H BM Toán AN GIANGĐ NG D NG C A O HÀM Ứ Ụ Ủ ĐẠ Tài li u tham kh o Ôn t p Thi ệ ả ậ
TN THPT TÔ VĨNH HOÀI
Trường THPT Thủ Khoa Nghĩa – Châu Đốc
ĐẠO HÀM
I/- ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ
Hàm số y = f(x) Hàm số hợp y = f(u) ; u = g(x)
( C )’ = 0 C: hằng số
(x)’ =1
( )
x
x
2
1
=
′
( )
u
u
u
2
′
=
′
2
11
x
x
−=

( )
1
. .
n n
u n u u
−
′
′
=
( )
xx cossin =
′
( )
uuu cos.sin
′
=
′
( )
xx sincos
−=
′
( )
uuu sin.cos
′
−=
′
( )
2
2
1

u
u
′
′
= −
(
)
x x
e e
′
=
(
)
.
u u
e u e
′
′
=
(
)
.ln
x x
a a a
′
=
(
)
. .ln
u u

a
u
l u
u a
′
′
=
(
)
1
1
n
n
n
x
n x
−
′
=
(
)
1
n
n
n
u
u
n u
−
′

( )
0 0 ,
∆ < ⇔ > ∀
af x x
( f(x) cùng dấu với a ,
x
∀
)
Tô V nh Hoài Tr ng THPT Th Khoa Ngh a ĩ ườ ủ ĩ Trang
1
Chuyên
đ :1ề
NG D NG C A O HÀMỨ Ụ Ủ ĐẠ
H BM Toán AN GIANGĐ NG D NG C A O HÀM Ứ Ụ Ủ ĐẠ Tài li u tham kh o Ôn t p Thi ệ ả ậ
TN THPT
b;
( )
0 0 ,
2
∆ = ⇔ > ∀ ≠ −
b
af x x
a
( f(x) cùng dấu với a ,
x
2
b
a
∀ ≠ −
)

a
−

+∞
f(x) Cùng dấu với a 0 Cùng dấu với a
0∆>
x
−∞

1
x

2
x

+∞
f(x)
Cùng dấu với a 0 Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a
2/- Chú ý :
Cho tam thức bậc hai :
( )
2
( ) 0f x ax bx c a
= + + ≠
0
. ( ) 0
0
a
a f x x


. ( ) 0
0
a
d f x x

<
≤ ∀ ⇔

∆ ≤

3. Dấu các nghiệm số

2
( )f x ax bx c
= + +
có 2 nghiệm
( )
1 2 1 2
;x x x x<
1 2
1 2 1 2 1 2
0 0
0
0 0 ; .
0
x x P
b c
x x S S x x P x x
a a
P

>


>

g g
Lưu ý
1. Phương trình
2
0ax bx c
+ + =
a; Phương trình vô nghiệm
0 0
0 0
a a b
c
≠ = =
 
⇔ ∨
 
∆ < ≠
 
b; Pt có 1 nghiệm kép



=∆
≠
⇔
0

+ Bx + C ) = 0 (1)
( )



=++
=−
⇔
20
0
2
0
CBxAx
xx

Số nghiệm của (1) = Số nghiệm của (2) + 1
Đặt g(x) = Ax
2
+ Bx + C .
Tính :
∆
= B
2
– 4AC và g(x
0
) = Ax
0
2
+ Bx
0






=
>∆



≠
=∆
⇔
0)(
0
0)(
0
0
0
xg
xg
• Phương trình có 3 nghiệm phân biệt



≠
>∆
⇔
0)(
0

• Hoặc
⇔≥
′
0y
Hàm số đồng biến trong ( a ; b )
•
⇔≤
′
0y
Hàm số nghịch biến trong ( a ; b ) (Dấu “=” xảy ra tại một số hữu hạn điểm)
x
y’
y
Vấn đề 1: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số
Phương pháp Để tìm khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x)
• Tìm tập xác định D
• Tìm y’ .Tìm các giá trị
i
x D
∈
mà tại các điểm đó
y
′
= 0 hoặc không xác định
• Lập bảng xét dấu của y’
• Căn cứ dấu của y’ để kết luận
Ví dụ Tìm khoảng đơn điệu của hàm số :
1; y = x
3
– 3x

+
++
x
xx

Tập xác định D =
¡
\
{ }
1
−
Tô V nh Hoài Tr ng THPT Th Khoa Ngh a ĩ ườ ủ ĩ Trang
3
H BM Toán AN GIANGĐ NG D NG C A O HÀM Ứ Ụ Ủ ĐẠ Tài li u tham kh o Ôn t p Thi ệ ả ậ
TN THPT
Đạo hàm y’ =
( )
20020
1
2
2
2
2
−=∨=⇔=+⇔=
′
+
+
xxxxy
x
xx

• Riêng hàm số nhất biến y =
dcx
bax
+
+
không có dấu “=”
Ví dụ Cho hàm số y =
3
3
1
x
−
- mx
2
+ (m –2 )x + 2. Tìm m để hàm số nghịch biến trên tập xác định
Giải : Tập xác định D =
¡

Đạo hàm y’= -x
2
– 2mx + m – 2
Hàm số nghịch biến trên tập xác định
' 0y x
⇔ ≤ ∀ ∈
¡
1202
2
≤≤−⇔≤−+=∆
′
⇔

+ y’ đổi dấu từ (–) sang ( + ) thì hàm số đạt cực tiểu tại x
0
; y
CT
= y
0
= f(x
0
)
x x
o
x
1

y’ + – – +
y y
0

CĐ CT
Qui tắc 2 ( Dùng y”)
a; Tìm tập xác định D
b; Tìm y’ .Cho y’ = 0 tìm nghiệm x
0
; x
1
; …..
c ; Tìm y” . Tính y”(x
0
) . Nếu :
• y”(x

a
bax
+

Tô V nh Hoài Tr ng THPT Th Khoa Ngh a ĩ ườ ủ ĩ Trang
4
H BM Toán AN GIANGĐ NG D NG C A O HÀM Ứ Ụ Ủ ĐẠ Tài li u tham kh o Ôn t p Thi ệ ả ậ
TN THPT
• Hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d đạt cực trị tại x
0
khi tính y
0
gặp khó khăn ta chia y cho y’ được thương
P(x) và số dư px + q .
Ta có y = y’.P(x) + px + q
nên y
0
= y’(x
0
).P(x
0
) + px
0
+ q = px
0
+ q (vì x


=
−=
⇔



=
−=
⇔=−−⇔
7
1
3
1
032
2
1
2
1
2
y
y
x
x
xx
• Bảng biến thiên
x
∞−
–1 1 3
∞+

+=
⇔=⇔=−⇔
π
π
π
π
2
6
5
2
6
2
1
sin0sin21
2
1

Ta có
(
)
′′
1
f x
=
3
−
< 0
⇒
Hàm số đạt cực đại tại
32;2

0
x
Phương pháp Hàm số đạt cực trị tại x
0
khi y’(x
0
) = 0 hoặc không tồn tại từ điều kiện này suy ra giá trị
của tham số. Kiểm tra lại bằng cách xét dấu y’ hoặc dùng y”. Qua việc thử lại cho ta cụ thể hàm số đạt cực
đại hay cực tiểu tại x
0.
• Nếu đồ thị hàm số có điểm cực trị M(x
0
; y
0
) thì thêm y
0
= f(x
0
) .
• Trong vài trường hợp cụ thể ta có thể sử dụng
1;
( )
( )
0
0
' 0
" 0
f x
f x
=

3;
( )
( )
0
0
' 0
" 0
f x
f x
=


>



⇒
Hàm số đạt cực tiểu tại x
0

Nếu f”(x
0
) = 0 không kết luận mà phải xét dấu y’
Ví dụ Cho hàm số y = f(x) = x
3
– 2x
2
+ mx – 3. Tìm m để hàm số :
a; Đạt cực trị tại x = 1 b; Đạt cực đại tại x = 0
GIẢI : Tập xác định D =