những khó khăn và một số sai lầm của HS khi
giải toán cực trị hình học
Nêu được khái quát bài toán cực trị hình học và một số phương pháp giải toán cực
trị hình học, đặc biệt là phương pháp ứng dụng của đạo hàm để giải toán cực trị hình
học là quy trình gồm 4 bước như luận văn đã trình bày
Xây dựng được hệ thống các bài toán điển hình nhằm rèn luyện kỹ năng ứng dụng
đạo hàm để giải toán cực trị hình học, trong hình học không gian, hình học giải tích
và một số bài toán cực trị hình học có ứng dụng thực tiễn.
Đề xuất các biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm giải
toán cực trị hình học thông qua việc khai thác các bài toán điển hình và việc hướng
dẫn HS thực hành phương pháp giải toán loại này. Có thể phát triển đề tài theo hướng

phát triển tư duy sáng tạo của HS khá, giỏi thông qua rèn luyện kỹ năng giải toán cực
trị hình học
Qua thử nghiệm sư phạm, luận văn đưa ra được gợi ý bài soạn thông qua chuyên
đề tự chọn và bước đầu đã chứng minh được tính khả thi của đề tài.
Kết quả chung là: Có thể rèn luyện được kỹ năng ứng dụng của đạo hàm để giải
toán cực trị hình học thông qua hệ thống các bài tập điển hình và những gợi ý rèn
luyện kỹ năng giải toán. Qua việc rèn luyện kỹ năng ứng dụng của đạo hàm để giải